Anillo cuasi-Frobenius

En matemáticas, especialmente en teoría de anillos , la clase de anillos de Frobenius y sus generalizaciones son la extensión del trabajo realizado sobre las álgebras de Frobenius . Quizás la generalización más importante es la de los anillos cuasi-Frobenius (anillos QF), que a su vez están generalizados por anillos pseudo-Frobenius derechos (anillos PF) y anillos pseudo-Frobenius finitos derechos (anillos FPF). Otras generalizaciones diversas de anillos cuasi-Frobenius incluyen los anillos QF-1 , QF-2 y QF-3 .

Estos tipos de anillos pueden considerarse descendientes de las álgebras examinadas por Georg Frobenius . Una lista parcial de pioneros en anillos cuasi-Frobenius incluye a R. Brauer , K. Morita , T. Nakayama , CJ Nesbitt y RM Thrall .

Definiciones

Un anillo R es cuasi-Frobenius si y sólo si R satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. R es noetheriano por un lado y autoinyectivo por un lado.
2. R es artiniano por un lado y autoinyectivo por un lado.
3. Todos los módulos R derechos (o todos los izquierdos) que son proyectivos también son inyectivos .
4. Todos los módulos R derechos (o todos los izquierdos) que son inyectivos también son proyectivos.

Un anillo de Frobenius R es aquel que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes. Sea J =J( R ) el radical de Jacobson de R .

1. R es cuasi-Frobenius y el zócalo como módulos R derechos . ${\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})\cong R/J}$
2. R es cuasi-Frobenius y como módulos R izquierdos. ${\displaystyle \mathrm {soc} (_{R}R)\cong R/J}$
3. Como módulos R derechos y como módulos R izquierdos . ${\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})\cong R/J}$ ${\displaystyle \mathrm {soc} (_{R}R)\cong R/J}$

Para un anillo conmutativo R , los siguientes son equivalentes:

1. R es Frobenius
2. R es cuasi-Frobenius
3. R es una suma directa finita de anillos artinianos locales que tienen ideales mínimos únicos . (Estos anillos son ejemplos de " anillos locales de Gorenstein de dimensión cero ".)

Un anillo R es pseudo-Frobenius correcto si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada módulo R derecho fiel es un generador de la categoría de módulos R derechos.
2. R es autoinyectivo derecho y es un cogenerador de Mod- R .
3. R es autoinyectivo derecho y está cogenerado finitamente como un módulo R derecho .
4. R es autoinyectivo derecho y un anillo de Kasch derecho .
5. R es autoinyectivo correcto, semilocal y el zócalo soc( R _R ) es un submódulo esencial de R .
6. R es un cogenerador de Mod- R y es un anillo de Kasch izquierdo.

Un anillo R es finitamente pseudo-Frobenius si y sólo si cada módulo R derecho fiel finitamente generado es un generador de Mod- R .

Generalizaciones QF-1,2,3 de Thrall

En el artículo fundamental (Thrall 1948), RM Thrall se centró en tres propiedades específicas de las álgebras QF (de dimensión finita) y las estudió de forma aislada. Con suposiciones adicionales, estas definiciones también se pueden utilizar para generalizar los anillos QF. Algunos otros matemáticos que fueron pioneros en estas generalizaciones fueron K. Morita y H. Tachikawa.

Siguiendo (Anderson y Fuller 1992), sea R un anillo artiniano izquierdo o derecho:

• R es QF-1 si todos los módulos izquierdos fieles y los módulos derechos fieles son módulos equilibrados .
• R es QF-2 si cada módulo proyectivo derecho indescomponible y cada módulo izquierdo proyectivo indescomponible tiene un submódulo mínimo único. (Es decir, tienen zócalos simples).
• R es QF-3 si los cascos inyectivos E( R _R ) y E( _R R ) son ambos módulos proyectivos.

El esquema de numeración no necesariamente describe una jerarquía. En condiciones más laxas, es posible que estas tres clases de anillos no se contengan entre sí. Sin embargo , bajo el supuesto de que R es artiniano izquierdo o derecho, los anillos QF-2 son QF-3. Incluso hay un ejemplo de anillo QF-1 y QF-3 que no es QF-2.

Ejemplos

• Cada álgebra k de Frobenius es un anillo de Frobenius.
• Todo anillo semisimple es cuasi-Frobenius, ya que todos los módulos son proyectivos e inyectivos. Sin embargo, es aún más cierto: los anillos semisimples son todos Frobenius. Esto se verifica fácilmente mediante la definición, ya que para anillos semisimples y J  = rad( R ) = 0. ${\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})=\mathrm {soc} (_{R}R)=R}$
• El anillo cociente es QF para cualquier entero positivo n >1. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Los anillos seriales conmutativos artinianos son todos Frobenius y, de hecho, tienen la propiedad adicional de que cada anillo cociente R / I también es Frobenius. Resulta que entre los anillos artinianos conmutativos, los anillos seriales son exactamente aquellos anillos cuyos cocientes (distintos de cero) son todos Frobenius.
• Muchos anillos exóticos de PF y FPF se pueden encontrar como ejemplos en Faith y Page (1984).

Ver también

• Álgebra de mentira cuasi-Frobenius

Notas

Es fácil ver que las definiciones de QF, PF y FPF son propiedades categóricas y, por lo tanto, se conservan mediante la equivalencia de Morita ; sin embargo, no se conserva el hecho de ser un anillo de Frobenius .

Para los anillos noetherianos unilaterales, las condiciones de PF izquierdo o derecho coinciden con QF, pero los anillos FPF siguen siendo distintos.

Un álgebra de dimensión finita R sobre un campo k es un k -álgebra de Frobenius si y sólo si R es un anillo de Frobenius.

Los anillos QF tienen la propiedad de que todos sus módulos pueden integrarse en un módulo R libre . Esto se puede ver de la siguiente manera. Un módulo M se integra en su casco inyectivo E ( M ), que ahora también es proyectivo. Como módulo proyectivo, E ( M ) es un sumando de un módulo libre F , por lo que E ( M ) se incrusta en F con el mapa de inclusión. Al componer estos dos mapas, M está incrustado en F.

Libros de texto

• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992), Anillos y categorías de módulos, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1
• Fe, Carl; Page, Stanley (1984), Teoría del anillo FPF: módulos fieles y generadores de Mod-$R$ , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society No. 88, Cambridge University Press, doi :10.1017/CBO9780511721250, ISBN 0-521-27738-8, señor  0754181
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on module and rings , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, señor  1653294
• Nicholson, WK; Yousif, MF (2003), Anillos Quasi-Frobenius , Cambridge University Press, ISBN 0-521-81593-2

Referencias

Para anillos QF-1, QF-2, QF-3:

• Morita, Kiiti (1958), "Sobre álgebras para las cuales cada representación fiel es su propio segundo conmutador", Math. Z. , 69 : 429–434, doi : 10.1007/bf01187420, ISSN  0025-5874
• Ringel, Claus Michael; Tachikawa, Hiroyuki (1974), "${\rm QF}-3$ anillos", J. Reine Angew. Matemáticas. , 272 : 49–72, ISSN  0075-4102
• Thrall, RM (1948), "Alguna generalización de álgebras cuasi-Frobenius", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 64 : 173–183, doi : 10.1090/s0002-9947-1948-0026048-0 , ISSN  0002-9947