En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, el concepto de cogenerador inyectivo se extrae de ejemplos como la dualidad de Pontryagin . Los generadores son objetos que cubren a otros objetos como una aproximación, y los cogeneradores (duales) son objetos que envuelven a otros objetos como una aproximación.
Más precisamente:
Suponiendo que uno tiene una categoría como la de los grupos abelianos , de hecho se pueden formar sumas directas de copias de G hasta que el morfismo
es sobreyectivo ; y se pueden formar productos directos de C hasta el morfismo
es inyectivo .
Por ejemplo, los números enteros son un generador de la categoría de grupos abelianos (ya que todo grupo abeliano es un cociente de un grupo abeliano libre ). Este es el origen del término generador . La aproximación aquí normalmente se describe como generadores y relaciones.
Como ejemplo de cogenerador en la misma categoría, tenemos Q / Z , los racionales módulo de los enteros, que es un grupo abeliano divisible . Dado cualquier grupo abeliano A , hay una copia isomorfa de A contenida dentro del producto de |A| copias de Q / Z . Esta aproximación se acerca a lo que se llama la envolvente divisible : la envolvente verdadera está sujeta a una condición de minimalidad.
Encontrar un generador de una categoría abeliana permite expresar cada objeto como un cociente de una suma directa de copias del generador. Encontrar un cogenerador permite expresar cada objeto como un subobjeto de un producto directo de copias del cogenerador. A menudo nos interesan los generadores proyectivos (incluso los generadores proyectivos de generación finita, llamados progeneradores) y los cogeneradores inyectivos mínimos. Los dos ejemplos anteriores tienen estas propiedades adicionales.
El cogenerador Q / Z es útil en el estudio de módulos sobre anillos generales. Si H es un módulo izquierdo sobre el anillo R , se forma el módulo de caracteres (algebraico) H * que consta de todos los homomorfismos de grupos abelianos desde H hasta Q / Z . H * es entonces un módulo R derecho. Que Q / Z sea cogenerador dice precisamente que H * es 0 si y sólo si H es 0. Aún más es cierto: la operación * toma un homomorfismo
a un homomorfismo
y f * es 0 si y sólo si f es 0. Por lo tanto, es un funtor contravariante fiel desde R -módulos izquierdos hasta R -módulos derechos .
Todo H * es puro-inyectivo (también llamado algebraicamente compacto). A menudo se puede considerar un problema después de aplicar el * para simplificar las cosas.
Todo esto también se puede hacer para módulos continuos H : se forma el módulo de carácter topológico de homomorfismos de grupos continuos desde H hasta el grupo circular R / Z .
El teorema de extensión de Tietze se puede utilizar para demostrar que un intervalo es un cogenerador inyectivo en una categoría de espacios topológicos sujetos a axiomas de separación .