Módulo de personajes

En matemáticas, especialmente en el área del álgebra abstracta , cada módulo tiene asociado un módulo de carácter . Utilizando el módulo de carácter asociado es posible investigar las propiedades del módulo original. Uno de los principales resultados descubiertos por Joachim Lambek muestra que un módulo es plano si y solo si el módulo de carácter asociado es inyectivo . ^[1]

Definición

El grupo , el grupo de números racionales módulo , puede considerarse como un -módulo de la forma natural. Sea un grupo aditivo que también se considera como un -módulo. Entonces el grupo de homomorfismos de - de a se llama el grupo de caracteres asociado a . Los elementos de este grupo se llaman caracteres . Si es un -módulo izquierdo sobre un anillo , entonces el grupo de caracteres es un -módulo derecho y se llama el módulo de caracteres asociado a . La acción del módulo en el módulo de caracteres para y se define por para todo . ^[2] El módulo de caracteres también se puede definir de la misma manera para los -módulos derechos. En la literatura también se utilizan las notaciones y para los módulos de caracteres. ^{[3] [4]} ${\displaystyle (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ,+)}$ ${\textstyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle M^{*}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle (fr)(m)=f(rm)}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M',M^{0}}$ ${\displaystyle M^{+}}$

Sean módulos izquierdos y un homomorfismo. Entonces la aplicación definida por para todos es un homomorfismo derecho . La formación de módulos de caracteres es un funtor contravariante de la categoría de módulos izquierdos a la categoría de módulos derechos. ^[3] ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f^{*}\colon N^{*}\to M^{*}}$ ${\displaystyle f^{*}(h)=h\circ f}$ ${\displaystyle h\in N^{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Motivación

El grupo abeliano es divisible y por lo tanto un módulo inyectivo . Además tiene la siguiente propiedad importante: Sea un grupo abeliano y distinto de cero. Entonces existe un homomorfismo de grupo con . Esto dice que es un cogenerador . Con estas propiedades se puede demostrar el teorema principal de la teoría de módulos de caracteres: ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f(g)\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

Teorema (Lambek) ^[1] : Un módulo izquierdo sobre un anillo es plano si y sólo si el módulo del carácter es un módulo derecho inyectivo . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle R}$

Propiedades

Sea un módulo izquierdo sobre un anillo y el módulo de carácter asociado. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M^{*}}$

• El módulo es plano si y sólo si es inyectivo (Teorema de Lambek ^[4] ). ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{*}}$
• Si es libre, entonces es un módulo derecho inyectivo y es un producto directo de copias de los módulos derechos . ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{*}}$
• Para cada módulo derecho existe un módulo libre tal que es isomorfo a un submódulo de . Con la propiedad anterior este módulo es inyectivo, por lo tanto todo módulo derecho es isomorfo a un submódulo de un módulo inyectivo. (Teorema de Baer) ^[5] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle R}$
• Un módulo izquierdo es inyectivo si y sólo si existe un libre tal que es isomorfo a un sumando directo de . ^[5] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M^{*}}$
• El módulo es inyectivo si y sólo si es una suma directa de un módulo de carácter de un módulo libre. ^[2] ${\displaystyle M}$
• Si es un submódulo de , entonces es isomorfo al submódulo de cuyo consiste en todos los elementos que aniquilan a . ^[2] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M/N)^{*}}$ ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle N}$
• La formación de módulos de caracteres es un functor exacto contravariante , es decir, conserva secuencias exactas. ^[3]
• Sea un módulo derecho . Entonces los módulos y son isomorfos como módulos. ^[4] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(N,M^{*})}$ ${\displaystyle (N\otimes _{R}M)^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Referencias

1. Lambek, Joachim (1964). "Un módulo es plano si y sólo si su módulo de carácter es inyectivo". Canadian Mathematical Bulletin . 7 (2): 237–243. doi : 10.4153/CMB-1964-021-9 . ISSN  0008-4395.
2. Lambek, Joachim. (2009). Lecciones sobre anillos y módulos. American Mathematical Society. Providence, RI: AMS Chelsea Pub. ISBN 9780821849002.OCLC 838801039  .
3. Lam, Tsit-Yuen (1999). Lecciones sobre módulos y anillos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 189. Nueva York, NY: Springer New York.
4. Tercan, Adnan; Yücel, Canan C. (2016). Teoría de módulos, extensión de módulos y generalizaciones . Frontiers in Mathematics. Suiza: Birkhäuser. ISBN 9783034809528.
5. Behrens, Ernst-August. (1972). Teoría de anillos. Nueva York: Academic Press. ISBN 9780080873572.OCLC 316568566  .