teorema de goldie

Resultado en la teoría de anillos.

En matemáticas , el teorema de Goldie es un resultado estructural básico de la teoría de anillos , demostrado por Alfred Goldie durante la década de 1950. Lo que ahora se denomina anillo Goldie derecho es un anillo R que tiene una dimensión uniforme finita ( " rango finito") como un módulo recto sobre sí mismo y satisface la condición de cadena ascendente en aniquiladores derechos de subconjuntos de R.

El teorema de Goldie establece que los anillos de Goldie derechos semiprimos son precisamente aquellos que tienen un anillo de cocientes clásico derecho artiniano semisimple . La estructura de este anillo de cocientes queda entonces completamente determinada por el teorema de Artin-Wedderburn .

En particular, el teorema de Goldie se aplica a los anillos noetherianos derechos semiprimos , ya que, por definición, los anillos noetherianos derechos tienen la condición de cadena ascendente en todos los ideales derechos. Esto es suficiente para garantizar que un anillo noetheriano correcto sea el correcto, Goldie. Lo contrario no se cumple: todo dominio Ore derecho es un dominio Goldie derecho y, por tanto, también lo es todo dominio integral conmutativo .

Una consecuencia del teorema de Goldie, nuevamente debido a Goldie, es que todo anillo ideal derecho principal semiprimo es isomorfo a una suma directa finita de anillos ideales derechos principales primos . Cada anillo ideal derecho principal principal es isomorfo a un anillo de matriz sobre un dominio Ore derecho .

Bosquejo de la prueba

Este es un esbozo de la caracterización mencionada en la introducción. Se puede encontrar en (Lam 1999, p.324).

• Si R es un anillo Goldie derecho semiprimo, entonces es un orden correcto en un anillo semisimple:
  • Los ideales derechos esenciales de R son exactamente aquellos que contienen un elemento regular .
  • No hay ideales nulos distintos de cero en R .
  • R es un anillo no singular derecho . ^[1]
  • De las observaciones anteriores, R es un anillo Ore derecho , por lo que existe su anillo clásico derecho de cocientes Q ^r . También de las observaciones anteriores, Q ^r es un anillo semisimple . Por tanto, R es un orden correcto en Q ^r .
• Si R es de orden correcto en un anillo semisimple Q , entonces es semiprimo derecho Goldie:
  • Cualquier orden correcto en un anillo noetheriano (como Q ) es correcto, Goldie.
  • Cualquier orden correcto en un anillo semiprimo noetheriano (como Q ) es en sí mismo semiprimo.
  • Por lo tanto, R es Goldie derecho semiprimo.

Referencias

1. Esto puede deducirse de un teorema de Mewborn y Winton, que si un anillo satisface la condición máxima en aniquiladores derechos, entonces el ideal singular derecho es nilpotente. (Lam 1999, p.252)

• Coutinho, SC; McConnell, JC (2003). "La búsqueda de anillos cocientes (de anillos noetherianos no conmutativos". American Mathematical Monthly . 110 (4): 298–313. CiteSeerX  10.1.1.296.8947 . doi :10.2307/3647879. JSTOR  3647879.
• Goldie, AW (1958). "La estructura de los anillos primarios en condiciones de cadena ascendente". Proc. Matemáticas de Londres. Soc . 8 (4): 589–608. doi :10.1112/plms/s3-8.4.589.
• Goldie, AW (1960). "Anillos semi-primos con condiciones máximas". Proc. Matemáticas de Londres. Soc . 10 : 201–220. doi :10.1112/plms/s3-10.1.201.
• Herstein, IN (1969). Temas de la teoría de anillos . Conferencias de matemáticas en Chicago. Chicago, Illinois: Universidad de Chicago. Pr. págs. 61–86. ISBN 978-0-226-32802-7.
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, señor  1653294

enlaces externos

• Página de PlanetMath sobre el teorema de Goldie
• Página de PlanetMath sobre el anillo Goldie