Anillo ideal principal

Anillo en el que cada ideal es principal.

En matemáticas , un anillo ideal principal derecho (izquierdo) es un anillo R en el que cada ideal derecho (izquierdo) tiene la forma xR ( Rx ) para algún elemento x de R. (Los ideales derecho e izquierdo de esta forma, generados por un elemento, se denominan ideales principales ). Cuando esto se satisface tanto para los ideales izquierdo como derecho, como en el caso cuando R es un anillo conmutativo , R puede denominarse ideal principal . anillo , o simplemente anillo principal .

Si sólo los ideales derechos finitamente generados de R son principales, entonces R se llama anillo de Bézout derecho . Los anillos de Bézout izquierdos se definen de manera similar. Estas condiciones se estudian en dominios como dominios de Bézout .

Un anillo ideal principal que también es un dominio integral se dice que es un dominio ideal principal (PID). En este artículo la atención se centra en el concepto más general de anillo ideal principal que no es necesariamente un dominio.

Propiedades generales

Si R es un anillo ideal derecho principal, entonces ciertamente es un anillo noetheriano derecho , ya que todo ideal derecho se genera de forma finita. También es un anillo de Bézout correcto ya que todos los ideales correctos finitamente generados son principales. De hecho, está claro que los anillos ideales principales derechos son exactamente los anillos que son a la vez Bézout correctos y Noetherianos correctos.

Los anillos ideales principales derechos están cerrados bajo productos directos finitos . Si , entonces cada ideal recto de R tiene la forma , donde cada uno es un ideal recto de R _i . Si todos los R _i son anillos ideales derechos principales, entonces A _i = x _i R _i , y entonces se puede ver que . Sin mucho más esfuerzo, se puede demostrar que los anillos de Bézout derechos también están cerrados bajo productos directos finitos. ${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}}$ ${\displaystyle A=\prod _{i=1}^{n}A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})R=A}$

Los anillos ideales derechos principales y los anillos de Bézout derechos también están cerrados bajo cocientes, es decir, si I es un ideal propio del anillo ideal derecho principal R , entonces el anillo cociente R/I también es un anillo ideal derecho principal. Esto se desprende fácilmente de los teoremas de isomorfismo para anillos.

Todas las propiedades anteriores también han dejado análogos.

Ejemplos conmutativos

1. El anillo de los números enteros : ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

2. Los números enteros módulo n : . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

3. Sean anillos y . Entonces R es un anillo principal si y sólo si R _i es un anillo principal para todo i . ${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{n}}$ ${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}}$

4. La localización de un anillo principal en cualquier subconjunto multiplicativo es nuevamente un anillo principal. De manera similar, cualquier cociente de un anillo principal es nuevamente un anillo principal.

5. Sea R un dominio de Dedekind y I un ideal distinto de cero de R. Entonces el cociente R / I es un anillo principal. De hecho, podemos factorizar I como producto de potencias primas: y mediante el teorema chino del resto , por lo que basta ver que cada uno es un anillo principal. Pero es isomorfo al cociente del anillo de valoración discreto y, al ser cociente de un anillo principal, es en sí mismo un anillo principal. ${\displaystyle I=\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R/I\cong \prod _{i=1}^{n}R/P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R_{P_{i}}/P_{i}^{a_{i}}R_{P_{i}}}$ ${\displaystyle R_{P_{i}}}$

6. Sea k un campo finito y ponga , y . Entonces R es un anillo local finito que no es principal. ${\displaystyle A=k[x,y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle R=A/{\mathfrak {m}}^{2}}$

7. Sea X un conjunto finito. Luego se forma un anillo ideal principal conmutativo con unidad, donde representa el conjunto de diferencias simétricas y representa el conjunto de potencias de X. Si X tiene al menos dos elementos, entonces el anillo también tiene cero divisores. Si yo soy un ideal, entonces . Si en cambio X es infinito, el anillo no es principal: tomemos el ideal generado por los subconjuntos finitos de X , por ejemplo. ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\Delta ,\cap )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle I=(\bigcup I)}$

Teoría de la estructura para PIR conmutativos.

Los anillos principales construidos en el ejemplo 5 anterior son siempre anillos artinianos ; en particular, son isomorfos a un producto directo finito de los principales anillos locales artinianos. Un anillo principal artiniano local se llama anillo principal especial y tiene una estructura ideal extremadamente simple: solo hay un número finito de ideales, cada uno de los cuales es una potencia del ideal máximo. Por este motivo, los anillos principales especiales son ejemplos de anillos uniseriales .

El siguiente resultado proporciona una clasificación completa de los anillos principales en términos de anillos principales especiales y dominios ideales principales.

Teorema de Zariski-Samuel : Sea R un anillo principal. Entonces R puede escribirse como un producto directo , donde cada R _i es un dominio ideal principal o un anillo principal especial. ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}$

La prueba aplica el teorema chino del resto a una descomposición primaria mínima del ideal cero.

También existe el siguiente resultado, debido a Hungerford:

Teorema (Hungerford): Sea R un anillo principal. Entonces R puede escribirse como un producto directo , donde cada R _i es un cociente de un dominio ideal principal. ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}$

La prueba del teorema de Hungerford emplea los teoremas estructurales de Cohen para anillos locales completos.

Argumentando como en el ejemplo 3 anterior y utilizando el teorema de Zariski-Samuel, es fácil comprobar que el teorema de Hungerford es equivalente a la afirmación de que cualquier anillo principal especial es el cociente de un anillo de valoración discreto.

Ejemplos no conmutativos

Todo anillo semisimple R que no sea simplemente un producto de campos es un dominio ideal principal derecho e izquierdo no conmutativo. Todo ideal derecho e izquierdo es una suma directa de R , por lo que tiene la forma eR o Re donde e es un idempotente de R. Paralelamente a este ejemplo, se ve que los anillos regulares de von Neumann son anillos de Bézout tanto derecho como izquierdo.

Si D es un anillo de división y es un endomorfismo de anillo que no es un automorfismo , entonces se sabe que el anillo polinomial sesgado es un dominio ideal principal izquierdo que no es noetheriano derecho y, por lo tanto, no puede ser un anillo ideal principal derecho. Esto muestra que incluso para los dominios los anillos ideales principal izquierdo y principal derecho son diferentes. ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle D[x,\sigma ]}$

Referencias

1. Lam 2001, pag. 21.

• Hungerford, T. (1968), "Sobre la estructura de los anillos ideales principales", Pacific Journal of Mathematics , 25 (3): 543–547, doi : 10.2140/pjm.1968.25.543
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 131 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, señor  1838439
• Páginas 86 y 146-155 de Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Zariski, O .; Samuel, P. (1975), Álgebra conmutativa , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 28, 29, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag