diferencia simétrica

Elementos en exactamente uno de dos conjuntos.

En matemáticas , la diferencia simétrica de dos conjuntos , también conocida como unión disyuntiva y suma de conjuntos , es el conjunto de elementos que se encuentran en cualquiera de los conjuntos, pero no en su intersección. Por ejemplo, la diferencia simétrica de los conjuntos y es . ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \{3,4\}}$ ${\displaystyle \{1,2,4\}}$

La diferencia simétrica de los conjuntos A y B se denota comúnmente por (tradicionalmente, ), o . Puede verse como una forma de suma módulo 2 . ${\displaystyle A\operatorname {\vartriangle } B}$ ${\displaystyle A\ \Delta \ B}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle A\ominus B}$

El conjunto potencia de cualquier conjunto se convierte en un grupo abeliano bajo la operación de diferencia simétrica, con el conjunto vacío como elemento neutral del grupo y cada elemento de este grupo siendo su propio inverso . El conjunto potencia de cualquier conjunto se convierte en un anillo booleano , con diferencia simétrica como la suma del anillo y la intersección como la multiplicación del anillo.

Propiedades

diagrama de venn de ${\displaystyle ~(A\vartriangle B)\vartriangle C}$ ${\displaystyle ~\vartriangle ~}$ ${\displaystyle ~=~}$

La diferencia simétrica equivale a la unión de ambos complementos relativos , es decir: ^[1]

${\displaystyle A\,\vartriangle \,B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right),}$

La diferencia simétrica también se puede expresar usando la operación XOR ⊕ en los predicados que describen los dos conjuntos en notación de constructor de conjuntos :

${\displaystyle A\mathbin {\vartriangle } B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.}$

El mismo hecho puede expresarse como la función indicadora (denotada aquí por ) de la diferencia simétrica, siendo el XOR (o suma mod 2 ) de las funciones indicadoras de sus dos argumentos: o usando la notación entre corchetes de Iverson . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi _{(A\,\vartriangle \,B)}=\chi _{A}\oplus \chi _{B}}$ ${\displaystyle [x\in A\,\vartriangle \,B]=[x\in A]\oplus [x\in B]}$

La diferencia simétrica también se puede expresar como la unión de los dos conjuntos, menos su intersección :

${\displaystyle A\,\vartriangle \,B=(A\cup B)\setminus (A\cap B),}$^[1]

En particular, ; la igualdad en esta inclusión no estricta ocurre si y solo si y son conjuntos disjuntos . Además, denota y , entonces y siempre son disjuntos, por lo que y partición . En consecuencia, asumiendo la intersección y la diferencia simétrica como operaciones primitivas, la unión de dos conjuntos puede definirse bien en términos de diferencia simétrica por el lado derecho de la igualdad. ${\displaystyle A\mathbin {\vartriangle } B\subseteq A\cup B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle D=A\mathbin {\vartriangle } B}$ ${\displaystyle I=A\cap B}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A\cup B}$

${\displaystyle A\,\cup \,B=(A\,\vartriangle \,B)\,\vartriangle \,(A\cap B)}$.

La diferencia simétrica es conmutativa y asociativa :

${\displaystyle {\begin{aligned}A\,\vartriangle \,B&=B\,\vartriangle \,A,\\(A\,\vartriangle \,B)\,\vartriangle \,C&=A\,\vartriangle \,(B\,\vartriangle \,C).\end{aligned}}}$

El conjunto vacío es neutral y cada conjunto es su propio inverso:

${\displaystyle {\begin{aligned}A\,\vartriangle \,\varnothing &=A,\\A\,\vartriangle \,A&=\varnothing .\end{aligned}}}$

Por tanto, el conjunto potencia de cualquier conjunto X se convierte en un grupo abeliano bajo la operación de diferencias simétricas. (De manera más general, cualquier campo de conjuntos forma un grupo con la diferencia simétrica como operación). Un grupo en el que cada elemento es su propio inverso (o, de manera equivalente, en el que cada elemento tiene orden 2) a veces se denomina grupo booleano ; ^{[2] [3]} la diferencia simétrica proporciona un ejemplo prototípico de tales grupos. A veces, el grupo booleano en realidad se define como la operación de diferencia simétrica en un conjunto. ^[4] En el caso de que X tenga sólo dos elementos, el grupo así obtenido es el grupo de cuatro de Klein .

De manera equivalente, un grupo booleano es un grupo 2 abeliano elemental . En consecuencia, el grupo inducido por la diferencia simétrica es de hecho un espacio vectorial sobre el campo con 2 elementos Z ₂ . Si X es finito, entonces los singletons forman una base de este espacio vectorial y, por lo tanto, su dimensión es igual al número de elementos de X. Esta construcción se utiliza en teoría de grafos , para definir el espacio de ciclo de un gráfico.

De la propiedad de las inversas en un grupo booleano, se deduce que la diferencia simétrica de dos diferencias simétricas repetidas es equivalente a la diferencia simétrica repetida de la unión de los dos conjuntos múltiples, donde para cada conjunto doble ambos pueden eliminarse. En particular:

${\displaystyle (A\,\vartriangle \,B)\,\vartriangle \,(B\,\vartriangle \,C)=A\,\vartriangle \,C.}$

Esto implica desigualdad triangular: [ ^5] la diferencia simétrica de A y C está contenida en la unión de la diferencia simétrica de A y B y la de B y C.

La intersección se distribuye sobre la diferencia simétrica:

${\displaystyle A\cap (B\,\vartriangle \,C)=(A\cap B)\,\vartriangle \,(A\cap C),}$

y esto muestra que el conjunto potencia de X se convierte en un anillo , con diferencia simétrica como suma y intersección como multiplicación. Este es el ejemplo prototípico de un anillo booleano .

Otras propiedades de la diferencia simétrica incluyen:

• ${\displaystyle A\mathbin {\vartriangle } B=\emptyset }$si y solo si . ${\displaystyle A=B}$
• ${\displaystyle A\mathbin {\vartriangle } B=A^{c}\mathbin {\vartriangle } B^{c}}$, donde , es el complemento de , respectivamente, en relación con cualquier conjunto (fijo) que contenga ambos. ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle B^{c}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }\right)\vartriangle \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}B_{\alpha }\right)\subseteq \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}\left(A_{\alpha }\mathbin {\vartriangle } B_{\alpha }\right)}$, donde se establece un índice arbitrario no vacío. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
• Si es alguna función y hay algún conjunto en el codominio de , entonces ${\displaystyle f:S\rightarrow T}$ ${\displaystyle A,B\subseteq T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}\left(A\mathbin {\vartriangle } B\right)=f^{-1}\left(A\right)\mathbin {\vartriangle } f^{-1}\left(B\right).}$

La diferencia simétrica se puede definir en cualquier álgebra booleana , escribiendo

${\displaystyle x\,\vartriangle \,y=(x\lor y)\land \lnot (x\land y)=(x\land \lnot y)\lor (y\land \lnot x)=x\oplus y.}$

Esta operación tiene las mismas propiedades que la diferencia simétrica de conjuntos.

diferencia simétrica n -aria

La diferencia simétrica repetida es, en cierto sentido, equivalente a una operación en una multitud de conjuntos (posiblemente con múltiples apariciones del mismo conjunto) que da el conjunto de elementos que están en un número impar de conjuntos.

La diferencia simétrica de una colección de conjuntos contiene solo elementos que se encuentran en un número impar de conjuntos de la colección:

$${\displaystyle \vartriangle M=\left\{a\in \bigcup M:\left|\{A\in M:a\in A\}\right|{\text{ is odd}}\right\}.}$$

Evidentemente, esto está bien definido sólo cuando a cada elemento de la unión le aporta un número finito de elementos de . ${\textstyle \bigcup M}$ ${\displaystyle M}$

Supongamos que es un conjunto múltiple y . Luego hay una fórmula para el número de elementos en , dada únicamente en términos de intersecciones de elementos de : ${\displaystyle M=\left\{M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}\right\}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle |\vartriangle M|}$ ${\displaystyle \vartriangle M}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle |\vartriangle M|=\sum _{l=1}^{n}(-2)^{l-1}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{l}\leq n}\left|M_{i_{1}}\cap M_{i_{2}}\cap \ldots \cap M_{i_{l}}\right|.}$$

Diferencia simétrica en espacios de medida.

Mientras exista una noción de "qué tan grande" es un conjunto, la diferencia simétrica entre dos conjuntos puede considerarse una medida de qué tan "distantes" están.

Consideremos primero un conjunto finito S y la medida de conteo de subconjuntos dados por su tamaño. Consideremos ahora dos subconjuntos de S y separemos su distancia como el tamaño de su diferencia simétrica. Esta distancia es de hecho una métrica , lo que hace que la potencia puesta en S sea un espacio métrico . Si S tiene n elementos, entonces la distancia desde el conjunto vacío a S es n , y esta es la distancia máxima para cualquier par de subconjuntos. ^[6]

Utilizando las ideas de la teoría de la medida , la separación de conjuntos mensurables se puede definir como la medida de su diferencia simétrica. Si μ es una medida σ-finita definida en un σ-álgebra Σ, la función

${\displaystyle d_{\mu }(X,Y)=\mu (X\,\vartriangle \,Y)}$

es una pseudométrica en Σ. d _μ se convierte en una métrica si Σ se considera módulo de la relación de equivalencia X ~ Y si y solo si . A veces se le llama métrica de Fréchet - Nikodym . El espacio métrico resultante es separable si y sólo si L 2 (μ) es separable. ${\displaystyle \mu (X\,\vartriangle \,Y)=0}$

Si tenemos: . En efecto, ${\displaystyle \mu (X),\mu (Y)<\infty }$ ${\displaystyle |\mu (X)-\mu (Y)|\leq \mu (X\,\vartriangle \,Y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mu (X)-\mu (Y)|&=\left|\left(\mu \left(X\setminus Y\right)+\mu \left(X\cap Y\right)\right)-\left(\mu \left(X\cap Y\right)+\mu \left(Y\setminus X\right)\right)\right|\\&=\left|\mu \left(X\setminus Y\right)-\mu \left(Y\setminus X\right)\right|\\&\leq \left|\mu \left(X\setminus Y\right)\right|+\left|\mu \left(Y\setminus X\right)\right|\\&=\mu \left(X\setminus Y\right)+\mu \left(Y\setminus X\right)\\&=\mu \left(\left(X\setminus Y\right)\cup \left(Y\setminus X\right)\right)\\&=\mu \left(X\,\vartriangle \,Y\right)\end{aligned}}}$

Si es un espacio de medidas y son conjuntos medibles, entonces su diferencia simétrica también es medible: . Se puede definir una relación de equivalencia en conjuntos mensurables dejando y estar relacionados si . Esta relación se denota . ${\displaystyle S=\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu \right)}$ ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle F\vartriangle G\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu \left(F\vartriangle G\right)=0}$ ${\displaystyle F=G\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$

Dado , se escribe si a cada uno le corresponde algo así . La relación " " es un orden parcial de la familia de subconjuntos de . ${\displaystyle {\mathcal {D}},{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$ ${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle D=E\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$ ${\displaystyle \subseteq \left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Escribimos si y . La relación " " es una relación de equivalencia entre los subconjuntos de . ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$ ${\displaystyle =\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El cierre simétrico de es la colección de conjuntos todos mensurables que son para algunos . El cierre simétrico de contiene . Si es una subálgebra de , también lo es el cierre simétrico de . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle =\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$ ${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle F=G\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$iff casi en todas partes . ${\displaystyle \left|\mathbf {1} _{F}-\mathbf {1} _{G}\right|=0}$ ${\displaystyle \left[{\mathcal {A}},\mu \right]}$

Distancia de Hausdorff versus diferencia simétrica

La distancia de Hausdorff y el (área de la) diferencia simétrica son ambas pseudométricas en el conjunto de formas geométricas mensurables. Sin embargo, se comportan de manera bastante diferente. La figura de la derecha muestra dos secuencias de formas, "Rojo" y "Rojo ∪ Verde". Cuando la distancia de Hausdorff entre ellos se hace menor, el área de la diferencia simétrica entre ellos se hace mayor, y viceversa. Al continuar estas secuencias en ambas direcciones, es posible obtener dos secuencias tales que la distancia de Hausdorff entre ellas converja a 0 y la distancia simétrica entre ellas diverja, o viceversa.

Ver también

• Álgebra de conjuntos
• función booleana
• Complemento (teoría de conjuntos)
• Diferencia (teoría de conjuntos)
• Exclusivo o
• conjunto difuso
• Intersección (teoría de conjuntos)
• índice jaccard
• Lista de identidades y relaciones establecidas
• gráfico lógico
• Álgebras sigma separables
• Teoría de conjuntos
• Simetría
• Unión (teoría de conjuntos)
• principio de inclusión-exclusión

Referencias

1. Taylor, Courtney (31 de marzo de 2019). "¿Qué es la diferencia simétrica en matemáticas?". PensamientoCo . Consultado el 5 de septiembre de 2020 .
2. Gigante, Steven; Halmos, Paul (2009). Introducción a las Álgebras de Boole . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 6.ISBN _ 978-0-387-40293-2.
3. Humberstone, Lloyd (2011). Los Conectivos . Prensa del MIT. pag. 782.ISBN _ 978-0-262-01654-4.
4. Rotman, Joseph J. (2010). Álgebra moderna avanzada . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 19.ISBN _ 978-0-8218-4741-1.
5. Rudin, Walter (1 de enero de 1976). Principios del análisis matemático (3ª ed.). Educación McGraw-Hill. pag. 306.ISBN _ 978-0070542358.
6. Claude Flament (1963) Aplicaciones de la teoría de grafos a la estructura de grupos , página 16, Prentice-Hall MR 0157785

Bibliografía

• Halmos, Paul R. (1960). Teoría de conjuntos ingenua . La Serie Universitaria en Matemáticas de Pregrado. Compañía van Nostrand. Zbl  0087.04403.
• Diferencia simétrica de conjuntos. En Enciclopedia de Matemáticas