En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de anillos , la condición de Ore es una condición introducida por Øystein Ore , en relación con la cuestión de extender más allá de los anillos conmutativos la construcción de un campo de fracciones , o más generalmente la localización de un anillo. . La condición Ore correcta para un subconjunto multiplicativo S de un anillo R es que para a ∈ R y s ∈ S , la intersección aS ∩ sR ≠ ∅ . Un dominio (no conmutativo) para el cual el conjunto de elementos distintos de cero satisface la condición Ore correcta se llama dominio Ore correcto . El caso izquierdo se define de manera similar. [1]
El objetivo es construir el anillo derecho de fracciones R [ S −1 ] con respecto a un subconjunto multiplicativo S . En otras palabras, queremos trabajar con elementos de la forma −1 y tener una estructura de anillo en el conjunto R [ S −1 ] . El problema es que no existe una interpretación obvia del producto ( as −1 )( bt −1 ); de hecho, necesitamos un método para "mover" s −1 más allá de b . Esto significa que debemos poder reescribir s −1 b como producto b 1 s 1 −1 . [2] Supongamos que s −1 b = b 1 s 1 −1 luego multiplicando a la izquierda por s y a la derecha por s 1 , obtenemos bs 1 = sb 1 . De ahí vemos la necesidad, para a y s dados , de la existencia de a 1 y s 1 con s 1 ≠ 0 y tal que como 1 = sa 1 .
Como es bien sabido que cada dominio integral es un subanillo de un campo de fracciones (mediante una incrustación) de tal manera que cada elemento es de la forma rs −1 con s distinto de cero, es natural preguntarse si la misma construcción puede tome un dominio no conmutativo y asocie un anillo de división (un campo no conmutativo) con la misma propiedad. Resulta que la respuesta a veces es "no", es decir, hay dominios que no tienen un "anillo de división recta de fracciones" análogo.
Para cada dominio Ore derecho R , existe un anillo de división D único (hasta R -isomorfismo natural) que contiene R como subanillo tal que cada elemento de D tiene la forma rs −1 para r en R y s distinto de cero en R. Tal anillo de división D se llama anillo de fracciones rectas de R , y R se llama orden recto en D. La noción de anillo de fracciones izquierdas y orden izquierdo se define de manera análoga, siendo los elementos de D de la forma s −1 r .
Es importante recordar que la definición de que R es un orden correcto en D incluye la condición de que D debe consistir enteramente en elementos de la forma rs −1 . Cualquier dominio que satisfaga una de las condiciones de Ore puede considerarse un subanillo de un anillo de división; sin embargo, esto no significa automáticamente que R sea un orden izquierdo en D , ya que es posible que D tenga un elemento que no sea de la forma s −1 r. . Por lo tanto, es posible que R sea un dominio Ore de derecha y no de izquierda. Intuitivamente, la condición de que todos los elementos de D sean de la forma rs −1 dice que R es un R -submódulo "grande" de D . De hecho, la condición garantiza que R R sea un submódulo esencial de DR . Por último, hay incluso un ejemplo de un dominio en un anillo de división que no satisface ninguna de las condiciones Ore (ver ejemplos a continuación).
Otra pregunta natural es: "¿Cuándo es correcto un subanillo de un anillo de división?" Una caracterización es que un subanillo R de un anillo de división D es un dominio Ore derecho si y solo si D es un módulo R plano izquierdo (Lam 2007, Ex. 10.20).
Generalmente se da una versión diferente y más fuerte de las condiciones de Ore para el caso en el que R no es un dominio, es decir, que debería haber un múltiplo común.
con u , v no divisores cero . En este caso, el teorema de Ore garantiza la existencia de un anillo superior llamado anillo clásico de cocientes (derecho o izquierdo) .
Los dominios conmutativos son automáticamente dominios Ore, ya que para a y b distintos de cero , ab es distinto de cero en aR ∩ bR . También se sabe que los dominios noetherianos derechos , como los dominios ideales principales derechos , son dominios minerales derechos. Aún más en general, Alfred Goldie demostró que un dominio R es correcto si y sólo si R tiene una dimensión uniforme finita . También es cierto que los dominios correctos de Bézout son correctos de Ore.
Un subdominio de un anillo de división que no es Ore derecho ni izquierdo: Si F es cualquier campo y es el monoide libre en dos símbolos x e y , entonces el anillo monoide no satisface ninguna condición Ore, pero es un anillo ideal libre. y por tanto, de hecho, un subanillo de un anillo de división, por (Cohn 1995, Cor 4.5.9).
La condición Ore se puede generalizar a otros subconjuntos multiplicativos y se presenta en forma de libro de texto en (Lam 1999, §10) y (Lam 2007, §10). Un subconjunto S de un anillo R se llama conjunto denominador recto si satisface las siguientes tres condiciones para cada a , b en R , y s , t en S :
Si S es un conjunto de denominadores rectos, entonces se puede construir el anillo de fracciones rectas RS −1 de manera similar al caso conmutativo. Si se considera que S es el conjunto de elementos regulares (aquellos elementos a en R tales que si b en R es distinto de cero, entonces ab y ba son distintos de cero), entonces la condición correcta es simplemente el requisito de que S sea un conjunto de denominador correcto. .
Muchas propiedades de la localización conmutativa se mantienen en este entorno más general. Si S es un denominador derecho establecido para un anillo R , entonces el módulo R izquierdo RS −1 es plano . Además, si M es un módulo R recto , entonces la torsión S , tor S ( M ) = { m en M : ms = 0 para algunos s en S }, es un submódulo R isomorfo a Tor 1 ( M , RS −1 ) , y el módulo M ⊗ R RS −1 es naturalmente isomorfo a un módulo MS −1 que consta de "fracciones" como en el caso conmutativo.