stringtranslate.com

Dominio Bézout

En matemáticas , un dominio de Bézout es una forma de dominio de Prüfer . Es un dominio integral en el que la suma de dos ideales principales es nuevamente un ideal principal. Esto significa que para cada par de elementos se cumple una identidad de Bézout y que todo ideal finitamente generado es principal. Cualquier dominio ideal principal (PID) es un dominio de Bézout, pero un dominio de Bézout no necesita ser un anillo noetheriano , por lo que podría tener ideales generados de forma no finita (lo que obviamente excluye ser un PID); si es así, no es un dominio de factorización único (UFD), pero sigue siendo un dominio GCD . La teoría de los dominios de Bézout conserva muchas de las propiedades de los PID, sin requerir la propiedad noetheriana. Los dominios Bézout llevan el nombre del matemático francés Étienne Bézout .

Ejemplos

  1. Basta demostrar que para cada par a , b en S existen s , t en S tales que as + bt divide tanto a como b .
  2. Si a y b tienen un divisor común d , basta con demostrarlo para a / d y b / d , ya que lo mismo s , t servirá.
  3. Podemos suponer los polinomios a y b distintos de cero; si ambos tienen un término constante cero, entonces sea n el exponente mínimo tal que al menos uno de ellos tenga un coeficiente distinto de cero de X n ; se puede encontrar f en F tal que fX n es un divisor común de ayb y dividir por él.
  4. Por lo tanto, podemos suponer que al menos uno de a , b tiene un término constante distinto de cero. Si a y b vistos como elementos de F [ X ] no son primos relativos, hay un máximo común divisor de a y b en esta UFD que tiene término constante 1 y, por lo tanto, se encuentra en S ; podemos dividir por este factor.
  5. Por lo tanto, también podemos suponer que a y b son primos relativos en F [ X ], de modo que 1 se encuentra en aF [ X ] + bF [ X ] , y algún polinomio constante r en R se encuentra en aS + bS . Además, dado que R es un dominio de Bézout, el mcd d en R de los términos constantes a 0 y b 0 se encuentra en a 0 R + b 0 R . Dado que cualquier elemento sin término constante, como a − a 0 o b − b 0 , es divisible por cualquier constante distinta de cero, la constante d es un divisor común en S de a y b ; Demostraremos que, de hecho, es un máximo común divisor demostrando que se encuentra en aS + bS . Multiplicar a y b respectivamente por los coeficientes de Bézout para d con respecto a a 0 y b 0 da un polinomio p en aS + bS con término constante d . Entonces p − d tiene un término constante cero, por lo que es un múltiplo en S del polinomio constante r y, por lo tanto, se encuentra en aS + bS . Pero entonces d también lo hace, lo que completa la prueba.

Propiedades

Un anillo es un dominio de Bézout si y sólo si es un dominio integral en el que dos elementos cualesquiera tienen un máximo común divisor que es una combinación lineal de ellos: esto equivale a la afirmación de que un ideal generado por dos elementos también es generado por un solo elemento, y la inducción demuestra que todos los ideales generados finitamente son principales. La expresión del máximo común divisor de dos elementos de un PID como combinación lineal suele denominarse identidad de Bézout , de ahí la terminología.

Tenga en cuenta que la condición de mcd anterior es más fuerte que la mera existencia de un mcd. Un dominio integral donde existe un mcd para dos elementos cualesquiera se llama dominio MCD y, por lo tanto, los dominios de Bézout son dominios MCD. En particular, en un dominio de Bézout, los irreducibles son primos (pero como muestra el ejemplo de los enteros algebraicos, no es necesario que existan).

Para un dominio de Bézout R , las siguientes condiciones son todas equivalentes:

  1. R es un dominio ideal principal.
  2. R es noetheriano.
  3. R es un dominio de factorización único (UFD).
  4. R satisface la condición de la cadena ascendente de los ideales principales (ACCP).
  5. Cada no unidad distinta de cero en R se factoriza en un producto de irreducibles (R es un dominio atómico ).

La equivalencia de (1) y (2) se señaló anteriormente. Dado que un dominio de Bézout es un dominio GCD, se deduce inmediatamente que (3), (4) y (5) son equivalentes. Finalmente, si R no es noetheriano, entonces existe una cadena ascendente infinita de ideales finitamente generados, por lo que en un dominio de Bézout una cadena ascendente infinita de ideales principales. (4) y (2) son, por tanto, equivalentes.

Un dominio de Bézout es un dominio de Prüfer , es decir, un dominio en el que cada ideal finitamente generado es invertible, o dicho de otra manera, un dominio conmutativo semihereditario ) .

En consecuencia, se puede ver la equivalencia "dominio Bézout si dominio Prüfer y dominio GCD" como análoga al más familiar " dominio PID si si Dedekind y UFD".

Los dominios de Prüfer se pueden caracterizar como dominios integrales cuyas localizaciones en todos los ideales primos (equivalentemente, en todos los máximos ) son dominios de valoración . Entonces, la localización de un dominio de Bézout en un ideal primo es un dominio de valoración. Dado que un ideal invertible en un anillo local es principal, un anillo local es un dominio de Bézout si es un dominio de valoración. Además, un dominio de valoración con un grupo de valores no cíclico (equivalentemente no discreto ) no es noetheriano, y todo grupo abeliano totalmente ordenado es el grupo de valores de algún dominio de valoración. Esto proporciona muchos ejemplos de dominios Bézout no noetherianos.

En álgebra no conmutativa, los dominios de Bézout derechos son dominios cuyos ideales derechos finitamente generados son ideales derechos principales, es decir, de la forma xR para algún x en R. Un resultado notable es que un dominio Bézout correcto es un dominio Ore correcto . Este hecho no es interesante en el caso conmutativo, ya que todo dominio conmutativo es un dominio Ore. Los dominios de Bézout derechos también son anillos semihereditarios derechos.

Módulos sobre un dominio Bézout

Algunos datos sobre los módulos sobre un PID se extienden a los módulos sobre un dominio Bézout. Sea R un dominio de Bézout y M un módulo generado finitamente sobre R. Entonces M es plano si y sólo si está libre de torsión. [2]

Ver también

Referencias

  1. ^ Cohn
  2. ^ Bourbaki 1989, Capítulo I, §2, no 4, Proposición 3

Bibliografía