elemento irreducible

En álgebra, elemento sin factores no triviales.

En álgebra , un elemento irreducible de un dominio integral es un elemento distinto de cero que no es invertible (es decir, no es una unidad ) y no es el producto de dos elementos no invertibles.

Los elementos irreducibles son los elementos terminales de un proceso de factorización ; es decir, son los factores que no se pueden factorizar más. Los factores irreducibles de un elemento se definen unívocamente, hasta la multiplicación por una unidad, si el dominio integral es un dominio de factorización único . Se descubrió en el siglo XIX que los anillos de números enteros de algunos campos numéricos no son dominios de factorización únicos y, por tanto, que algunos elementos irreducibles pueden aparecer en alguna factorización de un elemento y no en otras factorizaciones del mismo elemento. La ignorancia de este hecho es el error principal en muchas de las demostraciones erróneas del último teorema de Fermat que se dieron durante los tres siglos transcurridos entre el enunciado de Fermat y la demostración del último teorema de Fermat por parte de Wiles .

Si es un dominio integral, entonces es un elemento irreducible de si y sólo si, para todo , la ecuación implica que el ideal generado por es igual al ideal generado por o igual al ideal generado por . Esta equivalencia no se cumple para los anillos conmutativos generales, razón por la cual la suposición de que el anillo no tiene divisores de cero distintos de cero se hace comúnmente en la definición de elementos irreducibles. Resulta también que hay varias maneras de extender la definición de un elemento irreducible a un anillo conmutativo arbitrario . ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b,c\in R}$ ${\displaystyle a=bc}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Relación con los elementos primos

Los elementos irreducibles no deben confundirse con los elementos primos . (Un elemento no unitario distinto de cero en un anillo conmutativo se llama primo si, siempre que para algunos y en entonces o ) En un dominio integral , todo elemento primo es irreducible, ^{[a] [2]} pero lo contrario no es cierto en general. Lo contrario es cierto para los dominios de factorización únicos ^[2] (o, más generalmente, los dominios MCD ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\mid bc}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle a\mid c.}$

Además, si bien un ideal generado por un elemento primo es un ideal primo , no es cierto en general que un ideal generado por un elemento irreducible sea un ideal irreducible . Sin embargo, si es un dominio MCD y es un elemento irreducible de , entonces, como se señaló anteriormente, es primo y, por lo tanto, el ideal generado por es un ideal primo (por lo tanto, irreducible) de . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$

Ejemplo

En el anillo de enteros cuadráticos se puede demostrar utilizando argumentos normativos que el número 3 es irreducible. Sin embargo, no es un elemento primordial en este anillo ya que, por ejemplo, ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],}$

${\displaystyle 3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,}$

pero 3 no divide ninguno de los dos factores. ^[3]

Ver también

• Polinomio irreducible

Notas

1. Considere un elemento primo de y supongamos Entonces o Digamos que tenemos Porque es un dominio integral tenemos Entonces es una unidad y es irreducible. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p=ab.}$ ${\displaystyle p\mid ab\Rightarrow p\mid a}$ ${\displaystyle p\mid b.}$ ${\displaystyle p\mid a\Rightarrow a=pc,}$ ${\displaystyle p=ab=pcb\Rightarrow p(1-cb)=0.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle cb=1.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$

Referencias

1. Anderson, DD; Valdés-León, Silvia (1 de junio de 1996). "Factorización en anillos conmutativos con divisores cero". Revista de Matemáticas de las Montañas Rocosas . 26 (2): 439–480. doi : 10.1216/rmjm/1181072068 . ISSN  0035-7596.
2. Sharpe, David (1987). Anillos y factorización . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 54.ISBN​ 0-521-33718-6. Zbl  0674.13008.
3. William W. Adams y Larry Joel Goldstein (1976), Introducción a la teoría de números , p. 250, Prentice-Hall, Inc., ISBN 0-13-491282-9