Las finanzas matemáticas , también conocidas como finanzas cuantitativas y matemáticas financieras , son un campo de las matemáticas aplicadas , que se ocupa del modelado matemático en el campo financiero.
En general, existen dos ramas separadas de las finanzas que requieren técnicas cuantitativas avanzadas: la fijación de precios de derivados por un lado, y la gestión de riesgos y carteras por el otro. [1] Las finanzas matemáticas se superponen en gran medida con los campos de las finanzas computacionales y la ingeniería financiera . Esta última se centra en las aplicaciones y el modelado, a menudo con la ayuda de modelos de activos estocásticos , mientras que la primera se centra, además del análisis, en la construcción de herramientas de implementación para los modelos. También está relacionada la inversión cuantitativa , que se basa en modelos estadísticos y numéricos (y últimamente en el aprendizaje automático ) en contraposición al análisis fundamental tradicional a la hora de gestionar carteras .
La tesis doctoral del matemático francés Louis Bachelier , defendida en 1900, se considera el primer trabajo académico sobre finanzas matemáticas. Pero las finanzas matemáticas surgieron como disciplina en la década de 1970, a raíz del trabajo de Fischer Black , Myron Scholes y Robert Merton sobre la teoría de precios de opciones. La inversión matemática se originó a partir de la investigación del matemático Edward Thorp , quien utilizó métodos estadísticos para inventar por primera vez el conteo de cartas en el blackjack y luego aplicó sus principios a la inversión sistemática moderna. [2]
El tema tiene una estrecha relación con la disciplina de la economía financiera , que se ocupa de gran parte de la teoría subyacente que está involucrada en las matemáticas financieras. Mientras que los economistas capacitados utilizan modelos económicos complejos que se basan en relaciones empíricas observadas, en contraste, el análisis financiero matemático derivará y extenderá los modelos matemáticos o numéricos sin establecer necesariamente un vínculo con la teoría financiera, tomando los precios de mercado observados como entrada. Ver: Valoración de opciones ; Modelado financiero ; Fijación de precios de activos . El teorema fundamental de fijación de precios sin arbitraje es uno de los teoremas clave en las finanzas matemáticas, mientras que la ecuación y la fórmula de Black-Scholes se encuentran entre los resultados clave. [3]
Hoy en día, muchas universidades ofrecen programas de grado e investigación en finanzas matemáticas.
Existen dos ramas distintas de las finanzas que requieren técnicas cuantitativas avanzadas: la determinación de precios de derivados y la gestión de riesgos y carteras. Una de las principales diferencias es que utilizan probabilidades diferentes, como la probabilidad neutral al riesgo (o probabilidad de determinación de precios por arbitraje), denotada por "Q", y la probabilidad real (o actuarial), denotada por "P".
El objetivo de la fijación de precios de los derivados es determinar el precio justo de un valor determinado en términos de valores más líquidos cuyo precio está determinado por la ley de la oferta y la demanda . El significado de "justo" depende, por supuesto, de si se considera comprar o vender el valor. Algunos ejemplos de valores a los que se les fija el precio son las opciones simples y exóticas , los bonos convertibles , etc.
Una vez que se ha determinado un precio justo, el operador del lado vendedor puede crear un mercado sobre el valor. Por lo tanto, la fijación de precios de derivados es un ejercicio complejo de "extrapolación" para definir el valor de mercado actual de un valor, que luego es utilizado por la comunidad del lado vendedor. La fijación de precios de derivados cuantitativos fue iniciada por Louis Bachelier en La teoría de la especulación ("Théorie de la spéculation", publicada en 1900), con la introducción del proceso más básico e influyente, el movimiento browniano , y sus aplicaciones a la fijación de precios de opciones. [4] [5] El movimiento browniano se deriva utilizando la ecuación de Langevin y el paseo aleatorio discreto . [6] Bachelier modeló la serie temporal de cambios en el logaritmo de los precios de las acciones como un paseo aleatorio en el que los cambios a corto plazo tenían una varianza finita . Esto hace que los cambios a largo plazo sigan una distribución gaussiana . [7]
La teoría permaneció latente hasta que Fischer Black y Myron Scholes , junto con las contribuciones fundamentales de Robert C. Merton , aplicaron el segundo proceso más influyente, el movimiento browniano geométrico , a la fijación de precios de opciones . Por esto, M. Scholes y R. Merton recibieron el Premio Nobel de Economía de 1997. Black no era elegible para el premio porque murió en 1995. [8]
El siguiente paso importante fue el teorema fundamental de fijación de precios de activos de Harrison y Pliska (1981), según el cual el precio actual P 0 de un título adecuadamente normalizado está libre de arbitraje y, por lo tanto, es verdaderamente justo sólo si existe un proceso estocástico P t con un valor esperado constante que describe su evolución futura: [9]
Un proceso que satisface ( 1 ) se denomina " martingala ". Una martingala no recompensa el riesgo. Por lo tanto, la probabilidad del proceso de precio de título normalizado se denomina "neutral al riesgo" y normalmente se denota con la letra " " en la pizarra .
La relación ( 1 ) debe cumplirse para todos los tiempos t: por lo tanto, los procesos utilizados para la fijación de precios de derivados se establecen naturalmente en tiempo continuo.
Los quants que operan en el mundo Q de la fijación de precios de derivados son especialistas con un profundo conocimiento de los productos específicos que modelan.
Los valores se cotizan individualmente y, por lo tanto, los problemas en el mundo Q son de naturaleza poco dimensional. La calibración es uno de los principales desafíos del mundo Q: una vez que se ha calibrado un proceso paramétrico de tiempo continuo para un conjunto de valores negociados a través de una relación como ( 1 ), se utiliza una relación similar para definir el precio de nuevos derivados.
Las principales herramientas cuantitativas necesarias para manejar procesos Q en tiempo continuo son el cálculo estocástico de Itô , la simulación y las ecuaciones diferenciales parciales (EDP). [10]
La gestión de riesgos y carteras tiene como objetivo modelar la distribución de probabilidad derivada estadísticamente de los precios de mercado de todos los valores en un horizonte de inversión futuro determinado. Esta distribución de probabilidad "real" de los precios de mercado se denota normalmente con la letra de pizarra " ", a diferencia de la probabilidad "neutral al riesgo" " " que se utiliza en la fijación de precios de derivados. Con base en la distribución P, la comunidad compradora toma decisiones sobre qué valores comprar para mejorar el perfil prospectivo de ganancias y pérdidas de sus posiciones consideradas como cartera. Cada vez más, los elementos de este proceso se automatizan; consulte Esquema de finanzas § Inversión cuantitativa para obtener una lista de artículos relevantes.
Por su trabajo pionero, Markowitz y Sharpe , junto con Merton Miller , compartieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas de 1990 , otorgado por primera vez por un trabajo en finanzas.
El trabajo de selección de cartera de Markowitz y Sharpe introdujo las matemáticas a la gestión de inversiones . Con el tiempo, las matemáticas se han vuelto más sofisticadas. Gracias a Robert Merton y Paul Samuelson, los modelos de un período fueron reemplazados por modelos de tiempo continuo, de movimiento browniano , y la función de utilidad cuadrática implícita en la optimización de media-varianza fue reemplazada por funciones de utilidad cóncavas y crecientes más generales. [11] Además, en los últimos años el enfoque se desplazó hacia el riesgo de estimación, es decir, los peligros de asumir incorrectamente que el análisis avanzado de series de tiempo por sí solo puede proporcionar estimaciones completamente precisas de los parámetros del mercado. [12] Véase Gestión de riesgos financieros § Gestión de inversiones .
Se ha dedicado mucho esfuerzo al estudio de los mercados financieros y de cómo varían los precios con el tiempo. Charles Dow , uno de los fundadores de Dow Jones & Company y The Wall Street Journal , enunció un conjunto de ideas sobre el tema que ahora se denominan Teoría de Dow . Esta es la base del llamado método de análisis técnico para intentar predecir cambios futuros. Uno de los principios del "análisis técnico" es que las tendencias del mercado dan una indicación del futuro, al menos en el corto plazo. Muchos académicos cuestionan las afirmaciones de los analistas técnicos. [ cita requerida ]
Las secuelas de la crisis financiera de 2009, así como los múltiples desplomes repentinos de principios de la década de 2010, provocaron indignación social en la población en general y malestar ético en la comunidad científica, lo que desencadenó cambios notables en las finanzas cuantitativas. Más específicamente, se instruyó a las finanzas matemáticas para que cambiaran y se volvieran más realistas en lugar de más convenientes. El aumento simultáneo de los macrodatos y la ciencia de datos contribuyó a facilitar estos cambios. Más específicamente, en términos de definición de nuevos modelos, vimos un aumento significativo en el uso del aprendizaje automático que superó a los modelos tradicionales de finanzas matemáticas. [13]
Con el paso de los años se han desarrollado modelos matemáticos y estrategias de fijación de precios de derivados cada vez más sofisticados, pero su credibilidad se vio dañada por la crisis financiera de 2007-2010 . La práctica contemporánea de las finanzas matemáticas ha sido objeto de críticas por parte de figuras dentro del campo, en particular por Paul Wilmott y por Nassim Nicholas Taleb , en su libro El cisne negro . [14] Taleb afirma que los precios de los activos financieros no pueden caracterizarse por los modelos simples que se utilizan actualmente, lo que hace que gran parte de la práctica actual sea, en el mejor de los casos, irrelevante y, en el peor, peligrosamente engañosa. Wilmott y Emanuel Derman publicaron el Manifiesto de los modeladores financieros en enero de 2009 [15], que aborda algunas de las preocupaciones más graves. Organismos como el Instituto para el Nuevo Pensamiento Económico están intentando ahora desarrollar nuevas teorías y métodos. [16]
En general, se dice cada vez más que modelar los cambios mediante distribuciones con varianza finita es inadecuado. [17] En la década de 1960, Benoit Mandelbrot descubrió que los cambios en los precios no siguen una distribución gaussiana , sino que se modelan mejor mediante distribuciones estables alfa de Lévy . [18] La escala del cambio, o volatilidad, depende de la longitud del intervalo de tiempo elevado a una potencia un poco mayor que 1/2. Es más probable que se produzcan grandes cambios hacia arriba o hacia abajo que los que se calcularían utilizando una distribución gaussiana con una desviación estándar estimada . Pero el problema es que no resuelve el problema, ya que hace que la parametrización sea mucho más difícil y el control del riesgo menos fiable. [14]
Tal vez más fundamental: aunque los modelos matemáticos financieros pueden generar una ganancia en el corto plazo, este tipo de modelado a menudo está en conflicto con un principio central de la macroeconomía moderna, la crítica de Lucas -o expectativas racionales- que establece que las relaciones observadas pueden no ser de naturaleza estructural y, por lo tanto, puede que no sea posible explotarlas para políticas públicas o para obtener ganancias a menos que hayamos identificado relaciones utilizando análisis causal y econometría . [19] Por lo tanto, los modelos matemáticos financieros no incorporan elementos complejos de la psicología humana que son críticos para modelar los movimientos macroeconómicos modernos, como el pánico autocumplido que motiva las corridas bancarias .
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