Cubo (álgebra)

Número elevado a la tercera potencia

y = x ³ para valores de 1 ≤ x ≤ 25 .

En aritmética y álgebra , el cubo de un número n es su tercera potencia , es decir, el resultado de multiplicar entre sí tres instancias de n . El cubo de un número o cualquier otra expresión matemática se denota con un superíndice 3, por ejemplo 2 ³ = 8 o ( x + 1) ³ .

El cubo es también el número multiplicado por su cuadrado :

norte ³ = norte × norte ² = norte × norte × norte .

La función cubo es la función x ↦ x ³ (a menudo denotada y = x ³ ) que asigna un número a su cubo. Es una función impar , ya que

(−n ) 3 ^{= −} ( n3 ) .

El volumen de un cubo geométrico es el cubo de la longitud de su lado, de ahí el nombre. La operación inversa que consiste en hallar un número cuyo cubo sea n se llama extraer la raíz cúbica de n . Determina el lado del cubo de un volumen dado. También es n elevado a la tercera potencia.

La gráfica de la función cúbica se conoce como parábola cúbica . Como la función cúbica es una función impar, esta curva tiene un centro de simetría en el origen, pero no tiene eje de simetría .

En números enteros

Un número cúbico , o un cubo perfecto , o a veces simplemente un cubo , es un número que es el cubo de un entero . Los cubos perfectos no negativos hasta 60 ³ son (secuencia A000578 en la OEIS ):

Geométricamente hablando, un entero positivo m es un cubo perfecto si y solo si se pueden ordenar m cubos unitarios sólidos para formar un cubo sólido más grande. Por ejemplo, 27 cubos pequeños se pueden ordenar para formar uno más grande con la apariencia de un cubo de Rubik , ya que 3 × 3 × 3 = 27 .

La diferencia entre los cubos de números enteros consecutivos se puede expresar de la siguiente manera:

norte ³ - ( norte - 1) ³ = 3 ( norte - 1) norte + 1 .

o

( norte + 1 ) ³ - norte ³ = 3 ( norte + 1 ) norte + 1 .

No existe un cubo perfecto mínimo, ya que el cubo de un entero negativo es negativo. Por ejemplo, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .

Base diez

A diferencia de los cuadrados perfectos , los cubos perfectos no tienen un número pequeño de posibilidades para los dos últimos dígitos. A excepción de los cubos divisibles por 5, donde solo 25 , 75 y 00 pueden ser los dos últimos dígitos, cualquier par de dígitos con el último dígito impar puede aparecer como los últimos dígitos de un cubo perfecto. Con los cubos pares , hay una restricción considerable, ya que solo 00 , o 2 , e 4 , o 6 y e 8 pueden ser los dos últimos dígitos de un cubo perfecto (donde o representa cualquier dígito impar y e cualquier dígito par). Algunos números cúbicos también son números cuadrados; por ejemplo, 64 es un número cuadrado (8 × 8) y un número cúbico (4 × 4 × 4) . Esto sucede si y solo si el número es una sexta potencia perfecta (en este caso 2 ⁶ ).

Los últimos dígitos de cada 3ª potencia son:

Sin embargo, es fácil demostrar que la mayoría de los números no son cubos perfectos, ya que todos los cubos perfectos deben tener raíz digital 1 , 8 o 9. Es decir, sus valores módulo 9 pueden ser solo 0, 1 y 8. Además, la raíz digital del cubo de cualquier número se puede determinar por el resto que da el número cuando se divide por 3:

• Si el número x es divisible por 3, su raíz cúbica tiene raíz digital 9; es decir,

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ (actually}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};}$

• Si al dividirlo por 3 tiene resto 1, su cubo tiene raíz digital 1; es decir,

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};}$

• Si al dividirlo por 3 tiene resto 2, su raíz cúbica tiene raíz digital 8; es decir,

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.}$

Sumas de dos cubos

Sumas de tres cubos

Se conjetura que todo entero (positivo o negativo) no congruente con ±4 módulo 9 puede escribirse como suma de tres cubos (positivos o negativos) de infinitas maneras. ^[1] Por ejemplo, . Los enteros congruentes con ±4 módulo 9 se excluyen porque no pueden escribirse como suma de tres cubos. ${\displaystyle 6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}}$

El número entero más pequeño para el que no se conoce dicha suma es 114. En septiembre de 2019, se descubrió que el número entero más pequeño anterior sin suma de 3 cubos conocida, 42, satisfacía esta ecuación: ^[2]

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.}$

En la tabla siguiente se da una solución para n ≤ 78 y n no congruente con 4 o 5 módulo 9. La solución seleccionada es la que es primitiva ( mcd( x , y , z ) = 1 ), no tiene la forma o (ya que son familias infinitas de soluciones), satisface 0 ≤ | x | ≤ | y | ≤ | z | y tiene valores mínimos para | z | y | (probados en este orden). [ 3 ^{] [4] [5]} ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ ${\displaystyle c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}}$ ${\displaystyle (n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}}$

Solo se seleccionan soluciones primitivas, ya que las no primitivas se pueden deducir trivialmente de soluciones para un valor menor de n . Por ejemplo, para n = 24 , la solución resulta de la solución al multiplicar todo por Por lo tanto, esta es otra solución que se selecciona. De manera similar, para n = 48 , se excluye la solución ( x , y , z ) = (-2, -2, 4) , y esta es la solución ( x , y , z ) = (-23, -26, 31) que se selecciona. ${\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}=24}$ ${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3}$ ${\displaystyle 8=2^{3}.}$

El último teorema de Fermat para cubos

La ecuación x ³ + y ³ = z ³ no tiene soluciones no triviales (es decir, xyz ≠ 0 ) en números enteros. De hecho, no tiene ninguna en números enteros de Eisenstein . ^[6]

Ambas afirmaciones también son verdaderas para la ecuación ^[7] x ³ + y ³ = 3 z ³ .

Suma de los primerosnortecubos

La suma de los primeros n cubos es el n -ésimo número triangular al cuadrado:

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

Prueba visual de que 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) ² .

Demostraciones. Charles Wheatstone  (1854) ofrece una derivación particularmente sencilla, al desarrollar cada cubo de la suma en un conjunto de números impares consecutivos. Comienza dando la identidad

${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ consecutive odd numbers}}}.}$

Esa identidad se relaciona con los números triangulares de la siguiente manera: ${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$

y por lo tanto los sumandos que se forman comienzan justo después de los que forman todos los valores anteriores hasta . Aplicando esta propiedad, junto con otra identidad bien conocida: ${\displaystyle n^{3}}$ ${\displaystyle 1^{3}}$ ${\displaystyle (n-1)^{3}}$

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),}$

Obtenemos la siguiente derivación:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

Demostración visual de que el cuadrado de un número triangular es igual a la suma de cubos.

En la literatura matemática más reciente, Stein (1971) utiliza la interpretación de estos números mediante el conteo de rectángulos para formar una prueba geométrica de la identidad (véase también Benjamin, Quinn y Wurtz 2006); observa que también se puede demostrar fácilmente (pero de manera poco informativa) por inducción, y afirma que Toeplitz (1963) proporciona "una interesante prueba árabe antigua". Kanim (2004) proporciona una prueba puramente visual, Benjamin y Orrison (2002) proporcionan dos pruebas adicionales, y Nelsen (1993) ofrece siete pruebas geométricas.

Por ejemplo, la suma de los primeros 5 cubos es el cuadrado del quinto número triangular,

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}}$

Se puede obtener un resultado similar para la suma de los primeros y cubos impares ,

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}}$

pero x , y deben satisfacer la ecuación de Pell negativa x ² − 2 y ² = −1 . Por ejemplo, para y = 5 y 29 , entonces,

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}}$

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}}$

y así sucesivamente. Además, todo número par perfecto , excepto el más bajo, es la suma de los dos primeros.^{⁠ p −1 / 2 ⁠}
cubos impares ( p = 3, 5, 7, ...):

${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}$

${\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}}$

Suma de cubos de números en progresión aritmética

Una interpretación del número de Platón, 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³

Hay ejemplos de cubos de números en progresión aritmética cuya suma es un cubo:

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$

${\displaystyle 11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}}$

${\displaystyle 31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}}$

El primero de ellos se identifica a veces como el misterioso número de Platón . La fórmula F para hallar la suma de n cubos de números en progresión aritmética con diferencia común d y cubo inicial a ³ ,

${\displaystyle F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}}$

viene dado por

${\displaystyle F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})}$

Una solución paramétrica para

${\displaystyle F(d,a,n)=y^{3}}$

se conoce para el caso especial de d = 1 , o cubos consecutivos, como lo encontró Pagliani en 1829. ^[8]

Cubos como sumas de números enteros impares sucesivos

En la secuencia de números enteros impares 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., el primero es un cubo ( 1 = 1 ³ ); la suma de los dos siguientes es el siguiente cubo ( 3 + 5 = 2 ³ ); la suma de los tres siguientes es el siguiente cubo ( 7 + 9 + 11 = 3 ³ ); y así sucesivamente.

Problema de Waring para cubos

Todo entero positivo puede escribirse como la suma de nueve cubos positivos (o menos). Este límite superior de nueve cubos no puede reducirse porque, por ejemplo, 23 no puede escribirse como la suma de menos de nueve cubos positivos:

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ^{3 + 1 3} + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ .

En números racionales

Todo número racional positivo es la suma de tres cubos racionales positivos, ^[9] y hay racionales que no son la suma de dos cubos racionales. ^[10]

En números reales, otros campos y anillos

y = x ³ graficado en un plano cartesiano

En los números reales , la función cubo conserva el orden: los números mayores tienen cubos mayores. En otras palabras, los cubos aumentan (estrictamente) de manera monótona . Además, su codominio es la recta real entera : la función x ↦ x ³  : R → R es una sobreyección (toma todos los valores posibles). Solo tres números son iguales a sus propios cubos: −1 , y 1 . Si −1 < x < 0 o 1 < x , entonces x ³ > x . Si x < −1 o 0 < x < 1 , entonces x ³ < x . Todas las propiedades mencionadas anteriormente se aplican también a cualquier potencia impar superior ( x ⁵ , x ⁷ , ...) de números reales. Las igualdades y desigualdades también son verdaderas en cualquier anillo ordenado .

Los volúmenes de sólidos euclidianos similares se relacionan como cubos de sus tamaños lineales.

En los números complejos , el cubo de un número puramente imaginario también es puramente imaginario. Por ejemplo, i ³ = − i .

La derivada de x ³ es igual a 3 x ² .

Los cubos ocasionalmente tienen la propiedad sobreyectiva en otros cuerpos , como en F p para tal primo p que p ≠ 1 (mod 3) , ^[11] pero no necesariamente: vea el contraejemplo con racionales anterior. También en F ₇ solo tres elementos 0, ±1 son cubos perfectos, de siete en total. −1, 0 y 1 son cubos perfectos en cualquier lugar y los únicos elementos de un cuerpo iguales a sus propios cubos: x ³ − x = x ( x − 1)( x + 1) .

Historia

La determinación de los cubos de números grandes era muy común en muchas civilizaciones antiguas . Los matemáticos mesopotámicos crearon tablillas cuneiformes con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas en el período Babilónico Antiguo (siglos XX al XVI a. C.). ^{[12] [13]} Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por el matemático griego Diofanto . ^[14] Herón de Alejandría ideó un método para calcular raíces cúbicas en el siglo I d. C. ^[15] Los métodos para resolver ecuaciones cúbicas y extraer raíces cúbicas aparecen en Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C. y comentado por Liu Hui en el siglo III d. C. ^[16]

Véase también

• Número de taxi
• Ecuación cúbica
• Duplicando el cubo
• Octava potencia
• Conjetura de la suma de potencias de Euler
• Quinto poder
• Cuarto poder
• Leyes de Kepler del movimiento planetario#Tercera ley
• Silla de montar de mono
• Poder perfecto
• Séptimo poder
• Sexto poder
• Cuadrado
• Número de taxi

Referencias

1. Huisman, Sander G. (27 de abril de 2016). "Sumas más recientes de tres cubos". arXiv : 1604.07746 [math.NT].
2. Booker, Andrew R.; Sutherland, Andrew V. (2021). "Sobre una cuestión de Mordell". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 118 (11). arXiv : 2007.01209 . Bibcode :2021PNAS..11822377B. doi : 10.1073/pnas.2022377118 . PMC 7980389 . PMID  33692126. 
3. Secuencias A060465, A060466 y A060467 en OEIS
4. Tres cubos
5. n = x^3+y^3+z^3
6. Hardy y Wright, Tesis 227
7. Hardy y Wright, Tesis 232
8. Bennett, Michael A.; Patel, Vandita; Siksek, Samir (2017), "Potencias perfectas que son sumas de cubos consecutivos", Mathematika , 63 (1): 230–249, arXiv : 1603.08901 , doi :10.1112/S0025579316000231, MR  3610012
9. Hardy y Wright, Tesis 234
10. Hardy y Wright, Tesis 233
11. El grupo multiplicativo de F _p es cíclico de orden p − 1 , y si no es divisible por 3, entonces los cubos definen un automorfismo de grupo .
12. Cooke, Roger (8 de noviembre de 2012). Historia de las matemáticas. John Wiley & Sons. pág. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
13. Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). La vida cotidiana en la antigua Mesopotamia . Greenwood Publishing Group. pág. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.
14. Van der Waerden, Geometría y álgebra de las civilizaciones antiguas, capítulo 4, Zúrich 1983 ISBN 0-387-12159-5 
15. Smyly, J. Gilbart (1920). "Fórmula de Heron para la raíz cúbica". Hermathena . 19 (42). Trinity College Dublin: 64–67. JSTOR  23037103.
16. Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). Los nueve capítulos sobre el arte matemático: guía y comentario. Oxford University Press. pp. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

Fuentes

• Benjamin, Arthur T.; Orrison, Michael E. (noviembre de 2002). "Dos demostraciones combinatorias rápidas de Σ k = 1 nk 3 = ( \smallmatrix n+1 2 \endsmallmatrix ) 2" (PDF) . The College Mathematics Journal . 33 (5): 406. doi :10.2307/1559017. JSTOR  1559017.
• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J.; Wurtz, Calyssa (1 de noviembre de 2006). "Sumar cubos contando rectángulos". The College Mathematics Journal . 37 (5): 387–389. doi :10.2307/27646391. JSTOR  27646391.
• Hardy, GH ; Wright, EM (1980). Introducción a la teoría de números (quinta edición). Oxford: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-853171-5.
• Kanim, Katherine (1 de octubre de 2004). "Demostración sin palabras: la suma de cubos: una extensión de la suma de cuadrados de Arquímedes". Revista de matemáticas . 77 (4): 298–299. doi :10.2307/3219288. JSTOR  3219288.
• Nelsen, Roger B. (1993). Pruebas sin palabras: ejercicios de pensamiento visual . Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-700-7.
• Stein, Robert G. (1 de mayo de 1971). "Una prueba combinatoria de que Σ k3 = (Σ k)2". Revista de matemáticas . 44 (3): 161–162. doi :10.2307/2688231. JSTOR  2688231.
• Toeplitz, Otto (1963). El cálculo: un enfoque genético . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-80667-9.
• Wheatstone, C. (1854). "Sobre la formación de potencias a partir de progresiones aritméticas". Actas de la Royal Society de Londres . 7 : 145–151. Bibcode :1854RSPS....7..145W. doi :10.1098/rspl.1854.0036. S2CID  121885197.