Puntos concíclicos

Puntos de un círculo común

Bisectrices perpendiculares concurrentes de cuerdas entre puntos concíclicos

Círculo circunscrito, C , y circuncentro, O , de un polígono cíclico , P

En geometría , se dice que un conjunto de puntos es concíclico (o cocíclico ) si se encuentran en un círculo común . Un polígono cuyos vértices son concíclicos se llama polígono cíclico , y el círculo se llama su círculo circunscrito o circuncírculo . Todos los puntos concíclicos son equidistantes del centro del círculo.

Tres puntos en el plano que no caen todos sobre una línea recta son concíclicos, por lo que todo triángulo es un polígono cíclico, con una circunferencia circunscrita bien definida . Sin embargo, cuatro o más puntos en el plano no son necesariamente concíclicos. Después de los triángulos, el caso especial de los cuadriláteros cíclicos ha sido el más estudiado.

Mediatrices perpendiculares

En general, el centro O de un círculo en el que se encuentran los puntos P y Q debe ser tal que OP y OQ estén a distancias iguales. Por lo tanto, O debe estar en la mediatriz del segmento de línea PQ . ^[1] Para n puntos distintos hay n ( n  − 1)/2 bisectrices, y la condición concíclica es que todas se encuentren en un único punto, el centro O .

Triángulos

Los vértices de cada triángulo caen sobre un círculo llamado circuncírculo . (Por esta razón, algunos autores definen "concíclico" sólo en el contexto de cuatro o más puntos en un círculo.) ^[2] Varios otros conjuntos de puntos definidos a partir de un triángulo también son concíclicos, con diferentes círculos; véase Círculo de nueve puntos ^[3] y Teorema de Lester . ^[4]

El radio del círculo en el que se encuentran un conjunto de puntos es, por definición, el radio del círculo circunscrito de cualquier triángulo con vértices en tres de esos puntos. Si las distancias por pares entre tres de los puntos son a , b y c , entonces el radio del círculo es

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}.}$

Aquí se dan la ecuación del círculo circunscrito de un triángulo y expresiones para el radio y las coordenadas del centro del círculo, en términos de las coordenadas cartesianas de los vértices .

Otros puntos concíclicos

En cualquier triángulo, los nueve puntos siguientes son concíclicos en lo que se llama el círculo de nueve puntos : los puntos medios de las tres aristas, los pies de las tres alturas y los puntos intermedios entre el ortocentro y cada uno de los tres vértices.

El teorema de Lester establece que en cualquier triángulo escaleno , los dos puntos de Fermat , el centro de nueve puntos y el circuncentro son concíclicos.

Si se trazan líneas a través del punto de Lemoine paralelas a los lados de un triángulo, entonces los seis puntos de intersección de las líneas y los lados del triángulo son concíclicos, en lo que se llama el círculo de Lemoine .

El círculo de van Lamoen asociado a cualquier triángulo dado contiene los circuncentros de los seis triángulos que están definidos en su interior por sus tres medianas . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

El circuncentro de un triángulo , su punto de Lemoine y sus dos primeros puntos de Brocard son concíclicos, y el segmento desde el circuncentro hasta el punto de Lemoine es un diámetro . ^[5]

Cuadriláteros cíclicos

Cuatro puntos concíclicos que forman un cuadrilátero cíclico , mostrando dos ángulos iguales

Un cuadrilátero ABCD con vértices concíclicos se llama cuadrilátero cíclico ; esto sucede si y solo si (el teorema del ángulo inscrito ) que es verdadero si y solo si los ángulos opuestos dentro del cuadrilátero son suplementarios . ^[6] Un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos a , b , c , d y semiperímetro s = ( a + b + c + d ) / 2 tiene su circunradio dado por ^{[7] [8]} ${\displaystyle \angle CAD=\angle CBD}$

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}},}$

una expresión que fue derivada por el matemático indio Vatasseri Parameshvara en el siglo XV.

Por el teorema de Ptolomeo , si un cuadrilátero está dado por las distancias por pares entre sus cuatro vértices A , B , C y D en orden, entonces es cíclico si y solo si el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$

Si dos líneas, una que contiene el segmento AC y la otra que contiene el segmento BD , se intersecan en X , entonces los cuatro puntos A , B , C , D son concíclicos si y solo si ^[9]

${\displaystyle \displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}$

La intersección X puede ser interna o externa al círculo. Este teorema se conoce como potencia de un punto .

Un cuadrilátero convexo es ortodiagonal (tiene diagonales perpendiculares) si y sólo si los puntos medios de los lados y los pies de las cuatro alturas son ocho puntos concíclicos, en lo que se llama el círculo de ocho puntos .

Polígonos cíclicos

Como corolario de la fórmula de la cuerda del anillo , el área limitada por el círculo circunscrito y el círculo inscrito de cada n -gono regular unitario es π /4

De manera más general, un polígono en el que todos los vértices son concíclicos se denomina polígono cíclico . Un polígono es cíclico si y solo si las bisectrices perpendiculares de sus aristas son concurrentes . ^[10] Todo polígono regular es un polígono cíclico.

En un polígono cíclico con un número impar de lados, todos los ángulos son iguales si y solo si el polígono es regular. En un polígono cíclico con un número par de lados, todos los ángulos son iguales si y solo si los lados alternos son iguales (es decir, los lados 1, 3, 5, … son iguales y los lados 2, 4, 6, … son iguales). ^[11]

Un pentágono cíclico con lados y área racionales se conoce como pentágono de Robbins . En todos los casos conocidos, sus diagonales también tienen longitudes racionales, aunque si esto es cierto para todos los pentágonos de Robbins posibles es un problema sin resolver. ^[12]

En cualquier n -gono cíclico con n par , la suma de un conjunto de ángulos alternos (el primero, el tercero, el quinto, etc.) es igual a la suma del otro conjunto de ángulos alternos. Esto se puede demostrar por inducción a partir del caso n = 4 , reemplazando en cada caso un lado por tres lados más y notando que estos tres lados nuevos junto con el lado antiguo forman un cuadrilátero que tiene esta propiedad; los ángulos alternos del último cuadrilátero representan las adiciones a las sumas de los ángulos alternos del n -gono anterior.

Un polígono tangencial es aquel que tiene un círculo inscrito tangente a cada lado del polígono; estos puntos de tangencia son, por tanto, concíclicos en el círculo inscrito. Sea un n -gono inscrito en un círculo, y sea otro n -gono tangente a ese círculo en los vértices del primer n -gono. Entonces, desde cualquier punto P en el círculo, el producto de las distancias perpendiculares desde P a los lados del primer n -gono es igual al producto de las distancias perpendiculares desde P a los lados del segundo n -gono. ^[13]

Punto en el círculo circunscrito

Sea un n -gono cíclico con vértices A ₁ , …, A _n en el círculo unitario. Entonces, para cualquier punto M en el arco menor A ₁ A _n , las distancias desde M a los vértices satisfacen ^[14]

${\displaystyle {\begin{cases}{\overline {MA_{1}}}+{\overline {MA_{3}}}+\cdots +{\overline {MA_{n-2}}}+{\overline {MA_{n}}}<n/{\sqrt {2}}&{\text{if }}n{\text{ is odd}};\\{\overline {MA_{1}}}+{\overline {MA_{3}}}+\cdots +{\overline {MA_{n-3}}}+{\overline {MA_{n-1}}}\leq n/{\sqrt {2}}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$

Para un n -gono regular , si son las distancias desde cualquier punto M en el círculo circunscrito hasta los vértices A _i , entonces ^[15] ${\displaystyle {\overline {MA_{i}}}}$

${\displaystyle 3({\overline {MA_{1}}}^{2}+{\overline {MA_{2}}}^{2}+\dots +{\overline {MA_{n}}}^{2})^{2}=2n({\overline {MA_{1}}}^{4}+{\overline {MA_{2}}}^{4}+\dots +{\overline {MA_{n}}}^{4}).}$

Polígono circunscrito constante

Una secuencia de polígonos y círculos circunscritos.

Todo polígono regular es cíclico. Consideremos un círculo unitario, luego circunscribamos un triángulo regular de modo que cada lado toque el círculo. Circunscribamos un círculo, luego circunscribamos un cuadrado. Nuevamente circunscribamos un círculo, luego circunscribamos un pentágono regular , y así sucesivamente. Los radios de los círculos circunscritos convergen a la denominada constante de circunscripción del polígono.

${\displaystyle \prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}=8.7000366\ldots .}$

(secuencia A051762 en la OEIS ). El recíproco de esta constante es la constante de Kepler-Bouwkamp .

Variaciones

En contextos en los que las líneas se consideran un tipo de círculo generalizado con radio infinito, los puntos colineales (puntos a lo largo de una sola línea) se consideran concíclicos. Este punto de vista es útil, por ejemplo, cuando se estudia la inversión a través de un círculo o, de manera más general, las transformaciones de Möbius (transformaciones geométricas generadas por reflexiones e inversiones de círculos), ya que estas transformaciones preservan la conciclicidad de los puntos solo en este sentido extendido. ^[16]

En el plano complejo (formado al considerar las partes reales e imaginarias de un número complejo como las coordenadas cartesianas x e y del plano), la conciclicidad tiene una formulación particularmente simple: cuatro puntos en el plano complejo son concíclicos o colineales si y solo si su razón cruzada es un número real . ^[17]

Área entera y longitudes de lados

Algunos polígonos cíclicos tienen la propiedad de que su área y todas las longitudes de sus lados son números enteros positivos. Los triángulos con esta propiedad se denominan triángulos heronianos ; los cuadriláteros cíclicos con esta propiedad (y en la que las diagonales que conectan vértices opuestos tienen longitud entera) se denominan cuadriláteros de Brahmagupta ; los pentágonos cíclicos con esta propiedad se denominan pentágonos de Robbins . En términos más generales, las versiones de estos polígonos cíclicos escaladas por un número racional tendrán áreas y longitudes de lados que son números racionales.

Sea θ ₁ el ángulo abarcado por un lado del polígono cíclico visto desde el centro del círculo que lo circunscribe. De manera similar, defina los ángulos centrales θ ₂ , ..., θ _n para los n − 1 lados restantes . Todo triángulo heroniano y todo cuadrilátero de Brahmagupta tiene un valor racional para la tangente del cuarto de ángulo, tan θ _k /4 , para cada valor de k . Todo pentágono de Robbins conocido (cuyas diagonales tienen una longitud racional y) tiene esta propiedad, aunque es un problema sin resolver si todo pentágono de Robbins posible tiene esta propiedad.

Lo contrario es cierto para todos los polígonos cíclicos con cualquier número de lados; si todos esos ángulos centrales tienen tangentes racionales para sus cuartos de ángulo, entonces el polígono cíclico implícito circunscrito por el círculo unitario tendrá simultáneamente longitudes de lado racionales y área racional. Además, cada diagonal que conecta dos vértices, ya sea que los dos vértices sean adyacentes o no, tendrá una longitud racional. Un polígono cíclico de este tipo se puede escalar de modo que su área y longitudes sean todas números enteros.

Esta relación inversa permite generar polígonos cíclicos con área, lados y diagonales enteros. Para un polígono con n lados, sean 0 < c ₁ < ... < c _{n −1} < +∞ números racionales. Estos son las tangentes de un cuarto de los ángulos acumulativos θ ₁ , θ ₁ + θ ₂ , ..., θ ₁ + ... + θ _{n −1} . Sea q ₁ = c ₁ , sea q _n = 1 / c _{n −1} , y sea q _k = ( c _k − c _{k −1} ) / (1 + c _k c _{k −1} ) para k = 2, ..., n −1 . Estos números racionales son las tangentes de los cuartos de ángulos individuales, utilizando la fórmula para la tangente de la diferencia de ángulos. Las longitudes de los lados racionales para el polígono circunscrito por el círculo unitario se obtienen así: s _k = 4 q _k / (1 + q _k ² ) . El área racional es A = ∑ _k 2 q _k (1 − q _k ² ) / (1 + q _k ² ) ² . Estos se pueden convertir en números enteros escalando las longitudes de los lados por una constante compartida.

Otras propiedades

Un conjunto de cinco o más puntos es concíclico si y solo si cada subconjunto de cuatro puntos es concíclico. ^[18] Esta propiedad puede considerarse como un análogo de la conciclicidad de la propiedad de Helly de los conjuntos convexos.

Círculo delimitador mínimo

Un concepto relacionado es el de círculo mínimo delimitador , que es el círculo más pequeño que contiene completamente un conjunto de puntos. Cada conjunto de puntos en el plano tiene un círculo mínimo delimitador único, que puede construirse mediante un algoritmo de tiempo lineal . ^[19]

Incluso si un conjunto de puntos es concíclico, su círculo circunscripto puede ser diferente de su círculo límite mínimo. Por ejemplo, para un triángulo obtusángulo , el círculo límite mínimo tiene como diámetro el lado más largo y no pasa por el vértice opuesto.

Referencias

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2. Elliott, John (1902), Geometría elemental, Swan Sonnenschein & co., p. 126.
3. Isaacs, I. Martin (2009), Geometría para estudiantes universitarios, Textos universitarios puros y aplicados, vol. 8, American Mathematical Society, pág. 63, ISBN 9780821847947.
4. Yiu, Paul (2010), "Los círculos de Lester, Evans, Parry y sus generalizaciones" (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 175–209, MR  2868943.
5. Scott, JA "Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría de triángulos", Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472–477.
6. Pedoe, Dan (1997), Círculos: una visión matemática, MAA Spectrum (2.ª ed.), Cambridge University Press, pág. xxii, ISBN 9780883855188.
7. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "Sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico" (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 147–9
8. Hoehn, Larry (marzo de 2000), "Circurradio de un cuadrilátero cíclico", Mathematical Gazette , 84 (499): 69–70, doi :10.2307/3621477, JSTOR  3621477
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10. Byer, Owen; Lazebnik, Felix; Smeltzer, Deirdre L. (2010), Métodos para la geometría euclidiana, Asociación Matemática de América, pág. 77, ISBN 9780883857632.
11. De Villiers, Michael (marzo de 2011). "95.14 Polígonos circunscritos equiláteros y cíclicos equiangulares". The Mathematical Gazette . 95 (532): 102–107. doi :10.1017/S0025557200002461. JSTOR  23248632. S2CID  233361080.
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16. Zwikker, C. (2005), La geometría avanzada de curvas planas y sus aplicaciones, Courier Dover Publications, pág. 24, ISBN 9780486442761.
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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Concíclico". MathWorld .
• Cuatro puntos concíclicos por Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project .