Triángulo heroniano

Triángulo cuyos lados y áreas son números enteros

En geometría , un triángulo heroniano (o triángulo de Herón ) es un triángulo cuyos lados a , b y c y área A son todos números enteros positivos . ^{[1] [2]} Los triángulos heronianos reciben su nombre de Herón de Alejandría , basándose en su relación con la fórmula de Herón , que Herón demostró con el triángulo de ejemplo de lados 13, 14, 15 y área 84. [ ^3]

La fórmula de Herón implica que los triángulos heronianos son exactamente las soluciones enteras positivas de la ecuación diofántica.

${\displaystyle 16\,A^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b);}$

es decir, las longitudes de los lados y el área de cualquier triángulo heroniano satisfacen la ecuación, y cualquier solución entera positiva de la ecuación describe un triángulo heroniano. ^[4]

Si las longitudes de los tres lados son coprimos entre sí (lo que significa que el máximo común divisor de los tres lados es 1), el triángulo heroniano se llama primitivo .

Los triángulos cuyos lados y áreas son todos números racionales (soluciones racionales positivas de la ecuación anterior) a veces también se denominan triángulos heronianos o triángulos racionales ; ^[5] en este artículo, estos triángulos más generales se llamarán triángulos heronianos racionales . Todo triángulo heroniano (integral) es un triángulo heroniano racional. Por el contrario, todo triángulo heroniano racional es similar a exactamente un triángulo heroniano primitivo.

En cualquier triángulo heroniano racional, las tres alturas , el circunradio , el inradio y el exradio , y los senos y cosenos de los tres ángulos también son números racionales.

Escalado a triángulos primitivos

La escala de un triángulo con un factor de s consiste en multiplicar las longitudes de sus lados por s ; esto multiplica el área por y produce un triángulo semejante . La escala de un triángulo heroniano racional por un factor racional produce otro triángulo heroniano racional. ${\displaystyle s^{2}}$

Dado un triángulo heroniano racional cuyos lados tienen el factor de escala, se obtiene un triángulo heroniano racional cuyos lados son enteros coprimos entre sí . A continuación se demuestra que el área A es un entero y, por lo tanto, el triángulo es un triángulo heroniano. Este tipo de triángulo se suele denominar triángulo heroniano primitivo. ${\textstyle {\frac {p}{d}},{\frac {q}{d}},{\frac {r}{d}},}$ ${\textstyle {\frac {d}{\gcd(p,q,r)}}}$ ${\textstyle a,b,c}$

En resumen, cada clase de semejanza de triángulos heronianos racionales contiene exactamente un triángulo heroniano primitivo. Un subproducto de la prueba es que exactamente una de las longitudes de los lados de un triángulo heroniano primitivo es un entero par.

Demostración: Hay que demostrar que, si las longitudes de los lados de un triángulo heroniano racional son números enteros coprimos, entonces el área A también es un número entero y exactamente una de las longitudes de los lados es par. ${\textstyle a,b,c}$

La ecuación diofántica dada en la introducción muestra inmediatamente que es un número entero. Su raíz cuadrada también es un número entero, ya que la raíz cuadrada de un número entero es un número entero o un número irracional . ${\displaystyle 16A^{2}}$ ${\displaystyle 4A}$

Si exactamente una de las longitudes de los lados es par, todos los factores en el lado derecho de la ecuación son pares y, al dividir la ecuación por 16 , se obtiene que y son números enteros. ${\displaystyle A^{2}}$ ${\displaystyle A}$

Como se supone que las longitudes de los lados son coprimos, queda el caso en el que una o tres longitudes de los lados son impares. Suponiendo que c es impar, el lado derecho de la ecuación diofántica se puede reescribir

${\displaystyle ((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2}),}$

con y par. Como el cuadrado de un entero impar es congruente con módulo 4 , el lado derecho de la ecuación debe ser congruente con módulo 4. Por lo tanto, es imposible que se tenga una solución de la ecuación diofántica, ya que debe ser el cuadrado de un entero, y el cuadrado de un entero es congruente con 0 o 1 módulo 4 . ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 16A^{2}}$

Ejemplos

Cualquier triángulo pitagórico es un triángulo heroniano. Las longitudes de los lados de un triángulo de este tipo son números enteros , por definición. En cualquier triángulo de este tipo, uno de los dos lados más cortos tiene una longitud par, por lo que el área (el producto de estos dos lados dividido por dos) también es un número entero.

Un triángulo con lados de longitud c , e y b  +  d , y altura a .

Ejemplos de triángulos heronianos que no son rectángulos son el triángulo isósceles que se obtiene uniendo un triángulo pitagórico y su imagen especular a lo largo de un lado del ángulo recto. Comenzando con la terna pitagórica 3, 4, 5, esto da dos triángulos heronianos con longitudes de lado (5, 5, 6) y (5, 5, 8) y área 12 .

De manera más general, dadas dos ternas pitagóricas y con entradas más grandes c y e , uno puede unir los triángulos correspondientes a lo largo de los lados de longitud a (ver la figura) para obtener un triángulo heroniano con longitudes de lados y área (este es un número entero, ya que el área de un triángulo pitagórico es un número entero). ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle (a,d,e)}$ ${\displaystyle c,e,b+d}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}a(b+d)}$

Existen triángulos heronianos que no se pueden obtener uniendo triángulos pitagóricos. Por ejemplo, el triángulo heroniano de lados y área 72, ya que ninguna de sus alturas es un número entero. Tales triángulos heronianos se conocen como indecomponibles . ^[6] Sin embargo, todo triángulo heroniano se puede construir a partir de triángulos rectángulos con lados racionales y, por lo tanto, es similar a un triángulo heroniano descomponible. De hecho, al menos una de las alturas de un triángulo está dentro del triángulo y lo divide en dos triángulos rectángulos. Estos triángulos tienen lados racionales, ya que el coseno y el seno de los ángulos de un triángulo heroniano son números racionales y, con la notación de la figura, se tiene y donde es el ángulo más a la izquierda del triángulo. ${\displaystyle 5,29,30}$ ${\displaystyle a=c\sin \alpha }$ ${\displaystyle b=c\cos \alpha ,}$ ${\displaystyle \alpha }$

Propiedades de racionalidad

Muchas cantidades relacionadas con un triángulo heroniano son números racionales. En particular:

• Todas las alturas de un triángulo heroniano son racionales. ^[7] Esto se puede ver por el hecho de que el área de un triángulo es la mitad de un lado por su altura desde ese lado, y un triángulo heroniano tiene lados y área enteros. Algunos triángulos heronianos tienen tres alturas no enteras, por ejemplo, el agudo (15, 34, 35) con área 252 y el obtuso (5, 29, 30) con área 72. Cualquier triángulo heroniano con una o más alturas no enteras se puede escalar por un factor igual al mínimo común múltiplo de los denominadores de las alturas para obtener un triángulo heroniano similar con tres alturas enteras.
• Todas las bisectrices perpendiculares interiores de un triángulo heroniano son racionales: Para cualquier triángulo, estas están dadas por y donde los lados son a ≥ b ≥ c y el área es A ; ^[8] en un triángulo heroniano, todos a , b , c y A son números enteros. ${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ ${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ ${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cA}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$
• Todo ángulo interior de un triángulo heroniano tiene un seno racional. Esto se deduce de la fórmula del área Área = (1/2) ab sen C , en la que el área y los lados a y b son números enteros, y lo mismo ocurre con los demás ángulos interiores.
• Cada ángulo interior de un triángulo heroniano tiene un coseno racional. Esto se deduce de la ley de los cosenos , c ² = a ² + b ² − 2 ab cos C , en la que los lados a , b y c son números enteros, y lo mismo ocurre con los demás ángulos interiores.
• Dado que todos los triángulos heronianos tienen los senos y cosenos de todos los ángulos interiores racionales, esto implica que la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante de cada ángulo interior son racionales o infinitas.
• La mitad de cada ángulo interior tiene una tangente racional porque tan C /2 = sen C / (1 + cos C ) , y lo mismo ocurre con los demás ángulos interiores. El conocimiento de estos valores de tangente de la mitad de un ángulo es suficiente para reconstruir las longitudes de los lados de un triángulo heroniano primitivo (ver más abajo).
• Para cualquier triángulo, el ángulo abarcado por un lado visto desde el centro del círculo circunscrito es el doble del ángulo interior del vértice del triángulo opuesto al lado. Debido a que la tangente de medio ángulo para cada ángulo interior de un triángulo heroniano es racional, se deduce que la tangente de cuarto de ángulo de cada uno de esos ángulos centrales de un triángulo heroniano es racional. (Además, las tangentes de cuarto de ángulo son racionales para los ángulos centrales de un cuadrilátero de Brahmagupta , pero es un problema sin resolver si esto es cierto para todos los pentágonos de Robbins ). Lo inverso es cierto para todos los polígonos cíclicos en general; si todos esos ángulos centrales tienen tangentes racionales para sus cuartos de ángulo, entonces el polígono cíclico se puede escalar para tener simultáneamente área, lados y diagonales enteras (que conectan dos vértices cualesquiera).
• No existen triángulos heronianos cuyos tres ángulos internos formen una progresión aritmética. Esto se debe a que todos los triángulos planos con ángulos internos en una progresión aritmética deben tener un ángulo interno de 60°, que no tiene seno racional. ^[9]
• Cualquier cuadrado inscrito en un triángulo heroniano tiene lados racionales: para un triángulo general, el cuadrado inscrito en el lado de longitud a tiene longitud donde A es el área del triángulo; ^[10] en un triángulo heroniano, tanto A como a son números enteros. ${\displaystyle {\tfrac {2Aa}{a^{2}+2A}}}$
• Todo triángulo heroniano tiene un radio interno racional (radio de su círculo inscrito): para un triángulo general, el radio interno es la relación entre el área y la mitad del perímetro, y ambos son racionales en un triángulo heroniano.
• Todo triángulo heroniano tiene un circunradio racional (el radio de su círculo circunscrito): para un triángulo general, el circunradio es igual a un cuarto del producto de los lados dividido por el área; en un triángulo heroniano, los lados y el área son números enteros.
• En un triángulo heroniano, la distancia desde el centroide a cada lado es racional porque, para todos los triángulos, esta distancia es la razón entre el doble del área y el triple de la longitud del lado. ^[11] Esto se puede generalizar afirmando que todos los centros asociados con los triángulos heronianos cuyas coordenadas baricéntricas son razones racionales tienen una distancia racional a cada lado. Estos centros incluyen el circuncentro , el ortocentro , el centro de nueve puntos , el punto simediano , el punto de Gergonne y el punto de Nagel . ^[12]
• Todo triángulo heroniano puede ubicarse en una red cuadrada de un lado con cada vértice en un punto de la red. ^{[13] Como corolario, todo triángulo heroniano racional puede ubicarse en un} sistema de coordenadas cartesianas bidimensionales con todas las coordenadas de valores racionales.

Propiedades de las longitudes de los lados

Aquí se presentan algunas propiedades de las longitudes de los lados de los triángulos heronianos, cuyas longitudes de los lados son a , b , c y el área es A.

• Todo triángulo heroniano primitivo tiene un lado par y dos impares (véase § Escalado de triángulos primitivos). De ello se deduce que un triángulo heroniano tiene uno o tres lados de longitud par, ^{[14] : p.3} y que el perímetro de un triángulo heroniano primitivo es siempre un número par. ^[15]
• No existen triángulos heronianos equiláteros, ya que un triángulo heroniano primitivo tiene un lado par y dos lados impares. ^[7]
• El área de un triángulo heroniano siempre es divisible por 6. ^{[16] [15]}
• No existen triángulos heronianos con una longitud de lado de 1 o 2. ^{[17] [1]}
• Existe un número infinito de triángulos heronianos primitivos con una longitud de lado igual a un a dado , siempre que a > 2 . ^[1]
• El semiperímetro s de un triángulo heroniano no puede ser primo (como lo es el cuadrado del área, y el área es un entero, si s fuera primo, dividiría otro factor; esto es imposible ya que estos factores son todos menores que s ). ${\displaystyle s(s-a)(s-b)(s-c)}$
• En un triángulo heroniano que no tiene altura entera (indecomponible y no pitagórico), todas las longitudes de los lados tienen un factor primo de la forma 4 k +1 . ^[6] En un triángulo pitagórico primitivo, todos los factores primos de la hipotenusa tienen la forma 4 k +1 . Un triángulo heroniano descomponible debe tener dos lados que sean la hipotenusa de un triángulo pitagórico y, por lo tanto, dos lados que tengan factores primos de la forma 4 k +1 . También puede haber factores primos de la forma 4 k +3 , ya que los componentes pitagóricos de un triángulo heroniano descomponible no necesitan ser primitivos, incluso si el triángulo heroniano es primitivo. En resumen, todos los triángulos heronianos tienen al menos un lado que es divisible por un primo de la forma 4 k +1 .
• No existen triángulos heronianos cuyas longitudes de los lados formen una progresión geométrica . ^[18]
• Si dos lados (pero no tres) de un triángulo heroniano tienen un factor común, ese factor debe ser la suma de dos cuadrados. ^[19]

Parametrizaciones

Una ecuación paramétrica o parametrización de triángulos heronianos consiste en una expresión de las longitudes de los lados y el área de un triángulo como funciones (normalmente funciones polinómicas  ) de algunos parámetros, de modo que el triángulo es heroniano si y solo si los parámetros satisfacen algunas restricciones (normalmente, ser números enteros positivos que satisfacen algunas desigualdades). También se requiere generalmente que todos los triángulos heronianos puedan obtenerse hasta una escala para algunos valores de los parámetros, y que estos valores sean únicos, si se especifica un orden en los lados del triángulo.

La primera parametrización de este tipo fue descubierta por Brahmagupta (598-668 d. C.), quien no demostró que todos los triángulos heronianos pudieran generarse mediante la parametrización. En el siglo XVIII, Leonhard Euler proporcionó otra parametrización y demostró que genera todos los triángulos heronianos. Estas parametrizaciones se describen en las dos subsecciones siguientes.

En la tercera subsección, una parametrización racional (es decir, una parametrización donde los parámetros son números racionales positivos ) se deriva naturalmente de las propiedades de los triángulos heronianos. Tanto la parametrización de Brahmagupta como la de Euler se pueden recuperar a partir de esta parametrización racional despejando los denominadores . Esto proporciona una prueba de que las parametrizaciones de Brahmagupta y Euler generan todos los triángulos heronianos.

Ecuación paramétrica de Brahmagupta

El matemático indio Brahmagupta (598-668 d. C.) descubrió las siguientes ecuaciones paramétricas para generar triángulos heronianos, ^[20] pero no demostró que cada clase de similitud de triángulos heronianos se pueda obtener de esta manera. ^{[ cita requerida ]}

Para tres números enteros positivos m , n y k que son coprimos entre sí ( ) y satisfacen (para garantizar longitudes de lados positivos) y (para unicidad): ${\displaystyle \gcd(m,n,k)=1}$ ${\displaystyle mn>k^{2}}$ ${\displaystyle m\geq n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=n(m^{2}+k^{2}),&s-a&={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=n(mn-k^{2}),\\b&=m(n^{2}+k^{2}),&s-b&={\tfrac {1}{2}}(c+a-b)=m(mn-k^{2}),\\c&=(m+n)(mn-k^{2}),&s-c&={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)=(m+n)k^{2},\\&&s&={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)=mn(m+n),\\A&=mnk(m+n)(mn-k^{2}),&r&=k(mn-k^{2}),\\\end{aligned}}}$

donde s es el semiperímetro, A es el área y r es el radio interno.

El triángulo heroniano resultante no siempre es primitivo, y puede ser necesario aplicar una escala para obtener el triángulo primitivo correspondiente. Por ejemplo, si se toma m = 36 , n = 4 y k = 3, se obtiene un triángulo con a = 5220 , b = 900 y c = 5400 , que es similar al triángulo heroniano (5, 29, 30) con un factor de proporcionalidad de 180 .

El hecho de que el triángulo generado no sea primitivo es un obstáculo para utilizar esta parametrización para generar todos los triángulos heronianos con longitudes de tamaño menores que un límite dado (ya que el tamaño de no se puede predecir). ^[20] ${\displaystyle \gcd(a,b,c)}$

Ecuación paramétrica de Euler

El siguiente método para generar todos los triángulos heronianos fue descubierto por Leonhard Euler , ^[21] quien fue el primero en parametrizar de manera demostrable todos esos triángulos.

Para cuatro números enteros positivos m coprimos con n y p coprimos con q ( ) ${\displaystyle \gcd {(m,n)}=\gcd {(p,q)}=1}$ que satisfacen (para garantizar longitudes de lados positivas): ${\displaystyle mp>nq}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=mn(p^{2}+q^{2}),&s-a&=mq(mp-nq),\\b&=pq(m^{2}+n^{2}),&s-b&=np(mp-nq),\\c&=(mq+np)(mp-nq),&s-c&=nq(mq+np),\\&&s&=mp(mq+np),\\A&=mnpq(mq+np)(mp-nq),&r&=nq(mp-nq),\\\end{aligned}}}$

donde s es el semiperímetro, A es el área y r es el radio interno.

Incluso cuando m , n , p y q son primos entre sí por pares, el triángulo heroniano resultante puede no ser primitivo. En particular, si m , n , p y q son todos impares, las longitudes de los tres lados son pares. También es posible que a , b y c tengan un divisor común distinto de 2. Por ejemplo, con m = 2 , n = 1 , p = 7 y q = 4 , se obtiene ( a , b , c ) = (130, 140, 150) , donde la longitud de cada lado es un múltiplo de 10 ; el triple primitivo correspondiente es (13, 14, 15) , que también se puede obtener dividiendo el triple resultante de m = 2, n = 1, p = 3, q ​​= 2 por dos, y luego intercambiando b y c .

Parametrización de la tangente de medio ángulo

Un triángulo con longitudes de lados y ángulos interiores etiquetados como en el texto.

Sean las longitudes de los lados de un triángulo, sean los ángulos interiores opuestos a estos lados, y sean y las tangentes de los semiángulos. Los valores son todos positivos y satisfacen ; esta "identidad de triple tangente" es la versión de la tangente de semiángulo de la identidad fundamental del triángulo escrita como radianes (es decir, 90°), como se puede demostrar utilizando la fórmula de adición para tangentes . Por las leyes de senos y cosenos , todos los senos y cosenos de son números racionales si el triángulo es un triángulo heroniano racional y, debido a que una tangente de semiángulo es una función racional del seno y el coseno , se deduce que las tangentes de semiángulo también son racionales. ${\displaystyle a,b,c>0}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\textstyle t=\tan {\frac {\alpha }{2}},}$ ${\textstyle u=\tan {\frac {\beta }{2}},}$ ${\textstyle v=\tan {\frac {\gamma }{2}}}$ ${\displaystyle t,u,v}$ ${\displaystyle tu+uv+vt=1}$ ${\textstyle {\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\beta }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$

Por el contrario, si son números racionales positivos tales que se puede ver que son las tangentes de los semiángulos de los ángulos interiores de una clase de triángulos heronianos semejantes. ^[22] La condición se puede reordenar a y la restricción requiere Por lo tanto, hay una biyección entre las clases de similitud de triángulos heronianos racionales y los pares de números racionales positivos cuyo producto es menor que 1 . ${\displaystyle t,u,v}$ ${\displaystyle tu+uv+vt=1,}$ ${\displaystyle tu+uv+vt=1}$ ${\textstyle v={\frac {1-tu}{t+u}},}$ ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle tu<1.}$ ${\displaystyle (t,u)}$

Para hacer explícita esta biyección, se puede elegir, como miembro específico de la clase de similitud, el triángulo inscrito en un círculo de diámetro unitario con longitudes de lados iguales a los senos de los ángulos opuestos: ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&s-a={\frac {2u(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]b&=\sin \beta ={\frac {2u}{1+u^{2}}},&s-b={\frac {2t(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]c&=\sin \gamma ={\frac {2(t+u)(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},&s-c={\frac {2tu(t+u)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]&&s={\frac {2(t+u)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\A&={\frac {4tu(t+u)(1-tu)}{(1+t^{2})^{2}(1+u^{2})^{2}}},&r={\frac {2tu(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\end{aligned}}}$

donde es el semiperímetro, es el área, es el inradio, y todos estos valores son racionales porque y son racionales. ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma }$ ${\displaystyle r={\sqrt {\tfrac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u}$

Para obtener un triángulo heroniano (integral), los denominadores de a , b y c deben ser despejados . Hay varias formas de hacer esto. Si y con ( fracciones irreducibles ), y el triángulo se amplía por el resultado es la parametrización de Euler. Si y con (mínimo común denominador), y el triángulo se amplía por el resultado es similar pero no exactamente idéntico a la parametrización de Brahmagupta. Si, en cambio, esto es y que se reducen al mínimo común denominador, es decir, si y con entonces se obtiene exactamente la parametrización de Brahmagupta ampliando la escala del triángulo por ${\displaystyle t=m/n}$ ${\displaystyle u=p/q,}$ ${\displaystyle \gcd(m,n)=\gcd(p,q)=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2}),}$ ${\displaystyle t=m/k}$ ${\displaystyle u=n/k}$ ${\displaystyle \gcd(m,n,k)=1}$ ${\displaystyle (k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k,}$ ${\displaystyle 1/t}$ ${\displaystyle 1/u}$ ${\displaystyle t=k/m}$ ${\displaystyle u=k/n}$ ${\displaystyle \gcd(m,n,k)=1,}$ ${\displaystyle (k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k.}$

Esto demuestra que cualquier parametrización genera todos los triángulos heronianos.

Otros resultados

Kurz (2008) ha derivado algoritmos rápidos para generar triángulos heronianos.

Hay infinitos triángulos heronianos no pitagóricos primitivos e indecomponibles con valores enteros para el inradio y los tres exradios , incluidos los generados por ^{[24] : Teo. 4} ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r_{a},r_{b},r_{c})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=5(5n^{2}+n-1),&r_{a}&=5n+3,\\b&=(5n+3)(5n^{2}-4n+1),&r_{b}&=5n^{2}+n-1,\\c&=(5n-2)(5n^{2}+6n+2),&r_{c}&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1),\\&&r&=5n-2,\\A&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1)=r_{c}.\end{aligned}}}$

Hay una cantidad infinita de triángulos heronianos que pueden ubicarse en una red de modo que no solo los vértices estén en puntos de la red, como sucede con todos los triángulos heronianos, sino que además los centros del círculo inscrito y de los círculos exscritos estén en puntos de la red. ^{[24] : Teoría 5}

Véase también Triángulo entero § Triángulos heronianos para parametrizaciones de algunos tipos de triángulos heronianos.

Ejemplos

La lista de triángulos heronianos enteros primitivos, ordenados por área y, si esta es la misma, por perímetro , comienza como en la siguiente tabla. "Primitivo" significa que el máximo común divisor de las longitudes de los tres lados es igual a 1.

La lista de triángulos heronianos primitivos cuyos lados no exceden de 6.000.000 ha sido calculada por Kurz (2008).

Triángulos heronianos con lados cuadrados perfectos

Los triángulos heronianos con lados cuadrados perfectos están relacionados con el problema del cuboide perfecto . A febrero de 2021, solo se conocen dos triángulos heronianos primitivos con lados cuadrados perfectos:

(1853², 4380², 4427², Área=32918611718880), publicado en 2013. ^[25]

(11789², 68104², 68595², Área=284239560530875680), publicado en 2018. ^[26]

Triángulos iguales

Una figura se llama ecual si su área es igual a su perímetro. Hay exactamente cinco triángulos heronianos ecuales: los que tienen lados de longitud (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) y (9,10,17), ^{[27] [28]} aunque solo cuatro de ellos son primitivos.

Triángulos heronianos casi equiláteros

Como el área de un triángulo equilátero con lados racionales es un número irracional , ningún triángulo equilátero es heroniano. Sin embargo, se puede desarrollar una secuencia de triángulos heronianos isósceles que sean "casi equiláteros" a partir de la duplicación de triángulos rectángulos , en los que la hipotenusa es casi el doble de larga que uno de los catetos. Los primeros ejemplos de estos triángulos casi equiláteros se enumeran en la siguiente tabla (secuencia A102341 en la OEIS ):

Existe una secuencia única de triángulos heronianos que son "casi equiláteros" porque los tres lados tienen la forma n  − 1, n , n  + 1. Un método para generar todas las soluciones a este problema basado en fracciones continuas fue descrito en 1864 por Edward Sang [ ^29] y en 1880 Reinhold Hoppe dio una expresión de forma cerrada para las soluciones. ^[30] Los primeros ejemplos de estos triángulos casi equiláteros se enumeran en la siguiente tabla (secuencia A003500 en la OEIS ):

Los valores subsiguientes de n se pueden encontrar multiplicando el valor anterior por 4 y luego restando el valor anterior a ese (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, etc.), así:

${\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}\,,}$

donde t denota cualquier fila de la tabla. Esta es una secuencia de Lucas . Alternativamente, la fórmula genera todos los n para los enteros positivos t . De manera equivalente, sea A = área e y = inradio, entonces, ${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}}$

${\displaystyle {\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}}$

donde { n , y } son soluciones de n ²  − 12 y ²  = 4. Una pequeña transformación n = 2x produce una ecuación de Pell convencional x ²  − 3 y ²  = 1, cuyas soluciones pueden derivarse de la expansión de fracción continua regular para √ 3 . ^[31]

La variable n tiene la forma , donde k es 7, 97, 1351, 18817, .... Los números en esta secuencia tienen la propiedad de que k enteros consecutivos tienen desviación estándar integral . ^[32] ${\displaystyle n={\sqrt {2+2k}}}$

Véase también

• Tetraedro heroniano
• Cuadrilátero Brahmagupta
• Triángulo de Brahmagupta
• Pentágono de Robbins
• Triángulo entero#Triángulos heronianos

Referencias

1. Carlson, John R. (1970), "Determinación de los triángulos heronianos" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 8 : 499–506
2. Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, ER (enero de 1998), "Los triángulos de Brahmagupta" (PDF) , College Mathematics Journal , 29 (1): 13–17, doi :10.2307/2687630, JSTOR  2687630
3. Sastry, KRS (2001). "Triángulos de garza: una perspectiva de Gergonne, Cevian y Median" (PDF) . Forum Geometricorum . 1 (2001): 17–24.
4. Los lados y el área de cualquier triángulo satisfacen la ecuación diofántica obtenida al elevar al cuadrado ambos lados de la fórmula de Herón; véase la fórmula de Herón § Demostraciones . A la inversa, considérese una solución de la ecuación donde son todos números enteros positivos. Corresponde a un triángulo válido si y solo si se satisface la desigualdad del triángulo , es decir, si los tres números enteros y son todos positivos. Esto es necesariamente cierto en este caso: si alguna de estas sumas fuera negativa o cero, las otras dos serían positivas y el lado derecho de la ecuación sería, por tanto, negativo o cero y no podría ser igual al lado izquierdo, que es positivo. ${\displaystyle (a,b,c,A)}$ ${\displaystyle a+b-c,}$ ${\displaystyle b+c-a,}$ ${\displaystyle c+a-b}$ ${\displaystyle 16\,A^{2},}$
5. Weisstein, Eric W. "Triángulo heroniano". MathWorld .
6. Yiu, Paul (2008), Triángulos de Heron que no se pueden descomponer en dos triángulos rectángulos enteros (PDF) , 41.ª Reunión de la Sección de Florida de la Asociación Matemática de América
7. Somos, M. (diciembre de 2014). «Triángulos racionales». Archivado desde el original el 2021-12-20 . Consultado el 2018-11-04 .
8. Mitchell, Douglas W. (2013), "Bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo", Forum Geometricorum 13, 53−59: Teorema 2.
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16. Demostración . Se puede suponer que el triángulo heroniano es primitivo. El lado derecho de la ecuación diofántica se puede reescribir como Si se elige una longitud impar para c , todos los cuadrados son impares y, por lo tanto, de la forma y las dos diferencias son múltiplos de 8 ${\displaystyle ((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2}).}$ ${\displaystyle 8k+1;}$. Por lo tanto, es múltiplo de 64 y A es par. Para la divisibilidad por tres, se elige c como no múltiplo de 3 (se supone que el triángulo es primitivo). Si uno de y no es múltiplo de 3 , el factor correspondiente es un múltiplo de 3 (ya que el cuadrado de un no múltiplo de 3 tiene la forma ), y esto implica que 3 es divisor de De lo contrario, 3 dividiría a ambos y y el lado derecho del diofántico no sería el cuadrado de como congruente con menos por un cuadrado módulo 3. Por lo tanto, este último caso es imposible. ${\displaystyle 16A^{2}}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle 3k+1}$ ${\displaystyle 16A^{2}.}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a-b,}$ ${\displaystyle 4A,}$
17. Demostración . Suponiendo que la desigualdad del triángulo implica Si esto implica que y la condición de que haya exactamente un lado par no se puede cumplir. Si uno tiene dos lados pares si Entonces, y la ecuación diofántica se convierte en lo cual es imposible para dos números enteros positivos. ${\displaystyle a\geq b\geq c,}$ ${\displaystyle b\leq a\leq b+c.}$ ${\displaystyle c=1,}$ ${\displaystyle a=b,}$ ${\displaystyle c=2,}$ ${\displaystyle a=b+1.}$ ${\displaystyle a=b,}$ ${\displaystyle 16A^{2}=16(a^{2}-1),}$
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Lectura adicional

• Carmichael, Robert Daniel (1915). "I. Introducción. Triángulos racionales. Método de descenso infinito". Análisis diofántico . Wiley. págs. 1–23.
• Dickson, Leonard Eugene (1920). "V. Triángulos, cuadriláteros y tetraedros con lados racionales". Historia de la teoría de los números , volumen II: análisis diofántico . Carnegie Institution de Washington. págs. 191–224.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Triángulo heroniano". MathWorld .
• Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros Heronian
• S. sh. Kozhegel'dinov (1994), "Sobre los triángulos heronianos fundamentales", Math. Notes , 55 (2): 151–6, doi :10.1007/BF02113294, S2CID  115233024