En geometría , un pentágono de Robbins es un pentágono cíclico cuyos lados y áreas son todos números racionales .
Los pentágonos de Robbins fueron nombrados por Buchholz y MacDougall (2008) en honor a David P. Robbins , quien previamente había dado una fórmula para el área de un pentágono cíclico en función de las longitudes de sus aristas. Buchholz y MacDougall eligieron este nombre por analogía con el nombre de los triángulos de Herón en honor a Herón de Alejandría , el descubridor de la fórmula de Herón para el área de un triángulo en función de las longitudes de sus aristas.
Todo pentágono de Robbins puede escalarse de modo que sus lados y área sean números enteros. Más firmemente, Buchholz y MacDougall demostraron que si las longitudes de los lados son todos números enteros y el área es racional, entonces el área es necesariamente también un número entero y el perímetro es necesariamente un número par .
Buchholz y MacDougall también demostraron que, en cada pentágono de Robbins, o bien las cinco diagonales internas son números racionales o bien ninguna de ellas lo es. Si las cinco diagonales son racionales (el caso llamado pentágono de Brahmagupta por Sastry (2005)), entonces el radio del círculo circunscrito también debe ser racional, y el pentágono puede dividirse en tres triángulos heronianos cortándolo a lo largo de dos diagonales cualesquiera que no se crucen, o en cinco triángulos heronianos cortándolo a lo largo de los cinco radios desde el centro del círculo hasta sus vértices.
Buchholz y MacDougall realizaron búsquedas computacionales de pentágonos de Robbins con diagonales irracionales, pero no pudieron encontrar ninguno. Sobre la base de este resultado negativo, sugirieron que los pentágonos de Robbins con diagonales irracionales podrían no existir.