Cuadrilátero ortodiagonal

Un cuadrilátero ortodiagonal (amarillo). Según la caracterización de estos cuadriláteros, los dos cuadrados rojos en dos lados opuestos del cuadrilátero tienen la misma área total que los dos cuadrados azules en el otro par de lados opuestos.

En geometría euclidiana , un cuadrilátero ortodiagonal es un cuadrilátero en el que las diagonales se cruzan en ángulos rectos . En otras palabras, es una figura de cuatro lados en la que los segmentos de recta entre vértices no adyacentes son ortogonales (perpendiculares) entre sí.

Casos especiales

Una cometa es un cuadrilátero ortodiagonal en el que una diagonal es un eje de simetría . Las cometas son exactamente los cuadriláteros ortodiagonales que contienen un círculo tangente a sus cuatro lados; es decir, las cometas son los cuadriláteros ortodiagonales tangenciales . ^[1]

Un rombo es un cuadrilátero ortodiagonal con dos pares de lados paralelos (es decir, un cuadrilátero ortodiagonal que también es un paralelogramo ).

Un cuadrado es un caso límite tanto de cometa como de rombo.

Cuadriláteros equidiagonales ortodiagonales en los que las diagonales son al menos tan largas como todos los lados del cuadrilátero tienen el área máxima para su diámetro entre todos los cuadriláteros, resolviendo el caso n  = 4 del problema del polígono pequeño más grande . El cuadrado es uno de esos cuadriláteros, pero hay infinitos otros. Un cuadrilátero ortodiagonal que también es equidiagonal es un cuadrilátero medio cuadrado porque su paralelogramo de Varignon es un cuadrado. Su área se puede expresar puramente en términos de sus lados.

Caracterizaciones

Para cualquier cuadrilátero ortodiagonal, la suma de los cuadrados de dos lados opuestos es igual a la de los otros dos lados opuestos: para los lados sucesivos a , b , c y d , tenemos ^{[2] [3]}

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.}$

Esto se desprende del teorema de Pitágoras , mediante el cual cualquiera de estas dos sumas de dos cuadrados se puede expandir para igualar la suma de las cuatro distancias al cuadrado desde los vértices del cuadrilátero hasta el punto donde se cruzan las diagonales. Por el contrario , cualquier cuadrilátero en el que a ² + c ² = b ² + d ² debe ser ortodiagonal. ^[4] Esto se puede demostrar de varias maneras, incluido el uso de la ley de los cosenos , los vectores , una prueba indirecta y los números complejos . ^[5]

Las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares si y sólo si las dos bimedianas tienen la misma longitud. ^[5]

Según otra caracterización, las diagonales de un cuadrilátero convexo ABCD son perpendiculares si y sólo si

${\displaystyle \angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi }$

donde P es el punto de intersección de las diagonales. De esta ecuación se deduce casi inmediatamente que las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares si y sólo si las proyecciones de la intersección diagonal sobre los lados del cuadrilátero son los vértices de un cuadrilátero cíclico . ^[5]

Un cuadrilátero ortodiagonal ABCD (en azul). El paralelogramo de Varignon (en verde) formado por los puntos medios de las aristas de ABCD es un rectángulo. Además, los cuatro puntos medios (gris) y los cuatro pies de las maltitudes (rojo) son cocíclicos en el círculo de 8 puntos .

Un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si y sólo si su paralelogramo de Varignon (cuyos vértices son los puntos medios de sus lados) es un rectángulo . ^[5] Una caracterización relacionada establece que un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si y sólo si los puntos medios de los lados y los pies de las cuatro maltitudes son ocho puntos concíclicos ; el círculo de ocho puntos . El centro de este círculo es el centroide del cuadrilátero. El cuadrilátero formado por los pies de las maltitudes se denomina cuadrilátero órtico principal . ^[6]

Se puede construir un segundo círculo de 8 puntos a partir de un cuadrilátero ortodiagonal ABCD (en azul). Las líneas perpendiculares a cada lado que pasan por la intersección de las diagonales intersecan los lados en 8 puntos diferentes, todos los cuales son cocíclicos.

Si las normales a los lados de un cuadrilátero convexo ABCD a través de la intersección diagonal intersecan los lados opuestos en R , S , T , U y K , L , M , N son los pies de estas normales, entonces ABCD es ortodiagonal si y solo si los ocho puntos K , L , M , N , R , S , T y U son concíclicos; el segundo círculo de ocho puntos . Una caracterización relacionada establece que un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si y sólo si RSTU es un rectángulo cuyos lados son paralelos a las diagonales de ABCD . ^[5]

Existen varias caracterizaciones métricas respecto a los cuatro triángulos formados por la intersección diagonal P y los vértices de un cuadrilátero convexo ABCD . Denota por m ₁ , m ₂ , m ₃ , m ₄ las medianas en los triángulos ABP , BCP , CDP , DAP desde P hasta los lados AB , BC , CD , DA respectivamente. Si R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ y h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ denotan los radios de los círculos circunstantes y las altitudes respectivamente de estos triángulos, entonces el cuadrilátero ABCD es ortodiagonal si y sólo si alguno de las siguientes igualdades se cumple: ^[5]

• ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$

Además, un cuadrilátero ABCD con intersección P de las diagonales es ortodiagonal si y sólo si los circuncentros de los triángulos ABP , BCP , CDP y DAP son los puntos medios de los lados del cuadrilátero. ^[5]

Comparación con un cuadrilátero tangencial

Algunas caracterizaciones métricas de cuadriláteros tangenciales y ortodiagonales son muy similares en apariencia, como se puede ver en esta tabla. ^[5] Las notaciones en los lados a , b , c , d , los circunradios R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ y las altitudes h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ son las mismas que arriba en ambos tipos de cuadriláteros.

Área

El área K de un cuadrilátero ortodiagonal es igual a la mitad del producto de las longitudes de las diagonales p y q : ^[7]

${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}.}$

Por el contrario, cualquier cuadrilátero convexo donde se pueda calcular el área con esta fórmula debe ser ortodiagonal. ^[5] El cuadrilátero ortodiagonal tiene el área más grande de todos los cuadriláteros convexos con diagonales dadas.

Otras propiedades

• Los cuadriláteros ortodiagonales son los únicos cuadriláteros cuyos lados y el ángulo formado por las diagonales no determinan de forma única el área. ^[3] Por ejemplo, dos rombos que tienen ambos un lado común a (y, como todos los rombos, ambos tienen un ángulo recto entre las diagonales), pero uno tiene un ángulo agudo menor que el otro, tienen diferentes áreas (el área de la el primero se acerca a cero cuando el ángulo agudo se acerca a cero).
• Si los cuadrados se levantan hacia afuera en los lados de cualquier cuadrilátero (convexo, cóncavo o cruzado), entonces sus centros ( centroides ) son los vértices de un cuadrilátero ortodiagonal que también es equidiagonal (es decir, que tiene diagonales de igual longitud). Esto se llama teorema de Van Aubel .
• Cada lado de un cuadrilátero ortodiagonal tiene al menos un punto común con el círculo de puntos de Pascal. ^[8]

Propiedades de los cuadriláteros ortodiagonales que también son cíclicos

Circunradio y área

Para un cuadrilátero ortodiagonal cíclico (uno que puede inscribirse en un círculo), supongamos que la intersección de las diagonales divide una diagonal en segmentos de longitudes p ₁ y p ₂ y divide la otra diagonal en segmentos de longitudes q ₁ y q ₂ . Entonces ^[9] (la primera igualdad es la Proposición 11 del Libro de los Lemas de Arquímedes )

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

donde D es el diámetro del círculo circunstante. Esto se cumple porque las diagonales son cuerdas perpendiculares de un círculo . Estas ecuaciones producen la expresión circunradio

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}$

o, en términos de los lados del cuadrilátero, como ^[2]

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

También se deduce que ^[2]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}$

Así, según el teorema del cuadrilátero de Euler , el circunradio se puede expresar en términos de las diagonales p y q , y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales como

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}\,.}$

Una fórmula para el área K de un cuadrilátero ortodiagonal cíclico en términos de los cuatro lados se obtiene directamente al combinar el teorema de Ptolomeo y la fórmula para el área de un cuadrilátero ortodiagonal. El resultado es ^{[10] : p.222}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

Otras propiedades

• En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, el anticentro coincide con el punto donde se cruzan las diagonales. ^[2]
• El teorema de Brahmagupta establece que para un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, la perpendicular desde cualquier lado a través del punto de intersección de las diagonales biseca el lado opuesto. ^[2]
• Si un cuadrilátero ortodiagonal también es cíclico, la distancia desde el circuncentro (el centro del círculo circunscrito) a cualquier lado es igual a la mitad de la longitud del lado opuesto. ^[2]
• En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, la distancia entre los puntos medios de las diagonales es igual a la distancia entre el circuncentro y el punto donde se cruzan las diagonales. ^[2]

Conjuntos infinitos de rectángulos inscritos.

${\displaystyle ABCD}$es un cuadrilátero ortodiagonal, y son rectángulos cuyos lados son paralelos a las diagonales del cuadrilátero. ${\displaystyle P_{1}X_{1}Z_{1}Y_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}X_{2}Z_{2}Y_{2}}$

${\displaystyle ABCD}$es un cuadrilátero ortodiagonal. y son puntos de Pascal formados por el círculo , es el círculo de puntos de Pascal que define el rectángulo . y son puntos de Pascal formados por el círculo , es el círculo de puntos de Pascal que define el rectángulo . ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{P_{1}Q_{1}}}$ ${\displaystyle P_{1}V_{1}Q_{1}W_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{P_{2}Q_{2}}}$ ${\displaystyle P_{2}V_{2}Q_{2}W_{2}}$

Para cada cuadrilátero ortodiagonal, podemos inscribir dos conjuntos infinitos de rectángulos:

(i) un conjunto de rectángulos cuyos lados son paralelos a las diagonales del cuadrilátero

(ii) un conjunto de rectángulos definidos por círculos de puntos Pascal. ^[11]

Referencias

1. Josefsson, Martin (2010), "Cálculos relativos a las longitudes tangentes y las cuerdas de tangencia de un cuadrilátero tangencial" (PDF) , Forum Geometriorum , 10 : 119-130.
2. Altshiller-Court, N. (2007), Geometría universitaria , Publicaciones de Dover. Republicación de la segunda edición, 1952, Barnes & Noble, págs. 136-138.
3. Mitchell, Douglas, W. (2009), "El área de un cuadrilátero", The Mathematical Gazette , 93 (julio): 306–309.
4. Ismailescu, Dan; Vojdany, Adam (2009), "Disecciones de cuadriláteros convexos que preservan la clase" (PDF) , Forum Geometriorum , 9 : 195–211.
5. Josefsson, Martin (2012), "Caracterizaciones de cuadriláteros ortodiagonales" (PDF) , Forum Geometriorum , 12 : 13-25.
6. Mammana, María Flavia; Micale, Biagio; Pennisi, Mario (2011), "Los círculos de Droz-Farny de un cuadrilátero convexo" (PDF) , Forum Geometriorum , 11 : 109-119.
7. Harries, J. (2002), "Área de un cuadrilátero", The Mathematical Gazette , 86 (julio): 310–311
8. David, Fraivert (2017), "Propiedades de un círculo de puntos de Pascal en un cuadrilátero con diagonales perpendiculares" (PDF) , Forum Geometriorum , 17 : 509–526.
9. Posamentier, Alfred S .; Salkind, Charles T. (1996), Problemas desafiantes en geometría (segunda ed.), Publicaciones de Dover, págs. 104–105, n.º 4–23.
10. Josefsson, Martin (2016), "Propiedades de los cuadriláteros pitagóricos", The Mathematical Gazette , 100 (julio): 213–224.
11. David, Fraivert (2019), "Un conjunto de rectángulos inscritos en un cuadrilátero ortodiagonal y definidos por círculos de puntos de Pascal", Journal for Geometry and Graphics , 23 : 5–27.