Círculo de Van Lamoen

El círculo de van Lamoen pasa por seis circuncentros , , , , , ${\displaystyle A_{b}}$ ${\displaystyle A_{c}}$ ${\displaystyle B_{c}}$ ${\displaystyle B_{a}}$ ${\displaystyle C_{a}}$ ${\displaystyle C_{b}}$

En la geometría del plano euclidiano , el círculo de van Lamoen es un círculo especial asociado a cualquier triángulo dado . Contiene los circuncentros de los seis triángulos que están definidos en su interior por sus tres medianas . ^{[1] [2]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

En concreto, sean , , los vértices de , y sea su centroide (la intersección de sus tres medianas). Sean , , y los puntos medios de las líneas laterales , , y , respectivamente. Resulta que los circuncentros de los seis triángulos , , , , , y se encuentran en un círculo común, que es el círculo de van Lamoen de . ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{a}}$ ${\displaystyle M_{b}}$ ${\displaystyle M_{c}}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AGM_{c}}$ ${\displaystyle BGM_{c}}$ ${\displaystyle BGM_{a}}$ ${\displaystyle CGM_{a}}$ ${\displaystyle CGM_{b}}$ ${\displaystyle AGM_{b}}$ ${\displaystyle T}$

Historia

El círculo de van Lamoen recibe su nombre del matemático Floor van Lamoen  [nl], quien lo planteó como un problema en 2000. ^{[3] [4]} Kin Y. Li proporcionó una prueba en 2001, ^[4] y los editores de Amer. Math. Monthly en 2002. ^{[1] [5]}

Propiedades

El centro del círculo de van Lamoen es un punto en la lista completa de centros de triángulos de Clark Kimberling . ^[1] ${\displaystyle X(1153)}$

En 2003, Alexey Myakishev y Peter Y. Woo demostraron que el recíproco del teorema es casi cierto, en el siguiente sentido: sea cualquier punto en el interior del triángulo, y , , y sean sus cevianas , es decir, los segmentos de línea que conectan cada vértice con y se extienden hasta que cada uno se encuentra con el lado opuesto. Entonces, los circuncentros de los seis triángulos , , , , , y se encuentran en el mismo círculo si y solo si es el baricentro de o su ortocentro (la intersección de sus tres alturas ). ^[6] Nguyen Minh Ha dio una prueba más simple de este resultado en 2005. ^[7] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle AA'}$ ${\displaystyle BB'}$ ${\displaystyle CC'}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle APB'}$ ${\displaystyle APC'}$ ${\displaystyle BPC'}$ ${\displaystyle BPA'}$ ${\displaystyle CPA'}$ ${\displaystyle CPB'}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$

Véase también

• Círculo de parada
• Círculo de Lester

Referencias

1. Kimberling, Clark , Enciclopedia de centros triangulares , consultado el 10 de octubre de 2014. Ver X (1153) = Centro del círculo de van Lemoen.
2. Weisstein, Eric W. , "círculo de van Lamoen", MathWorld , consultado el 10 de octubre de 2014
3. van Lamoen, Floor (2000), Problema 10830 , vol. 107, American Mathematical Monthly, pág. 893
4. Li, Kin Y. (2001), "Problemas concíclicos" (PDF) , Mathematical Excalibur , 6 (1): 1–2
5. (2002), Solución al problema 10830. American Mathematical Monthly, volumen 109, páginas 396-397.
6. Myakishev, Alexey; Woo, Peter Y. (2003), "Sobre los circuncentros de la configuración de Cevasix" (PDF) , Forum Geometricorum , 3 : 57–63
7. Ha, NM (2005), "Otra prueba del teorema de van Lamoen y su recíproco" (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 127–132