Cilindro

Sólido tridimensional

Un cilindro (del griego antiguo κύλινδρος ( kúlindros )  'rodillo, vaso') ^[1] ha sido tradicionalmente un sólido tridimensional , una de las formas geométricas curvilíneas más básicas . En geometría elemental , se considera un prisma con un círculo como base.

Un cilindro también puede definirse como una superficie curvilínea infinita en varias ramas modernas de la geometría y la topología . El cambio en el significado básico (sólido versus superficie, como en una bola sólida versus una superficie esférica ) ha creado cierta ambigüedad en la terminología. Los dos conceptos pueden distinguirse haciendo referencia a cilindros sólidos y superficies cilíndricas . En la literatura, el término cilindro, sin adornos, podría referirse a cualquiera de estos o a un objeto aún más especializado, el cilindro circular recto .

Tipos

Las definiciones y resultados de esta sección se toman del texto de 1913 Plane and Solid Geometry de George A. Wentworth y David Eugene Smith (Wentworth & Smith 1913).

Una superficie cilíndrica es una superficie que consta de todos los puntos de todas las líneas que son paralelas a una línea dada y que pasan por una curva plana fija en un plano no paralelo a la línea dada. Cualquier línea en esta familia de líneas paralelas se llama elemento de la superficie cilíndrica. Desde un punto de vista cinemático , dada una curva plana, llamada directriz , una superficie cilíndrica es aquella superficie trazada por una línea, llamada generatriz , que no está en el plano de la directriz, que se mueve paralela a sí misma y siempre pasa por la directriz. Cualquier posición particular de la generatriz es un elemento de la superficie cilíndrica.

Un cilindro circular recto y uno oblicuo

Un sólido limitado por una superficie cilíndrica y dos planos paralelos se llama cilindro (sólido) . Los segmentos de línea determinados por un elemento de la superficie cilíndrica entre los dos planos paralelos se llaman elemento del cilindro . Todos los elementos de un cilindro tienen longitudes iguales. La región limitada por la superficie cilíndrica en cualquiera de los planos paralelos se llama base del cilindro. Las dos bases de un cilindro son figuras congruentes . Si los elementos del cilindro son perpendiculares a los planos que contienen las bases, el cilindro es un cilindro recto ; en caso contrario, se llama cilindro oblicuo . Si las bases son discos (regiones cuyo límite es un círculo ), el cilindro se llama cilindro circular . En algunos tratamientos elementales, un cilindro siempre significa un cilindro circular. ^[2]

La altura (o altitud) de un cilindro es la distancia perpendicular entre sus bases.

El cilindro que se obtiene al girar un segmento de recta alrededor de una recta fija a la que es paralelo es un cilindro de revolución . Un cilindro de revolución es un cilindro circular recto. La altura de un cilindro de revolución es la longitud del segmento de recta generatriz. La recta alrededor de la cual gira el segmento se llama eje del cilindro y pasa por los centros de las dos bases.

Un cilindro circular recto con radio r y altura h

Cilindros circulares rectos

El término cilindro se refiere a menudo a un cilindro macizo con extremos circulares perpendiculares al eje, es decir, un cilindro circular recto, como se muestra en la figura. La superficie cilíndrica sin los extremos se denomina cilindro abierto . Las fórmulas para el área de la superficie y el volumen de un cilindro circular recto se conocen desde la antigüedad.

Un cilindro circular recto también puede considerarse como el sólido de revolución generado al rotar un rectángulo sobre uno de sus lados. Estos cilindros se utilizan en una técnica de integración (el "método del disco") para obtener volúmenes de sólidos de revolución. ^[3]

Un cilindro de aguja alto y delgado tiene una altura mucho mayor que su diámetro, mientras que un cilindro de disco corto y ancho tiene un diámetro mucho mayor que su altura.

Propiedades

Secciones cilíndricas

Sección cilíndrica

Una sección cilíndrica es la intersección de la superficie de un cilindro con un plano . Son, en general, curvas y son tipos especiales de secciones planas . La sección cilíndrica por un plano que contiene dos elementos de un cilindro es un paralelogramo . ^[4] Una sección cilíndrica de este tipo de un cilindro recto es un rectángulo . ^[4]

Una sección cilíndrica en la que el plano de intersección interseca y es perpendicular a todos los elementos del cilindro se denomina sección recta . ^[5] Si una sección recta de un cilindro es un círculo, entonces el cilindro es un cilindro circular. De manera más general, si una sección recta de un cilindro es una sección cónica (parábola, elipse, hipérbola), entonces se dice que el cilindro sólido es parabólico, elíptico e hiperbólico, respectivamente.

Secciones cilíndricas de un cilindro circular recto

Para un cilindro circular recto, hay varias formas en las que los planos pueden encontrarse con un cilindro. Primero, planos que intersecan una base en como máximo un punto. Un plano es tangente al cilindro si se encuentra con el cilindro en un solo elemento. Las secciones rectas son círculos y todos los demás planos intersecan la superficie cilíndrica en una elipse . ^[6] Si un plano interseca una base del cilindro en exactamente dos puntos, entonces el segmento de línea que une estos puntos es parte de la sección cilíndrica. Si dicho plano contiene dos elementos, tiene un rectángulo como sección cilíndrica, de lo contrario, los lados de la sección cilíndrica son porciones de una elipse. Finalmente, si un plano contiene más de dos puntos de una base, contiene toda la base y la sección cilíndrica es un círculo.

En el caso de un cilindro circular recto con sección cilíndrica elíptica, la excentricidad e de la sección cilíndrica y el semieje mayor a de la sección cilíndrica dependen del radio del cilindro r y del ángulo α entre el plano secante y el eje del cilindro, de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}e&=\cos \alpha ,\\[1ex]a&={\frac {r}{\sin \alpha }}.\end{aligned}}}$$

Volumen

Si la base de un cilindro circular tiene un radio r y el cilindro tiene una altura h , entonces su volumen está dado por $${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$$

Esta fórmula es válida independientemente de que el cilindro sea recto o no. ^[7]

Esta fórmula puede establecerse utilizando el principio de Cavalieri .

Un cilindro recto elíptico sólido con los semiejes a y b para la elipse base y la altura h

En términos más generales, por el mismo principio, el volumen de cualquier cilindro es el producto del área de una base por la altura. Por ejemplo, un cilindro elíptico con una base que tiene un semieje mayor a , un semieje menor b y una altura h tiene un volumen V = Ah , donde A es el área de la elipse de la base (= π ab ). Este resultado para cilindros elípticos rectos también se puede obtener por integración, donde el eje del cilindro se toma como el eje x positivo y A ( x ) = A el área de cada sección transversal elíptica, por lo tanto: $${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}$$

Utilizando coordenadas cilíndricas , el volumen de un cilindro circular recto se puede calcular mediante integración. $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz\\[5mu]&=\pi \,r^{2}\,h.\end{aligned}}}$$

Área de superficie

Teniendo un radio r y una altitud (altura) h , el área superficial de un cilindro circular recto, orientado de manera que su eje sea vertical, consta de tres partes:

• el área de la base superior: π r ²
• el área de la base inferior: π r ²
• el área del lado: 2π rh

El área de las bases superior e inferior es la misma y se llama área de la base , B. El área del lado se conoce como área lateral , L.

Un cilindro abierto no incluye elementos superiores ni inferiores y, por lo tanto, tiene un área de superficie (área lateral) $${\displaystyle L=2\pi rh}$$

El área de la superficie del cilindro recto circular sólido está formada por la suma de sus tres componentes: parte superior, parte inferior y costado. Por lo tanto, su área de superficie es donde d = 2 r es el diámetro de la parte superior o inferior circular. $${\displaystyle A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)}$$

Para un volumen dado, el cilindro circular recto con la superficie más pequeña tiene h = 2 r . De manera equivalente, para una superficie dada, el cilindro circular recto con el volumen más grande tiene h = 2 r , es decir, el cilindro encaja perfectamente en un cubo de longitud de lado = altura (= diámetro del círculo de base). ^[8]

El área lateral, L , de un cilindro circular, que no necesita ser un cilindro recto, se da de manera más general por donde e es la longitud de un elemento y p es el perímetro de una sección recta del cilindro. ^[9] Esto produce la fórmula anterior para el área lateral cuando el cilindro es un cilindro circular recto. $${\displaystyle L=e\times p,}$$

Cilindro hueco

Cilindro hueco circular recto (carcasa cilíndrica)

Un cilindro hueco circular recto (o carcasa cilíndrica ) es una región tridimensional delimitada por dos cilindros circulares rectos que tienen el mismo eje y dos bases anulares paralelas perpendiculares al eje común de los cilindros, como en el diagrama.

Sea la altura h , el radio interno r y el radio externo R. El volumen está dado por Por lo tanto, el volumen de una carcasa cilíndrica es igual a 2 π  × radio promedio × altitud ×  espesor. ^[10] $${\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).}$$  

El área de la superficie, incluyendo la parte superior e inferior, se da por Las capas cilíndricas se utilizan en una técnica de integración común para encontrar volúmenes de sólidos de revolución. ^[11] $${\displaystyle A=2\pi \left(R+r\right)h+2\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$$

Sobre la esfera y el cilindro

Una esfera tiene 2/3 del volumen y la superficie del cilindro que la circunda, incluidas sus bases.

En el tratado que lleva este nombre, escrito alrededor del año  225 a. C. , Arquímedes obtuvo el resultado del que estaba más orgulloso, es decir, la obtención de las fórmulas para el volumen y el área de la superficie de una esfera explotando la relación entre una esfera y su cilindro circular recto circunscrito de la misma altura y diámetro . La esfera tiene un volumen dos tercios del cilindro circunscrito y una superficie dos tercios de la del cilindro (incluidas las bases). Como los valores para el cilindro ya se conocían, obtuvo, por primera vez, los valores correspondientes para la esfera. El volumen de una esfera de radio r es ⁠4/3⁠ π r ³ = ⁠2/3⁠ (2 π r ³ ) . El área de la superficie de esta esfera es 4 π r ² = ⁠2/3⁠ (6 π r ² ) . Una esfera y un cilindro esculpidos fueron colocados sobre la tumba de Arquímedes a petición suya.

Superficies cilíndricas

En algunas áreas de la geometría y la topología, el término cilindro se refiere a lo que se ha llamado una superficie cilíndrica . Un cilindro se define como una superficie que consiste en todos los puntos de todas las líneas que son paralelas a una línea dada y que pasan a través de una curva plana fija en un plano no paralelo a la línea dada. ^[12] A estos cilindros, en ocasiones, se los ha denominado cilindros generalizados . A través de cada punto de un cilindro generalizado pasa una línea única que está contenida en el cilindro. ^[13] Por lo tanto, esta definición puede reformularse para decir que un cilindro es cualquier superficie reglada abarcada por una familia de líneas paralelas de un parámetro.

Un cilindro que tiene una sección recta que es una elipse , una parábola o una hipérbola se llama cilindro elíptico , cilindro parabólico y cilindro hiperbólico , respectivamente. Se trata de superficies cuádricas degeneradas . ^[14]

Cilindro parabólico

Cuando los ejes principales de una cuádrica están alineados con el marco de referencia (siempre posible para una cuádrica), una ecuación general de la cuádrica en tres dimensiones viene dada por con coeficientes que son números reales y no todos los valores de A , B y C son 0. Si al menos una variable no aparece en la ecuación, entonces la cuádrica es degenerada. Si falta una variable, podemos suponer mediante una rotación apropiada de los ejes que la variable z no aparece y la ecuación general de este tipo de cuádrica degenerada se puede escribir como ^[15] donde $${\displaystyle f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,}$$ $${\displaystyle A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}+B\left(y+{\frac {E}{2B}}\right)^{2}=\rho ,}$$ $${\displaystyle \rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.}$$

Cilindro elíptico

Si AB > 0 esta es la ecuación de un cilindro elíptico . ^[15] Se puede obtener una simplificación adicional mediante la traslación de ejes y la multiplicación escalar. Si tiene el mismo signo que los coeficientes A y B , entonces la ecuación de un cilindro elíptico puede reescribirse en coordenadas cartesianas como: Esta ecuación de un cilindro elíptico es una generalización de la ecuación del cilindro circular ordinario ( a = b ). Los cilindros elípticos también se conocen como cilindroides , pero ese nombre es ambiguo, ya que también puede referirse al conoide de Plücker . ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

Si tiene un signo diferente al de los coeficientes, obtenemos los cilindros elípticos imaginarios : que no tienen puntos reales sobre ellos. ( da un único punto real). ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,}$$ ${\displaystyle \rho =0}$

Cilindro hiperbólico

Si A y B tienen signos diferentes y , obtenemos los cilindros hiperbólicos , cuyas ecuaciones pueden reescribirse como: ${\displaystyle \rho \neq 0}$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

Cilindro parabólico

Finalmente, si AB = 0 supongamos, sin pérdida de generalidad , que B = 0 y A = 1 para obtener los cilindros parabólicos con ecuaciones que pueden escribirse como: ^[16] $${\displaystyle x^{2}+2ay=0.}$$

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito, lo que corresponde visualmente a un cilindro en perspectiva que parece un cono hacia el cielo.

Geometría proyectiva

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice se encuentra en el plano del infinito . Si el cono es un cono cuadrático, el plano del infinito (que pasa por el vértice) puede intersecar al cono en dos rectas reales, en una única recta real (en realidad, un par de rectas coincidentes) o solo en el vértice. Estos casos dan lugar a los cilindros hiperbólico, parabólico o elíptico respectivamente. ^[17]

Este concepto es útil cuando se consideran cónicas degeneradas , que pueden incluir las cónicas cilíndricas.

Prismas

El edificio del Planetario Tycho Brahe , en Copenhague, es un ejemplo de cilindro truncado.

Un cilindro circular sólido puede verse como el caso límite de un prisma n -gonal donde n tiende al infinito . La conexión es muy fuerte y muchos textos antiguos tratan prismas y cilindros simultáneamente. Las fórmulas para el área de superficie y el volumen se derivan de las fórmulas correspondientes para prismas utilizando prismas inscritos y circunscritos y luego dejando que el número de lados del prisma aumente sin límite. ^[18] Una razón para el énfasis temprano (y el tratamiento a veces exclusivo) en los cilindros circulares es que una base circular es el único tipo de figura geométrica para la que esta técnica funciona con el uso de solo consideraciones elementales (sin apelar al cálculo o matemáticas más avanzadas). La terminología sobre prismas y cilindros es idéntica. Así, por ejemplo, dado que un prisma truncado es un prisma cuyas bases no se encuentran en planos paralelos, un cilindro sólido cuyas bases no se encuentran en planos paralelos se llamaría cilindro truncado .

Desde un punto de vista poliédrico, un cilindro también puede verse como un dual de un bicono como una bipirámide de lados infinitos .

Véase también

• Lista de formas
• Sólido de Steinmetz , intersección de dos o tres cilindros perpendiculares.

Notas

1. κύλινδρος Archivado el 30 de julio de 2013 en Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , sobre Perseo
2. Jacobs, Harold R. (1974), Geometría , WH Freeman and Co., pág. 607, ISBN 0-7167-0456-0
3. Swokowski 1983, pág. 283.
4. Wentworth & Smith 1913, pág. 354.
5. Wentworth y Smith 1913, pág. 357.
6. "Sección cilíndrica", MathWorld
7. Wentworth y Smith 1913, pág. 359.
8. Lax, Peter D .; Terrell, Maria Shea (2013), Cálculo con aplicaciones, Springer, pág. 178, ISBN 9781461479468.
9. Wentworth y Smith 1913, pág. 358.
10. Swokowski 1983, pág. 292.
11. Swokowski 1983, pág. 291.
12. Albert 2016, pág. 43.
13. Albert 2016, pág. 49.
14. Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometría , Cambridge University Press, pág. 34, ISBN 978-0-521-59787-6
15. Albert 2016, pág. 74.
16. Albert 2016, pág. 75.
17. Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometría: un curso completo , Dover, pág. 398, ISBN 0-486-65812-0
18. Slaught, HE ; Lennes, NJ (1919), Geometría sólida con problemas y aplicaciones (PDF) (edición revisada), Allyn y Bacon, págs. 79–81

Referencias

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Geometría analítica de sólidos , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
• Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (edición alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• Wentworth, George; Smith, David Eugene (1913), Geometría plana y sólida , Ginn and Co.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Cilindro". MundoMatemático .
• Área de superficie de un cilindro en MATHguide
• Volumen de un cilindro en MATHguide