En geometría proyectiva , un plano en el infinito es el hiperplano en el infinito de un espacio proyectivo tridimensional o cualquier plano contenido en el hiperplano en el infinito de cualquier espacio proyectivo de dimensión superior. Este artículo se ocupará únicamente del caso tridimensional.
Hay dos enfoques para definir el plano en el infinito que dependen de si se comienza con un espacio 3 proyectivo o un espacio 3 afín .
Si se da un espacio 3 proyectivo, el plano en el infinito es cualquier plano proyectivo distinguido del espacio. [1] Este punto de vista enfatiza el hecho de que este plano no es geométricamente diferente de cualquier otro plano. Por otro lado, dado un espacio tridimensional afín, el plano en el infinito es un plano proyectivo que se agrega al espacio tridimensional afín para darle cierre de propiedades de incidencia . Lo que significa que los puntos del plano en el infinito son los puntos donde se encontrarán las líneas paralelas del espacio tridimensional afín, y las líneas son las líneas donde se encontrarán los planos paralelos del espacio tridimensional afín. El resultado de la suma es el espacio tridimensional proyectivo, . Este punto de vista enfatiza la estructura interna del plano en el infinito, pero lo hace parecer "especial" en comparación con los otros planos del espacio.
Si el espacio 3 afín es real, entonces la adición de un plano proyectivo real en el infinito produce el espacio 3 proyectivo real .
Dado que dos planos proyectivos cualesquiera en un espacio tridimensional proyectivo son equivalentes, podemos elegir un sistema de coordenadas homogéneo de modo que cualquier punto en el plano en el infinito se represente como ( X : Y : Z :0). [2] Cualquier punto en el espacio tridimensional afín se representará como ( X : Y : Z :1). Los puntos del plano en el infinito parecen tener tres grados de libertad, pero las coordenadas homogéneas son equivalentes hasta cualquier reescalado:
de modo que las coordenadas ( X : Y : Z :0) puedan normalizarse , reduciendo así los grados de libertad a dos (por tanto, una superficie, es decir, un plano proyectivo).
Proposición : Cualquier recta que pase por el origen (0:0:0:1) y por un punto ( X : Y : Z :1) cortará el plano en el infinito en el punto ( X : Y : Z :0).
Prueba : una línea que pasa por los puntos (0:0:0:1) y ( X : Y : Z :1) estará formada por puntos que son combinaciones lineales de los dos puntos dados:
Para que tal punto se encuentre en el plano del infinito debemos tener, . Entonces, eligiendo , obtenemos el punto , según sea necesario. QED
Cualquier par de líneas paralelas en el espacio tridimensional se cruzarán en un punto del plano en el infinito. Además, cada línea en el espacio tridimensional interseca el plano en el infinito en un punto único. Este punto está determinado por la dirección (y sólo por la dirección) de la línea. Para determinar este punto, considere una línea paralela a la línea dada, pero que pasa por el origen, si la línea aún no pasa por el origen. Luego elige cualquier punto, distinto del origen, en esta segunda línea. Si las coordenadas homogéneas de este punto son ( X : Y : Z :1), entonces las coordenadas homogéneas del punto en el infinito por el que pasan la primera y la segunda línea son ( X : Y : Z :0).
Ejemplo : Considere una línea que pasa por los puntos (0:0:1:1) y (3:0:1:1). Una recta paralela pasa por los puntos (0:0:0:1) y (3:0:0:1). Esta segunda línea corta el plano en el infinito en el punto (3:0:0:0). Pero la primera línea también pasa por este punto:
cuando . ■
Cualquier par de planos paralelos en un espacio tridimensional afín se cruzarán entre sí en una línea proyectiva (una línea en el infinito ) en el plano en el infinito. Además, cada plano en el espacio tridimensional afín interseca el plano en el infinito en una línea única. [3] Esta línea está determinada por la dirección (y sólo por la dirección) del avión.
Dado que el plano en el infinito es un plano proyectivo, es homeomorfo a la superficie de una "esfera módulo antípodas", es decir, una esfera en la que los puntos antípodas son equivalentes: S 2 /{1,-1} donde el cociente se entiende como un cociente por una acción grupal (ver espacio de cociente ).
