Cilindro circular recto

Cilindro cuyas generatrices son perpendiculares a las bases.

Ilustración de un cilindro.

Un cilindro circular recto es un cilindro cuyas generatrices son perpendiculares a las bases. Así, en un cilindro circular recto, la generatriz y la altura tienen las mismas medidas. ^[1] También se le llama con menos frecuencia cilindro de revolución, porque se puede obtener girando un rectángulo de lados y alrededor de uno de sus lados. Fijando como lado en el que se produce la revolución, obtenemos que el lado , perpendicular a , será la medida del radio del cilindro. ^[2] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$

Además del cilindro circular recto, dentro del estudio de la geometría espacial también está el cilindro circular oblicuo, caracterizado por no tener las geratrices perpendiculares a las bases. ^[3]

Elementos del cilindro circular recto.

Bases : los dos círculos paralelos y congruentes de las bases; ^[4]

Eje : la línea determinada por los dos puntos de los centros de las bases del cilindro; ^[1]

Altura : la distancia entre los dos planos de las bases del cilindro; ^[2]

Geratrices : los segmentos de recta paralelos al eje y que tienen extremos en los puntos de los círculos de las bases . ^[2]

Áreas laterales y totales

Ilustración de un cilindro y la planificación de su superficie lateral.

La superficie lateral de un cilindro recto es el encuentro de las generatrices. ^[3] Se puede obtener por el producto entre la longitud de la circunferencia de la base y la altura del cilindro. Por tanto, el área de la superficie lateral viene dada por:

• ${\textstyle L=2\pi rh}$. ^[2]

Dónde:

• ${\displaystyle L\,}$representa el área de la superficie lateral del cilindro;
• ${\displaystyle \pi \,}$es aproximadamente 3,14;
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia entre la superficie lateral del cilindro y el eje, es decir, es el valor del radio de la base;
• ${\displaystyle h\,}$es la altura del cilindro;
• ${\displaystyle 2\pi r}$es la longitud de la circunferencia de la base, ya que , es decir, . ^[5] ${\displaystyle \pi ={\frac {C}{2r}}}$ ${\displaystyle C=2\pi r}$

Nótese que en el caso del cilindro circular recto la altura y la generatriz tienen la misma medida, por lo que el área lateral también puede estar dada por:

• ${\displaystyle L=2\pi rg}$.

El área de la base de un cilindro es el área de un círculo (en este caso definimos que el círculo tiene un radio con medida ): ${\displaystyle r}$

• ${\displaystyle B=\pi r^{2}}$.

Para calcular el área total de un cilindro circular recto, simplemente suma el área lateral al área de las dos bases:

• ${\displaystyle A=L+2\cdot B}$.

Reemplazando y , tenemos: ${\displaystyle L=2\pi rh}$ ${\displaystyle B=\pi r^{2}}$

• ${\displaystyle A=2\pi rh+2\pi r^{2}}$ ${\displaystyle \Rightarrow A=2\pi r(h+r)}$

o incluso

• ${\displaystyle A=2\pi r(g+r)}$.

Volumen

Ilustración de un cilindro y un prisma, ambos con altura . Tenga en cuenta que el área de la base de cada sólido es . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle S}$

Mediante el principio de Cavalieri , que define que si dos sólidos de la misma altura, con áreas de base congruentes, se ubican en un mismo plano, de manera que cualquier otro plano paralelo a este plano secciona ambos sólidos, determinando a partir de esta sección dos polígonos de la misma área. , ^[6] entonces el volumen de los dos sólidos será el mismo, podemos determinar el volumen del cilindro.

Esto se debe a que el volumen de un cilindro se puede obtener de la misma forma que el volumen de un prisma con la misma altura y la misma área de la base. Por lo tanto, simplemente multiplica el área de la base por la altura:

• ${\displaystyle V=B\cdot h}$.

Dado que el área de un círculo de radio , que es la base del cilindro, está dada por se sigue que: ${\displaystyle r\,}$ ${\displaystyle B=\pi r^{2}}$

• ${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$^[2]

o incluso

• ${\displaystyle V=\pi r^{2}g}$.

Cilindro equilátero

Ilustración de un cilindro circunscrito por una esfera de radio . Tenga en cuenta que el cilindro es equilátero. ${\displaystyle r}$

El cilindro equilátero se caracteriza por ser un cilindro circular recto en el que el diámetro de la base es igual al valor de la altura (geratrix). ^[4]

Luego, suponiendo que el radio de la base de un cilindro equilátero es, entonces el diámetro de la base de este cilindro es y su altura es . ^[4] ${\displaystyle r\,}$ ${\displaystyle 2r\,}$ ${\displaystyle 2r\,}$

Su área lateral se puede obtener reemplazando el valor de la altura por : ${\displaystyle 2r}$

• ${\displaystyle L=2\pi r\cdot 2r}$ ${\displaystyle \Rightarrow L=4\pi r^{2}}$.

El resultado se puede obtener de forma similar para el área total:

• ${\displaystyle T=2\pi r(h+r)}$ ${\displaystyle \Rightarrow T=2\pi r(2r+r)}$ ${\displaystyle \Rightarrow T=2\pi r\cdot 3r}$ ${\displaystyle \Rightarrow T=6\pi r^{2}}$.

Para el cilindro equilátero es posible obtener una fórmula más sencilla para calcular el volumen. Simplemente sustituya las medidas de radio y altura definidas anteriormente en la fórmula del volumen para un cilindro circular recto:

• ${\displaystyle V=\pi r^{2}\cdot h}$ ${\displaystyle \Rightarrow V=\pi r^{2}\cdot 2r}$ ${\displaystyle \Rightarrow V=2\pi r^{3}}$

sección de meridiano

Es la intersección entre un plano que contiene el eje del cilindro y el cilindro. ^[4]

En el caso del cilindro circular recto, la sección del meridiano es un rectángulo, porque la generatriz es perpendicular a la base. El cilindro equilátero, en cambio, tiene una sección de meridiano cuadrado porque su altura es congruente con el diámetro de la base. ^{[1] [4]}

Ejemplos de objetos con forma de cilindro circular recto.

• 
  Fardo de paja.
• 
  Cilindro de titanio.
• 
  Vela.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Cilindro
• Geometría
• Geometria solida

Referencias

1. Giovanni; Giovanni hijo; Bonjorno (2011). Matemática fundamental: uma nova abordagem .
2. Conexões com a matemática . 2010.
3. Paiva (2004). Matemática .
4. Dolce; Pompeo (2005). Fundamentos de matemática elemental, 10: geometría espacial, posición y métrica .
5. Dulce; Pompeo (2013). Fundamentos de matemática elemental 9: geometría plana .
6. Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia (en portugués) (2 ed.). São Paulo: Leya.

Bibliografía

• Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia (en portugués) (2 ed.). São Paulo: Leya.
• Conexões com a matemática (en portugués) (1 ed.). São Paulo: Moderna. 2010.
• Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos da matemática elemental 9: geometria plana (en portugués) (9 ed.). São Paulo: Atual.
• Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos da matemática elemental, 10: geometria espacial, posição e métrica (en portugues). São Paulo: Atual.
• Giovanni, José Ruy; Giovanni Jr., José Ruy; Bonjorno, José Roberto (2011). Matemática fundamental: uma nova abordagem (en portugués). São Paulo: FTD.
• Paiva, Manoel (2004). Matemática (en portugués) (1 ed.). São Paulo: Moderna.