Steinmetz sólido

Intersección de cilindros

Steinmetz sólido (intersección de dos cilindros)

En geometría , un sólido de Steinmetz es el cuerpo sólido obtenido como la intersección de dos o tres cilindros de igual radio formando ángulos rectos . Cada una de las curvas de la intersección de dos cilindros es una elipse.

La intersección de dos cilindros se llama bicicleta . Topológicamente , equivale a un hosoedro cuadrado . La intersección de tres cilindros se llama tricilindro . Un cilindro dividido en dos se llama bóveda , ^[1] y una bóveda de claustro en arquitectura tiene esta forma.

Los sólidos de Steinmetz llevan el nombre del matemático Charles Proteus Steinmetz , ^[2] quien resolvió el problema de determinar el volumen de la intersección. Sin embargo, el mismo problema había sido resuelto antes, por Arquímedes en el mundo griego antiguo, ^{[3] [4]} Zu Chongzhi en la antigua China, ^[5] y Piero della Francesca a principios del Renacimiento italiano. ^[3] Aparecen de manera destacada en las esculturas de Frank Smullin .

Representación animada de una bicicleta.

bicicleta

La generación de un bicicleta

Calcular el volumen de una bicicleta.

Una bicicleta generada por dos cilindros de radio r tiene el volumen

$${\displaystyle V={\frac {16}{3}}r^{3},}$$

^{[1] [6]}

$${\displaystyle A=16r^{2}.}$$

La mitad superior de un cilindro es el caso cuadrado de una bóveda de cúpula , un sólido en forma de cúpula basado en cualquier polígono convexo cuyas secciones transversales son copias similares del polígono, y fórmulas análogas que calculan el volumen y el área de superficie de una bóveda de cúpula como un múltiplo racional del volumen y el área de superficie de su prisma circundante se cumple de manera más general. ^[7] En China, la bicicleta se conoce como Mou he fang gai , literalmente "dos paraguas cuadrados"; fue descrito por el matemático del siglo III Liu Hui . ^[8]

Prueba de la fórmula del volumen.

Para derivar la fórmula del volumen es conveniente utilizar la idea común para calcular el volumen de una esfera : recolectar finas rodajas cilíndricas. En este caso las rodajas finas son cuboides cuadrados (ver diagrama). Esto lleva a

$${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{-r}^{r}(2x)^{2}\ \mathrm {d} z\\[2pt]&=4\cdot \int _{-r}^{r}x^{2}\ \mathrm {d} z\\[2pt]&=4\cdot \int _{-r}^{r}(r^{2}-z^{2})\ \mathrm {d} z\\[2pt]&={\frac {16}{3}}r^{3}.\end{aligned}}}$$

bien sabido1: 2: 3

• Las relaciones de los volúmenes de la pirámide cuadrada inscrita, el medio cilindro y el cuboide cuadrado circundante son 1: 2: 3 : ${\displaystyle (a=2r,\ h=r,\ V={\tfrac {4}{3}}r^{3}),}$ ${\displaystyle (V={\tfrac {8}{3}}r^{3})}$ ${\displaystyle (a=2r,\ h=r,\ V=4r^{3})}$
  $${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\frac {4}{3}}r^{3}&:&{\frac {8}{3}}r^{3}&:&4r^{3}\\[2pt]1&:&2&:&3\end{array}}}$$

Usando cálculo multivariable

Considere las ecuaciones de los cilindros:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+z^{2}&=r^{2}\\x^{2}+y^{2}&=r^{2}\end{aligned}}}$$

El volumen estará dado por:

$${\displaystyle V=\iiint _{V}\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}$$

Con los límites de la integración:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}&\leqslant &z&\leqslant &{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\\[4pt]-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}&\leqslant &y&\leqslant &{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\\[4pt]-r&\leqslant &x&\leqslant &r\end{array}}}$$

Sustituyendo tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{-r}^{r}\int _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\int _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\[2pt]&=8r^{3}-{\frac {8r^{3}}{3}}\\[2pt]&={\frac {16r^{3}}{3}}\end{aligned}}}$$

Prueba de la fórmula del área.

La superficie consta de dos triángulos cilíndricos rojos y dos azules. Un biángulo rojo se corta en mitades mediante el plano yz y se desarrolla en el plano de manera que el semicírculo (intersección con el plano yz ) se desarrolla sobre el eje ξ positivo y el desarrollo del biángulo está limitado hacia arriba por el arco sinusoidal. Por lo tanto el área de este desarrollo es ${\displaystyle \eta =r\sin {\tfrac {\xi }{r}},\ 0\leq \xi \leq \pi r.}$

bóveda del claustro

$${\displaystyle B=\int _{0}^{\pi r}r\sin {\frac {\xi }{r}}\ \mathrm {d} \xi =r^{2}\cos {0}-r^{2}\cos {\pi }=2r^{2}}$$

$${\displaystyle A=8B=16r^{2}.}$$

Prueba alternativa de la fórmula del volumen.

Se puede derivar el volumen de un cilindro (blanco) empacándolo en un cubo (rojo). Un plano (paralelo a los ejes de los cilindros) que cruza el cilindro forma un cuadrado y su intersección con el cubo es un cuadrado más grande. La diferencia entre las áreas de los dos cuadrados es igual a 4 cuadrados pequeños (azul). A medida que el avión se mueve a través de los sólidos, estos cuadrados azules describen pirámides cuadradas con caras isósceles en las esquinas del cubo; las pirámides tienen sus vértices en los puntos medios de las cuatro aristas del cubo. Al mover el avión a lo largo de todo el cilindro se describen un total de 8 pirámides.

• 
  El método de Zu Chongzhi (similar al principio de Cavalieri ) para calcular el volumen de una esfera incluye calcular el volumen de un cilindro.
• 
  Relación del área de una sección de bicicleta con una sección de cubo

El volumen del cubo (rojo) menos el volumen de las ocho pirámides (azul) es el volumen del cilindro (blanco). El volumen de las 8 pirámides es:

$${\displaystyle 8\times {\frac {1}{3}}r^{2}\times r={\frac {8}{3}}r^{3},}$$

$${\displaystyle (2r)^{3}-{\frac {8}{3}}r^{3}={\frac {16}{3}}r^{3}.}$$

tricilindro

Generando la superficie de un tricilindro: Primero se cortan dos cilindros (rojo, azul). El cilindro así generado es cortado por el tercer cilindro (verde).

La intersección de tres cilindros con ejes que se cruzan perpendicularmente genera una superficie de un sólido con vértices donde se encuentran 3 aristas y vértices donde se encuentran 4 aristas. El conjunto de vértices puede considerarse como las aristas de un dodecaedro rómbico . La clave para determinar el volumen y el área de la superficie es la observación de que el tricilindro se puede volver a muestrear mediante el cubo con los vértices donde se unen 3 aristas (ver diagrama) y 6 pirámides curvas (los triángulos son partes de las superficies del cilindro). El volumen y el área de superficie de los triángulos curvos se pueden determinar mediante consideraciones similares a las que se hacen para el bicicleta de arriba. ^{[ dieciséis]}

El volumen de un tricilindro es

$${\displaystyle V=8(2-{\sqrt {2}})r^{3}}$$

$${\displaystyle A=24(2-{\sqrt {2}})r^{2}.}$$

Más cilindros

Con cuatro cilindros, con ejes que conectan los vértices de un tetraedro con los puntos correspondientes del otro lado del sólido, el volumen es ^{[1] [6]}

$${\displaystyle V_{4}=12\left(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}\right)r^{3}\,}$$

Con seis cilindros, con ejes paralelos a las diagonales de las caras de un cubo , el volumen es: ^{[1] [6]}

$${\displaystyle V_{6}={\frac {16}{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}-4{\sqrt {2}}\right)r^{3}\,}$$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Ungula

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Steinmetz Sólido". MundoMatemático .
2. Howard Eves, Rebanándolo fino, en: David Klarner, The math Gardner, Wadsworth International 1981, pág. 111
3. Peterson, Mark A. (1997). "La geometría de Piero della Francesca". El inteligente matemático . 19 (3): 33–40. doi :10.1007/BF03025346. SEÑOR  1475147. S2CID  120720532.
4. Jan Hogendijk (2002). "La superficie del bicilindro y el método de Arquímedes". Historia Matemática . 29 (2): 199–203. doi : 10.1006/hmat.2002.2349 . SEÑOR  1896975.
5. Swetz, Frank J. (febrero de 1995). "El volumen de una esfera: una derivación china". El profesor de matemáticas . 88 (2): 142-145. doi :10.5951/MT.88.2.0142. JSTOR  27969235.
6. Moore, M. (1974). "Intersecciones simétricas de cilindros circulares rectos". La Gaceta Matemática . 58 (405): 181–185. doi :10.2307/3615957. JSTOR  3615957.
7. Apóstol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2006). "Sólidos que circunscriben esferas" (PDF) . Mensual Matemático Estadounidense . 113 (6): 521–540. doi :10.2307/27641977. JSTOR  27641977. SEÑOR  2231137. Archivado desde el original (PDF) el 7 de febrero de 2012 . Consultado el 25 de marzo de 2007 .
8. Wang, Jianpang; Fan, Lianghuo; Xu, Binyan (2021). Libros de texto escolares de matemáticas en China: estudios comparativos y más . Científico mundial. pag. 476.

enlaces externos

• Un modelo 3D del sólido Steinmetz en la Galería 3D de Google