En geometría , los círculos de Malfatti son tres círculos dentro de un triángulo dado de manera que cada círculo es tangente a los otros dos y a dos lados del triángulo. Llevan el nombre de Gian Francesco Malfatti , quien realizó los primeros estudios sobre el problema de construir estos círculos con la creencia errónea de que tendrían el área total más grande posible de tres círculos disjuntos dentro del triángulo.
El problema de Malfatti se ha utilizado para referirse tanto al problema de construir los círculos de Malfatti como al problema de encontrar tres círculos que maximicen el área dentro de un triángulo. Steiner (1826) propuso una construcción sencilla de los círculos de Malfatti y desde entonces muchos matemáticos han estudiado el problema. El propio Malfatti proporcionó una fórmula para los radios de los tres círculos, y también pueden usarse para definir dos centros de triángulos , los puntos Ajima-Malfatti de un triángulo.
El problema de maximizar el área total de tres círculos en un triángulo nunca se resuelve con los círculos de Malfatti. En cambio, la solución óptima siempre se puede encontrar mediante un algoritmo codicioso que encuentre el círculo más grande dentro del triángulo dado, el círculo más grande dentro de los tres subconjuntos conectados del triángulo fuera del primer círculo y el círculo más grande dentro de los cinco subconjuntos conectados de el triángulo fuera de los dos primeros círculos. Aunque este procedimiento se formuló por primera vez en 1930, su exactitud no se demostró hasta 1994.
El problema de Malfatti
Problema no resuelto en matemáticas :
¿El algoritmo codicioso siempre encuentra empaquetamientos que maximizan el área de más de tres círculos en cualquier triángulo?
En un triángulo equilátero, el área de los círculos de Malfatti (izquierda) es aproximadamente un 1% más pequeña que los tres círculos maximizadores de área (derecha).
Gian Francesco Malfatti (1803) planteó el problema de cortar tres columnas cilíndricas a partir de un prisma triangular de mármol, maximizando el volumen total de las columnas. Supuso que la solución a este problema estaba dada por tres círculos tangentes dentro de la sección transversal triangular de la cuña. Es decir, de manera más abstracta, conjeturó que los tres círculos de Malfatti tienen el área total máxima de tres círculos disjuntos cualesquiera dentro de un triángulo dado. [1]
La obra de Malfatti fue popularizada entre un público más amplio en francés por Joseph Diaz Gergonne en el primer volumen de sus Annales (1811), con mayor discusión en el segundo y décimo. Sin embargo, Gergonne sólo planteó el problema de la tangencia del círculo, no el de maximización del área.
En un triángulo isósceles con un vértice agudo, los círculos de Malfatti (arriba) ocupan aproximadamente la mitad del área de tres círculos apilados con un algoritmo codicioso (abajo).
La suposición de Malfatti de que los dos problemas son equivalentes es incorrecta. Lob y Richmond (1930), que volvieron al texto italiano original, observaron que para algunos triángulos se puede lograr un área mayor mediante un algoritmo voraz que inscribe un único círculo de radio máximo dentro del triángulo, inscribe un segundo círculo dentro de uno de las tres esquinas restantes del triángulo, la de menor ángulo, e inscribe un tercer círculo dentro de la mayor de las cinco piezas restantes. La diferencia de área para un triángulo equilátero es pequeña, poco más del 1%, [2] pero, como señaló Howard Eves (1946), para un triángulo isósceles con un vértice muy agudo, los círculos óptimos (apilados uno encima del otro por encima del base del triángulo) tienen casi el doble del área de los círculos de Malfatti. [3]
De hecho, los círculos de Malfatti nunca son óptimos. Se descubrió mediante cálculos numéricos en la década de 1960, y luego se demostró rigurosamente, que el procedimiento de Lob-Richmond siempre produce los tres círculos con el área más grande, y que estos siempre son más grandes que los círculos de Malfatti. [4] Melissen (1997) conjeturó de manera más general que, para cualquier número entero n , el algoritmo codicioso encuentra el conjunto de n círculos que maximiza el área dentro de un triángulo dado; Se sabe que la conjetura es cierta para n ≤ 3 . [5]
Historia
El problema de construir tres círculos tangentes entre sí dentro de un triángulo fue planteado por el matemático japonés del siglo XVIII Ajima Naonobu antes del trabajo de Malfatti, y se incluyó en una colección inédita de las obras de Ajima realizada un año después de la muerte de Ajima por su alumno Kusaka. Makoto. [5] [6] Incluso antes, el mismo problema fue considerado en un manuscrito de 1384 de Gilio di Cecco da Montepulciano, ahora en la Biblioteca Municipal de Siena , Italia . [7] Jacob Bernoulli (1744) estudió un caso especial del problema, para un triángulo isósceles específico .
Desde el trabajo de Malfatti, ha habido una cantidad significativa de trabajo sobre métodos para construir los tres círculos tangentes de Malfatti; Richard K. Guy escribe que la literatura sobre el problema es "extensa, muy dispersa y no siempre consciente de sí misma". [8] Cabe destacar que Jakob Steiner (1826) presentó una construcción geométrica simple basada en bitangentes ; Desde entonces, otros autores han afirmado que la presentación de Steiner carecía de prueba, que más tarde fue proporcionada por Andrew Hart (1856), pero Guy señala la prueba dispersa en dos de los artículos del propio Steiner de esa época. Las soluciones basadas en formulaciones algebraicas del problema incluyen las de CL Lehmus (1819), EC Catalan (1846), C. Adams (1846, 1849), J. Derousseau (1895) y Andreas Pampuch (1904). Las soluciones algebraicas no distinguen entre tangencias internas y externas entre los círculos y el triángulo dado; Si el problema se generaliza para permitir tangencias de cualquier tipo, entonces un triángulo dado tendrá 32 soluciones diferentes y, a la inversa, un triple de círculos mutuamente tangentes será una solución para ocho triángulos diferentes. [8] Bottema (2001) atribuye la enumeración de estas soluciones a Pampuch (1904), pero Cajori (1893) señala que este recuento del número de soluciones ya fue dado en un comentario de Steiner (1826). El problema y sus generalizaciones fueron objeto de muchas otras publicaciones matemáticas del siglo XIX, [9] y su historia y matemáticas han sido objeto de estudio continuo desde entonces. [10]
También ha sido un tema frecuente en libros sobre geometría. [11]
Gatto (2000) y Mazzotti (1998) relatan un episodio de las matemáticas napolitanas del siglo XIX relacionado con los círculos de Malfatti. En 1839, Vincenzo Flauti , geómetra sintético , planteó un desafío que implicaba la solución de tres problemas de geometría, uno de los cuales era la construcción de los círculos de Malfatti; su intención al hacerlo era mostrar la superioridad de las técnicas sintéticas sobre las analíticas. A pesar de que Fortunato Padula, un estudiante de una escuela rival de geometría analítica , dio una solución , Flauti otorgó el premio a su propio alumno, Nicola Trudi, cuyas soluciones Flauti conocía cuando planteó su desafío. Más recientemente, el problema de la construcción de los círculos de Malfatti se ha utilizado como problema de prueba para sistemas de álgebra informática . [12]
Aunque gran parte de los primeros trabajos sobre los círculos de Malfatti utilizaron geometría analítica , Steiner (1826) proporcionó la siguiente construcción sintética simple .
Un círculo que es tangente a dos lados de un triángulo, como lo son los círculos de Malfatti, debe estar centrado en una de las bisectrices del triángulo (verde en la figura). Estas bisectrices dividen el triángulo en tres triángulos más pequeños, y la construcción de Steiner de los círculos de Malfatti comienza dibujando un triple diferente de círculos (que se muestra discontinuo en la figura) inscrito dentro de cada uno de estos tres triángulos más pequeños. En general, estos círculos son disjuntos, por lo que cada par de dos círculos tiene cuatro bitangentes (líneas que tocan a ambos). Dos de estas bitangentes pasan entre sus círculos: una es una bisectriz de un ángulo y la segunda se muestra como una línea discontinua roja en la figura. Etiquete los tres lados del triángulo dado como a , b y c , y etiquete las tres bitangentes que no son bisectrices de ángulo como x , y y z , donde x es la bitangente de los dos círculos que no tocan el lado a , y es la bitangente a los dos círculos que no tocan el lado b , y z es la bitangente a los dos círculos que no tocan el lado c . Entonces los tres círculos de Malfatti son los círculos inscritos a los tres cuadriláteros tangenciales abyx , aczx y bczy . [13] En caso de simetría, dos de los círculos discontinuos pueden tocarse en un punto de una bisectriz, haciendo que dos bitangentes coincidan allí, pero aún estableciendo los cuadriláteros relevantes para los círculos de Malfatti.
Las tres bitangentes x , y y z cruzan los lados del triángulo en el punto de tangencia con el tercer círculo inscrito, y también se pueden encontrar como las reflexiones de las bisectrices de los ángulos a través de las líneas que conectan los pares de centros de estos círculos inscritos. [8]
Fórmula del radio
El radio de cada uno de los tres círculos de Malfatti se puede determinar mediante una fórmula que involucra las longitudes de los tres lados a , b y c del triángulo, el inradio r , el semiperímetro y las tres distancias d , e y f del incentro. del triángulo a los vértices de los lados opuestos a , b y c respectivamente. Las fórmulas para los tres radios son: [14]
Se pueden usar fórmulas relacionadas para encontrar ejemplos de triángulos cuyas longitudes de lados, radios y radios de Malfatti sean todos números racionales o todos enteros. Por ejemplo, el triángulo con longitudes de lados 28392, 21000 y 25872 tiene un radio de 6930 y radios de Malfatti 3969, 4900 y 4356. Como otro ejemplo, el triángulo con longitudes de lados 152460, 165000 y 190740 tiene un radio de 47520 y radios de Malfatti 27225, 30976 y 32400. [15]
Puntos Ajima-Malfatti
Primer punto Ajima-Malfatti
Dado un triángulo ABC y sus tres círculos de Malfatti, sean D , E y F los puntos donde dos de los círculos se tocan, frente a los vértices A , B y C respectivamente. Luego, las tres líneas AD , BE y CF se encuentran en un único centro de triángulo conocido como el primer punto de Ajima-Malfatti después de las contribuciones de Ajima y Malfatti al problema del círculo. El segundo punto Ajima-Malfatti es el punto de encuentro de tres líneas que conectan las tangencias de los círculos de Malfatti con los centros de los excírculos del triángulo. [16] [17] Otros centros de triángulos también asociados con los círculos de Malfatti incluyen el punto Yff-Malfatti, formado de la misma manera que el primer punto de Malfatti a partir de tres círculos mutuamente tangentes que son todos tangentes a las líneas que pasan por los lados del dado. triángulo, pero que se encuentran parcialmente fuera del triángulo, [18] y el centro radical de los tres círculos de Malfatti (el punto donde se encuentran las tres bitangentes utilizadas en su construcción). [19]
^ Hagge (1908); Loeber (1914); Danielsson (1926); Rogers (1928); Scardapane (1931); Procissi (1932); Evas (1946); Naitō (1975); Fiocca (1980); Hitotumatu (1995); Takeshima y Anai (1996); Gato (2000); Bottema (2001); Andreatta, Bezdek y Boroński (2010); Horváth (2014).
^ Casey (1882); Rouché y de Comberousse (1891); Coolidge (1916); panadero (1925); Dorrie (1965); Ogilvy (1990); Pozos (1991); Martín (1998); Andreescu, Mushkarov y Stoyanov (2006).
^ Hitotumatu (1995); Takeshima y Anai (1996).
^ Martin (1998), ejercicio 5.20, p. 96.
↑ Según Stevanović (2003), estas fórmulas fueron descubiertas por Malfatti y publicadas póstumamente por él en 1811. Sin embargo, la publicación de 1811, "Résolues", Annales de Mathématiques Pures et Appliquées , 1 : 347–348, 1811, es una carta sin firma (probablemente del editor de la revista Joseph Diez Gergonne ) que da esta fórmula como equivalente a los resultados de Malfatti (1803).
Affolter, el p. G. (1873), "Ueber das Malfatti'sche Problem", Mathematische Annalen , 6 (4): 597–602, doi :10.1007/BF01443199, MR 1509836, S2CID 120293529.
Andreatta, Marco; Bezdek, András; Boroński, Jan P. (2010), "El problema de Malfatti: dos siglos de debate" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 33 (1): 72–76, doi :10.1007/s00283-010-9154-7, S2CID 55185397.
Andreescu, Titu; Mushkarov, Oleg; Stoyanov, Luchezar N. (2006), "2.3 Los problemas de Malfatti", Problemas geométricos en máximos y mínimos , Birkhäuser, págs. 80–87, doi :10.1007/0-8176-4473-3, ISBN 978-0-8176-3517-6.
Baker, HF (1925), "II.Ex.8: Solución del problema de Malfatti", Principios de geometría, vol. IV: Geometría superior , Cambridge University Press, págs. 68–69.
Baker, Marcus (1874), "La historia del problema de Malfatti", Boletín de la Sociedad Filosófica de Washington , 2 : 113-123.
Bellacchi, G. (1895), "Nota sul problema del Malfatti", Periodico di Matematica per l'Insegnamento Secondario , 10 : 25–26, 93–96, 156–163. Continúa en el vol. 11 (1896), págs. 25-27.
Bernoulli, Jacob (1744), "Solutio Tergemini Problematis: Lema II", Ópera , vol. I, Ginebra: Cramer & Philibert, págs. 303–305
Bottema, Oene (2001), "El problema de Malfatti" (PDF) , Forum Geometriorum , 1 : 43–50, SEÑOR 1891514.
Cajori, Florian (1893), Una historia de las matemáticas, Macmillan & Co., pág. 296.
Casey, John (1882), "VI.61 El problema de Malfatti", una secuela de los primeros seis libros de los elementos de Euclides (2ª ed.), Londres: Longmans, Green, & Co, págs. 152-153.
Cayley, A. (1849), "Sobre el sistema de ecuaciones relacionado con el problema de Malfatti y sobre otro sistema algebraico", The Cambridge and Dublin Mathematical Journal , 4 : 270–275. Reimpreso en Cayley, A. (1889a), Los artículos matemáticos recopilados de Arthur Cayley, vol. I, Cambridge University Press, págs. 465–470.
Cayley, A. (1854), "Investigaciones analíticas relacionadas con la extensión de Steiner del problema de Malfatti", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 142 : 253–278, doi :10.1098/rspl.1850.0072. Reimpreso en Cayley, A. (1889b), Los artículos matemáticos recopilados de Arthur Cayley, vol. II, Cambridge University Press, págs. 57–86.
Cayley, A. (1875–1876), "Sobre un sistema de ecuaciones relacionado con el problema de Malfatti", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 7 : 38–42, doi :10.1112/plms/s1-7.1.38. Reimpreso en Cayley, A. (1896), Los artículos matemáticos recopilados de Arthur Cayley, vol. IX, Cambridge University Press, págs. 546–550.
Danielsson, Ólafur (1926), "En Løsning af Malfattis Problem", Matematisk Tidsskrift A : 29–32, JSTOR 24534655.
Derousseau, J. (1895), "Historique et résolution analytique complète du problème de Malfatti", Mémoires de la Société Royale des Sciences de Liège , 2.ª serie, 18 : 1–52.
Dörrie, H. (1965), "§30. El problema de Malfatti", 100 grandes problemas de matemáticas elementales: su historia y soluciones, Nueva York: Dover, págs. 147-151, ISBN 978-0-486-61348-2.
Fiocca, Alessandra (1980), "Il problema di Malfatti nella letteratura matematica dell'800", Annali dell'Università di Ferrara , 26 (1): 173–202, doi :10.1007/BF02825179, S2CID 118548931.
Gabai, Hyman; Liban, Eric (1968), "Sobre la desigualdad de Goldberg asociada con el problema de Malfatti", Mathematics Magazine , 41 (5): 251–252, doi :10.1080/0025570x.1968.11975890, JSTOR 2688807
Gatto, Romano (2000), "El debate sobre los métodos y el desafío de Vincenzo Flauti a los matemáticos del Reino de Nápoles", Società Nazionale di Scienze, Lettere e Arti in Napoli. Rediconto dell'Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche , Serie IV, 67 : 181–233, MR 1834240.
Goldberg, M. (1967), "Sobre el problema original de Malfatti", Revista de matemáticas , 40 (5): 241–247, doi :10.2307/2688277, JSTOR 2688277, MR 1571715.
Guy, Richard K. (2007), "El teorema del faro, Morley y Malfatti: un presupuesto de paradojas", American Mathematical Monthly , 114 (2): 97–141, doi :10.1080/00029890.2007.11920398, JSTOR 27642143, MR 2290364 , S2CID 46275242.
Hagge, K. (1908), "Zur Konstruktion der Malfattischen Kreise", Zeitschrift für Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Unterricht , 39 : 580–588.
Hitotumatu, Sin (1995), "El problema de Malfatti", El estado del arte de la informática científica y sus perspectivas, II , Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku (en japonés), vol. 915, págs. 167-170, SEÑOR 1385273.
Horváth, Ákos G. (2014), "El problema de Malfatti en el plano hiperbólico", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , 51 (2): 201–212, arXiv : 1204.5014 , doi :10.1556/SScMath.51.2014.2.1276, MR 3238131.
Lechmütz, CL (1819), "Solution nouvelle du problème où il s'agit d'inscrire à un Triangle donne quelconque trois cercles tels que chacun d'eux touche les deux autres et deux côtés du Triangle", Géométrie mixte, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées , 10 : 289–298.
Lob, H.; Richmond, HW (1930), "Sobre las soluciones del problema de Malfatti para un triángulo", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 2.ª serie, 30 (1): 287–304, doi :10.1112/plms/s2-30.1.287.
Loeber, Kurt (1914), Beiträge zur Lösung und Geschichte des Malfattischen Problems und Seiner Erweiterungen, Tesis doctoral, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg. Véase también Kurt Loeber en el Mathematics Genealogy Project .
Lombardi, Giancarlo (junio de 2022), "Demostración de la solución del problema del mármol de Malfatti", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo , Serie 2, 72 (3): 1751–1782, doi :10.1007/s12215-022-00759-2, S2CID 249915691.
Malfatti, Gianfrancesco (1803), "Memoria sopra un problema estereotomico", Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze , 10 : 235–244.
Martin, George Edward (1998), "El problema de Malfatti", Construcciones geométricas , Textos de pregrado en matemáticas , Springer-Verlag, págs. 92–95, ISBN 978-0-387-98276-2. La portada del libro de Martin presenta una ilustración de los círculos de Malfatti.
Mazzotti, Massimo (1998), "Los geómetras de Dios: matemáticas y reacción en el reino de Nápoles" (PDF) , Isis , 89 (4): 674–701, doi :10.1086/384160, hdl :10036/31212, MR 1670633, S2CID 143956681, archivado desde el original (PDF) el 14 de abril de 2016 , consultado el 10 de junio de 2011.
Melissen, JBM (1997), Empacar y cubrir con círculos , tesis doctoral, Universidad de Utrecht{{citation}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace ).
Miller, WJC, ed. (1875), "Problema 4331", Cuestiones matemáticas con sus soluciones, de los "Tiempos educativos" (PDF) , vol. 16, Hodgson, págs. 70–71, Bibcode :1877Natur..16..417., doi :10.1038/016417a0, S2CID 45983078. Propuesto por Artemas Martín ; resuelto por el proponente y por Asher B. Evans; compárese con la pregunta 4401 de Martin, también en este volumen, págs. 102-103, resuelta nuevamente por Evans y Martin. Obsérvese además que Martin había pedido una solución geométrica en The Lady's and Gentleman's Diary de 1869 (que apareció a finales de 1868), con una solución en el LDG para el año siguiente, págs. Luego aparecen versiones del problema a partir de 1879 en The Mathematical Visitor , editado por Martin.
Naitō, Jun (1975), "Una generalización del problema de Malfatti", Science Reports of the Faculty of Education, Universidad de Gifu: Ciencias Naturales , 5 (4): 277–286, MR 0394416
Paucker, MG (1831), "Memoire sur une question de géométrie relativa aux tactions des cercles", Mémoires Présentés à l'Académie Impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg par Divers Savans , 1 : 503–586.
Pampuch, A. (1904), "Die 32 Lösungen des Malfatisschen Problems", Archiv der Mathematik und Physik , 3.ª serie, 8 (1): 36–49.
Procissi, Angiolo (1932), "Questioni connesse col problema di Malfatti e bibliografia", Periodico di Matematiche: Storia, Didattica, Filosofia , 12 : 189–205. Según lo citado por Guy (2007) y Fiocca (1980).
Rouché, Eugène ; de Comberousse, Charles (1891), "Problème de Malfatti", Traité de Géométrie, Première Partie: Géométrie Plane (6ª ed.), París: Gauthier-Villars, págs..
Quidde, A. (1850), "Das Malfattische Problem. Beweis der Steinerschen Construction", Archiv der Mathematik und Physik , 15 : 197–204.
Rogers, LJ (1928), "899. Una solución trigonométrica del problema de Malfatti de describir tres círculos mutuamente en contacto, cada uno de los cuales toca dos lados de un triángulo", The Mathematical Gazette , 14 (194): 143, doi :10.2307/ 3602652, JSTOR 3602652, S2CID 188799431.
Scardapane, NM (1931), "Il problema di Malfatti", Periodico di Matematiche: Storia, Didattica, Filosofia , 11 : 281–292. Como lo cita Fiocca (1980).
Scheffler, H. (1851), "Auflösung des Malfatti'schen Problems", Archiv der Mathematik und Physik , 16 : 424–430.
Schellbach, KH (1853), "Solution du problème de Malfatti, dans le Triangle rectiligne et sphérique", Nouvelles Annales de Mathématiques , 12 : 131-136.
Seitz, EB (1875), "Solución de un problema", The Analyst , 2 (3): 74–76, doi :10.2307/2635869, JSTOR 2635869.
Simi, A.; Toti Rigatelli, L. (1993), "Algunos textos sobre geometría práctica de los siglos XIV y XV", Vestigia mathematica , Amsterdam: Rodopi, págs. 453–470, MR 1258835.
Simons, PA (1874), "Quelques réflexions sur le problème de Malfatti", Bulletins de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique , 2.ª serie, 38 : 88–108.
Steiner, Jacob (1826), "Einige geometrische Betrachtungen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1 : 161–184, 252–288, doi :10.1515/crll.1826.1.161, S2CID 122065577. Reimpreso en Steiner, Jacob (1881), Weierstrass, K. (ed.), Gesammelte Werke, Berlín: Druck und Verlag von G. Reimer, págs. 17–76y por separado como Steiner, Jacob (1901), Stern, Rudolf (ed.), Einige geometrische Betrachtungen, Leipzig: Verlag von Wilhelm Engelmann. Véase en particular la sección 14, págs. 25-27 de la reimpresión de Engelmann.
Stevanović, Milorad R. (2003), "Centros triangulares asociados con los círculos de Malfatti" (PDF) , Forum Geométricorum , 3 : 83–93, MR 2004112.
Sylvester, JJ (1850), "XLVIII. Sobre la solución de un sistema de ecuaciones en el que tres funciones cuadráticas homogéneas de tres cantidades desconocidas se igualan respectivamente a múltiplos numéricos de una cuarta función no homogénea de la misma", The London, Edimburgo y Dublin Philosophical Magazine y Journal of Science , 37 (251): 370–373, doi :10.1080/14786445008646630.
Takeshima, Taku; Anai, Hirokazu (1996), "Álgebra informática aplicada al problema de Malfatti de construir tres círculos tangentes dentro de un triángulo: la construcción de torres sobre el campo de funciones racionales", Estudios sobre la teoría del álgebra informática y sus aplicaciones , Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku (en Japonés), vol. 941, págs. 15-24, SEÑOR 1410316.
Wedell, Charlotte (1897), Aplicación de la teoría de las funciones elípticas a la solución del problema de Malfatti , Tesis doctoral, Universidad de Lausana.
Wells, David (1991), "El problema de Malfatti", The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Nueva York: Penguin Books, págs. 145-146, ISBN 978-0-14-011813-1.
Wittstein, Armin (1871), Geschichte des Malfatti'schen Problems, Tesis doctoral, Munich: Universidad de Erlangen. Véase también Armin Wittstein en el Mathematics Genealogy Project .
Zalgaller, VA (1994), "Una desigualdad para triángulos agudos", Journal of Mathematical Sciences , 72 (4): 3160–3162, doi : 10.1007/BF01249513 , MR 1267527, S2CID 121622126.
Zagaller, VA ; Los', GA (1994), "La solución del problema de Malfatti", Journal of Mathematical Sciences , 72 (4): 3163–3177, doi :10.1007/BF01249514, S2CID 120731663.
Zornow, A. (1833), "Démonstration de la solución du problème de Malfatti, donnée par Mr. Steiner p. 178. du tome I. cah. 2", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1833 (10): 300 –302, doi :10.1515/crll.1833.10.300, SEÑOR 1577950, S2CID 123031698.
enlaces externos
Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los círculos de Malfatti .
