Modelo matemático

Un modelo matemático es una descripción abstracta de un sistema concreto utilizando conceptos y lenguaje matemático . El proceso de desarrollar un modelo matemático se denomina modelado matemático . Los modelos matemáticos se utilizan en matemáticas aplicadas y en ciencias naturales (como física , biología , ciencias de la tierra , química ) y disciplinas de ingeniería (como informática , ingeniería eléctrica ), así como en sistemas no físicos como las ciencias sociales. ^[1] (como economía , psicología , sociología , ciencias políticas ). También se puede enseñar como una materia por derecho propio. ^[2]

El uso de modelos matemáticos para resolver problemas en operaciones comerciales o militares es una gran parte del campo de la investigación de operaciones . Los modelos matemáticos también se utilizan en música , ^[3] lingüística , ^[4] y filosofía (por ejemplo, de forma intensiva en filosofía analítica ). Un modelo puede ayudar a explicar un sistema, estudiar los efectos de diferentes componentes y hacer predicciones sobre el comportamiento.

Elementos de un modelo matemático.

Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas, incluidos sistemas dinámicos , modelos estadísticos , ecuaciones diferenciales o modelos de teoría de juegos . Estos y otros tipos de modelos pueden superponerse, y un modelo determinado implica una variedad de estructuras abstractas. En general, los modelos matemáticos pueden incluir modelos lógicos . En muchos casos, la calidad de un campo científico depende de qué tan bien los modelos matemáticos desarrollados en el aspecto teórico coinciden con los resultados de experimentos repetibles. La falta de acuerdo entre los modelos matemáticos teóricos y las mediciones experimentales a menudo conduce a avances importantes a medida que se desarrollan mejores teorías. En las ciencias físicas , un modelo matemático tradicional contiene la mayoría de los siguientes elementos:

Ecuaciones gubernamentales
Submodelos complementarios
1. Definiendo ecuaciones
2. Ecuaciones constitutivas
Suposiciones y Restricciones
1. Condiciones iniciales y de contorno.
2. Restricciones clásicas y ecuaciones cinemáticas.

Clasificaciones

Los modelos matemáticos son de diferentes tipos:

Lineal versus no lineal. Si todos los operadores en un modelo matemático exhiben linealidad , el modelo matemático resultante se define como lineal. De lo contrario, se considera que un modelo es no lineal. La definición de linealidad y no linealidad depende del contexto y los modelos lineales pueden tener expresiones no lineales. Por ejemplo, en un modelo estadístico lineal , se supone que una relación es lineal en los parámetros, pero puede ser no lineal en las variables predictoras. De manera similar, se dice que una ecuación diferencial es lineal si se puede escribir con operadores diferenciales lineales , pero aún puede tener expresiones no lineales. En un modelo de programación matemática , si las funciones objetivo y las restricciones están representadas completamente por ecuaciones lineales , entonces el modelo se considera un modelo lineal. Si una o más de las funciones objetivo o restricciones se representan con una ecuación no lineal , entonces el modelo se conoce como modelo no lineal.
La estructura lineal implica que un problema se puede descomponer en partes más simples que se pueden tratar de forma independiente y/o analizar en una escala diferente y los resultados obtenidos seguirán siendo válidos para el problema inicial cuando se recompongan y se reescalen.
La no linealidad, incluso en sistemas bastante simples, a menudo se asocia con fenómenos como el caos y la irreversibilidad . Aunque existen excepciones, los sistemas y modelos no lineales tienden a ser más difíciles de estudiar que los lineales. Un enfoque común a los problemas no lineales es la linealización , pero esto puede resultar problemático si se intenta estudiar aspectos como la irreversibilidad, que están fuertemente ligados a la no linealidad.
Estático versus dinámico. Un modelo dinámico toma en cuenta los cambios en el estado del sistema que dependen del tiempo, mientras que un modelo estático (o de estado estacionario) calcula el sistema en equilibrio y, por lo tanto, es invariante en el tiempo. Los modelos dinámicos suelen estar representados por ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias .
Explícito versus implícito. Si se conocen todos los parámetros de entrada del modelo general y los parámetros de salida se pueden calcular mediante una serie finita de cálculos, se dice que el modelo es explícito . Pero a veces son los parámetros de salida los que se conocen y las entradas correspondientes deben resolverse mediante un procedimiento iterativo, como el método de Newton o el método de Broyden . En tal caso se dice que el modelo es implícito . Por ejemplo, las propiedades físicas de un motor a reacción , como las áreas de la turbina y la garganta de la boquilla, se pueden calcular explícitamente dado un ciclo termodinámico de diseño (caudales, presiones y temperaturas de aire y combustible) en una condición de vuelo y configuración de potencia específicas, pero las propiedades físicas del motor Los ciclos de operación en otras condiciones de vuelo y configuraciones de potencia no se pueden calcular explícitamente a partir de las propiedades físicas constantes.
Discreto versus continuo. Un modelo discreto trata los objetos como discretos, como las partículas en un modelo molecular o los estados en un modelo estadístico ; mientras que un modelo continuo representa los objetos de manera continua, como el campo de velocidad del fluido en flujos de tuberías, temperaturas y tensiones en un sólido y un campo eléctrico que se aplica continuamente a todo el modelo debido a una carga puntual.
Determinista versus probabilístico (estocástico). Un modelo determinista es aquel en el que cada conjunto de estados variables está determinado de forma única por parámetros del modelo y por conjuntos de estados previos de estas variables; por lo tanto, un modelo determinista siempre funciona de la misma manera para un conjunto dado de condiciones iniciales. Por el contrario, en un modelo estocástico (generalmente llamado " modelo estadístico ") la aleatoriedad está presente y los estados de las variables no se describen mediante valores únicos, sino más bien mediante distribuciones de probabilidad .
Deductivo, inductivo o flotante. AEl modelo deductivo es una estructura lógica basada en una teoría. Un modelo inductivo surge de hallazgos empíricos y de su generalización. El modelo flotante no se basa ni en la teoría ni en la observación, sino que es simplemente la invocación de la estructura esperada. La aplicación de las matemáticas en las ciencias sociales fuera de la economía ha sido criticada por modelos infundados. ^[5] La aplicación de la teoría de la catástrofe en la ciencia se ha caracterizado como un modelo flotante. ^[6]
Estratégico versus no estratégico. Los modelos utilizados en la teoría de juegos son diferentes en el sentido de que modelan agentes con incentivos incompatibles, como especies competidoras o postores en una subasta. Los modelos estratégicos suponen que los jugadores son tomadores de decisiones autónomos que eligen racionalmente acciones que maximizan su función objetivo. Un desafío clave del uso de modelos estratégicos es definir y calcular conceptos de solución como el equilibrio de Nash . Una propiedad interesante de los modelos estratégicos es que separan el razonamiento sobre las reglas del juego del razonamiento sobre el comportamiento de los jugadores. ^[7]

Construcción

En negocios e ingeniería , se pueden utilizar modelos matemáticos para maximizar una determinada producción. El sistema bajo consideración requerirá ciertos insumos. El sistema que relaciona los insumos con los productos depende también de otras variables: variables de decisión , variables de estado , variables exógenas y variables aleatorias . Las variables de decisión a veces se conocen como variables independientes. Las variables exógenas a veces se conocen como parámetros o constantes . Las variables no son independientes entre sí, ya que las variables de estado dependen de las variables de decisión, de entrada, aleatorias y exógenas. Además, las variables de salida dependen del estado del sistema (representado por las variables de estado).

Los objetivos y restricciones del sistema y sus usuarios se pueden representar como funciones de las variables de salida o variables de estado. Las funciones objetivo dependerán de la perspectiva del usuario del modelo. Dependiendo del contexto, una función objetivo también se conoce como índice de desempeño , ya que es alguna medida de interés para el usuario. Aunque no hay límite para la cantidad de funciones objetivo y restricciones que puede tener un modelo, usar u optimizar el modelo se vuelve más complicado (computacionalmente) a medida que aumenta el número. Por ejemplo, los economistas suelen aplicar álgebra lineal cuando utilizan modelos de insumo-producto . Los modelos matemáticos complicados que tienen muchas variables se pueden consolidar mediante el uso de vectores donde un símbolo representa varias variables.

información a priori

Para analizar algo con un típico "enfoque de caja negra", solo se tendrá en cuenta el comportamiento del estímulo/respuesta, para inferir la caja (desconocida) . La representación habitual de este sistema de caja negra es un diagrama de flujo de datos centrado en la caja.

Los problemas de modelado matemático a menudo se clasifican en modelos de caja negra o de caja blanca , según la cantidad de información a priori disponible sobre el sistema. Un modelo de caja negra es un sistema del que no existe información a priori disponible. Un modelo de caja blanca (también llamado caja de cristal o caja transparente) es un sistema donde está disponible toda la información necesaria. Prácticamente todos los sistemas se encuentran en algún punto entre los modelos de caja negra y de caja blanca, por lo que este concepto sólo es útil como guía intuitiva para decidir qué enfoque adoptar.

Generalmente, es preferible utilizar tanta información a priori como sea posible para que el modelo sea más preciso. Por lo tanto, los modelos de caja blanca suelen considerarse más sencillos, porque si se ha utilizado la información correctamente, el modelo se comportará correctamente. A menudo, la información a priori viene en forma de conocer el tipo de funciones que relacionan diferentes variables. Por ejemplo, si hacemos un modelo de cómo funciona un medicamento en un sistema humano, sabemos que normalmente la cantidad de medicamento en la sangre es una función que decae exponencialmente , pero todavía nos quedan varios parámetros desconocidos; ¿Con qué rapidez se desintegra la cantidad de medicamento y cuál es la cantidad inicial de medicamento en la sangre? Por lo tanto, este ejemplo no es un modelo completamente de caja blanca. Estos parámetros deben estimarse mediante algún medio antes de poder utilizar el modelo.

En los modelos de caja negra, se intenta estimar tanto la forma funcional de las relaciones entre variables como los parámetros numéricos de esas funciones. Usando información a priori podríamos terminar, por ejemplo, con un conjunto de funciones que probablemente podrían describir el sistema adecuadamente. Si no hay información a priori intentaríamos utilizar funciones lo más generales posible para cubrir todos los diferentes modelos. Un enfoque utilizado frecuentemente para los modelos de caja negra son las redes neuronales que normalmente no hacen suposiciones sobre los datos entrantes. Alternativamente, los algoritmos NARMAX (modelo de media móvil autorregresiva no lineal con entradas exógenas) que se desarrollaron como parte de la identificación del sistema no lineal ^[8] se pueden utilizar para seleccionar los términos del modelo, determinar la estructura del modelo y estimar los parámetros desconocidos en presencia de Ruido correlacionado y no lineal. La ventaja de los modelos NARMAX en comparación con las redes neuronales es que NARMAX produce modelos que pueden escribirse y relacionarse con el proceso subyacente, mientras que las redes neuronales producen una aproximación opaca.

Información subjetiva

A veces resulta útil incorporar información subjetiva en un modelo matemático. Esto se puede hacer basándose en la intuición , la experiencia o la opinión de expertos , o basándose en la conveniencia de la forma matemática. La estadística bayesiana proporciona un marco teórico para incorporar dicha subjetividad en un análisis riguroso: especificamos una distribución de probabilidad previa (que puede ser subjetiva) y luego actualizamos esta distribución en función de datos empíricos.

Un ejemplo de cuándo tal enfoque sería necesario es una situación en la que un experimentador dobla ligeramente una moneda y la lanza una vez, registrando si sale cara, y luego se le asigna la tarea de predecir la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento salga cara. Después de doblar la moneda, se desconoce la verdadera probabilidad de que salga cara; por lo que el experimentador necesitaría tomar una decisión (quizás observando la forma de la moneda) sobre qué distribución previa utilizar. La incorporación de dicha información subjetiva podría ser importante para obtener una estimación precisa de la probabilidad.

Complejidad

En general, la complejidad del modelo implica un equilibrio entre la simplicidad y la precisión del modelo. La navaja de Occam es un principio particularmente relevante para la modelización, cuya idea esencial es que entre modelos con aproximadamente el mismo poder predictivo, el más simple es el más deseable. Si bien la complejidad adicional generalmente mejora el realismo de un modelo, puede hacer que el modelo sea difícil de entender y analizar, y también puede plantear problemas computacionales, incluida la inestabilidad numérica . Thomas Kuhn sostiene que a medida que la ciencia avanza, las explicaciones tienden a volverse más complejas antes de que un cambio de paradigma ofrezca una simplificación radical. ^[9]

Por ejemplo, al modelar el vuelo de un avión, podríamos integrar cada parte mecánica del avión en nuestro modelo y así adquiriríamos un modelo del sistema casi en forma de caja blanca. Sin embargo, el costo computacional de agregar una cantidad tan grande de detalles inhibiría efectivamente el uso de dicho modelo. Además, la incertidumbre aumentaría debido a un sistema demasiado complejo, porque cada parte separada induce cierta cantidad de varianza en el modelo. Por lo tanto, suele ser apropiado hacer algunas aproximaciones para reducir el modelo a un tamaño razonable. Los ingenieros a menudo pueden aceptar algunas aproximaciones para obtener un modelo más robusto y simple. Por ejemplo, la mecánica clásica de Newton es un modelo aproximado del mundo real. Aún así, el modelo de Newton es bastante suficiente para la mayoría de situaciones de la vida ordinaria, es decir, siempre que las velocidades de las partículas estén muy por debajo de la velocidad de la luz y estudiemos sólo macropartículas. Tenga en cuenta que una mayor precisión no significa necesariamente un mejor modelo. Los modelos estadísticos son propensos al sobreajuste , lo que significa que un modelo se ajusta demasiado a los datos y ha perdido su capacidad de generalizar a nuevos eventos que no se observaron antes.

Entrenamiento, puesta a punto y adaptación

Cualquier modelo que no sea puramente de caja blanca contiene algunos parámetros que pueden usarse para ajustar el modelo al sistema que pretende describir. Si el modelado se realiza mediante una red neuronal artificial u otro tipo de aprendizaje automático , la optimización de los parámetros se denomina entrenamiento , mientras que la optimización de los hiperparámetros del modelo se denomina ajuste y, a menudo, utiliza validación cruzada . ^[10] En el modelado más convencional a través de funciones matemáticas dadas explícitamente, los parámetros a menudo se determinan mediante ajuste de curvas . ^{[ cita necesaria ]}

Evaluación y valoración

Una parte crucial del proceso de modelado es la evaluación de si un modelo matemático determinado describe o no un sistema con precisión. Esta pregunta puede ser difícil de responder ya que implica varios tipos diferentes de evaluación.

Predicción de datos empíricos.

Por lo general, la parte más sencilla de la evaluación de un modelo es comprobar si un modelo predice mediciones experimentales u otros datos empíricos que no se utilizaron en el desarrollo del modelo. En modelos con parámetros, un enfoque común es dividir los datos en dos subconjuntos separados: datos de entrenamiento y datos de verificación. Los datos de entrenamiento se utilizan para estimar los parámetros del modelo. Un modelo preciso coincidirá estrechamente con los datos de verificación aunque estos datos no se hayan utilizado para establecer los parámetros del modelo. Esta práctica se conoce como validación cruzada en estadística.

Definir una métrica para medir distancias entre los datos observados y predichos es una herramienta útil para evaluar el ajuste del modelo. En estadística, teoría de la decisión y algunos modelos económicos , una función de pérdida desempeña un papel similar. Si bien es bastante sencillo probar la idoneidad de los parámetros, puede resultar más difícil probar la validez de la forma matemática general de un modelo. En general, se han desarrollado más herramientas matemáticas para probar el ajuste de modelos estadísticos que modelos que involucran ecuaciones diferenciales . A veces se pueden utilizar herramientas de estadística no paramétrica para evaluar qué tan bien se ajustan los datos a una distribución conocida o para generar un modelo general que solo haga suposiciones mínimas sobre la forma matemática del modelo.

Alcance del modelo

Evaluar el alcance de un modelo, es decir, determinar a qué situaciones es aplicable el modelo, puede ser menos sencillo. Si el modelo se construyó basándose en un conjunto de datos, se debe determinar para qué sistemas o situaciones los datos conocidos son un conjunto de datos "típico". La pregunta de si el modelo describe bien las propiedades del sistema entre puntos de datos se llama interpolación , y la misma pregunta para eventos o puntos de datos fuera de los datos observados se llama extrapolación .

Como ejemplo de las limitaciones típicas del alcance de un modelo, al evaluar la mecánica clásica newtoniana , podemos señalar que Newton realizó sus mediciones sin equipo avanzado, por lo que no pudo medir propiedades de partículas que viajaban a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. Asimismo, no midió los movimientos de moléculas y otras partículas pequeñas, sino únicamente macropartículas. No sorprende entonces que su modelo no se pueda extrapolar bien a estos dominios, a pesar de que su modelo es suficiente para la física de la vida ordinaria.

Consideraciones filosóficas

Muchos tipos de modelos implican implícitamente afirmaciones sobre causalidad . Esto suele ser cierto (pero no siempre) en los modelos que implican ecuaciones diferenciales. Como el propósito del modelado es aumentar nuestra comprensión del mundo, la validez de un modelo depende no sólo de su ajuste a las observaciones empíricas, sino también de su capacidad para extrapolar a situaciones o datos más allá de los descritos originalmente en el modelo. Se puede pensar en esto como la diferenciación entre predicciones cualitativas y cuantitativas. También se puede argumentar que un modelo no tiene valor a menos que proporcione alguna información que vaya más allá de lo que ya se sabe a partir de la investigación directa del fenómeno que se está estudiando.

Un ejemplo de tal crítica es el argumento de que los modelos matemáticos de la teoría de la búsqueda óptima de alimento no ofrecen una visión que vaya más allá de las conclusiones de sentido común de la evolución y otros principios básicos de la ecología. ^[11] También cabe señalar que, si bien el modelado matemático utiliza conceptos y lenguaje matemático, no es en sí mismo una rama de las matemáticas y no necesariamente se ajusta a ninguna lógica matemática , sino que suele ser una rama de alguna ciencia u otra materia técnica, con conceptos y estándares de argumentación correspondientes. ^[2]

Importancia en las ciencias naturales.

Los modelos matemáticos son de gran importancia en las ciencias naturales, particularmente en física . Las teorías físicas casi invariablemente se expresan utilizando modelos matemáticos. A lo largo de la historia se han desarrollado modelos matemáticos cada vez más precisos. Las leyes de Newton describen con precisión muchos fenómenos cotidianos, pero en ciertos límites se debe utilizar la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica .

Es común utilizar modelos idealizados en física para simplificar las cosas. Cuerdas sin masa, partículas puntuales, gases ideales y la partícula en una caja se encuentran entre los muchos modelos simplificados utilizados en física. Las leyes de la física se representan con ecuaciones simples como las leyes de Newton, las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de Schrödinger . Estas leyes son una base para realizar modelos matemáticos de situaciones reales. Muchas situaciones reales son muy complejas y, por lo tanto, modeladas aproximadamente en una computadora, un modelo que es computacionalmente factible de calcular se elabora a partir de las leyes básicas o de modelos aproximados elaborados a partir de las leyes básicas. Por ejemplo, las moléculas se pueden modelar mediante modelos de orbitales moleculares que son soluciones aproximadas de la ecuación de Schrödinger. En ingeniería , los modelos físicos a menudo se elaboran mediante métodos matemáticos como el análisis de elementos finitos .

Los diferentes modelos matemáticos utilizan diferentes geometrías que no son necesariamente descripciones precisas de la geometría del universo. La geometría euclidiana se usa mucho en la física clásica, mientras que la relatividad especial y la relatividad general son ejemplos de teorías que utilizan geometrías que no son euclidianas.

Algunas aplicaciones

A menudo, cuando los ingenieros analizan un sistema que se va a controlar u optimizar, utilizan un modelo matemático. En el análisis, los ingenieros pueden construir un modelo descriptivo del sistema como una hipótesis de cómo podría funcionar el sistema, o intentar estimar cómo un evento imprevisible podría afectar al sistema. De manera similar, al controlar un sistema, los ingenieros pueden probar diferentes enfoques de control en simulaciones .

Un modelo matemático suele describir un sistema mediante un conjunto de variables y un conjunto de ecuaciones que establecen relaciones entre las variables. Las variables pueden ser de muchos tipos; números reales o enteros , valores booleanos o cadenas , por ejemplo. Las variables representan algunas propiedades del sistema, por ejemplo, las salidas medidas del sistema a menudo en forma de señales , datos de sincronización , contadores y ocurrencia de eventos. El modelo real es el conjunto de funciones que describen las relaciones entre las diferentes variables.

Ejemplos

Uno de los ejemplos populares en informática son los modelos matemáticos de varias máquinas, un ejemplo es el autómata finito determinista (DFA) que se define como un concepto matemático abstracto, pero debido a la naturaleza determinista de un DFA, es implementable en hardware. y software para resolver diversos problemas específicos. Por ejemplo, el siguiente es un DFA M con un alfabeto binario, que requiere que la entrada contenga un número par de ceros:

M=(Q,\Sigma,\delta,q_{0},F)

dónde

$Q=\{S_{1},S_{2}\},$
$\Sigma =\{0,1\},$
$q_{0}=S_{1},$
$F=\{S_{1}\},$ y
${\displaystyle\delta}$ se define mediante la siguiente tabla de transición de estado :

El estado representa que ha habido un número par de ceros en la entrada hasta el momento, mientras que significa un número impar. Un 1 en la entrada no cambia el estado del autómata. Cuando finalice la entrada, el estado mostrará si la entrada contenía un número par de ceros o no. Si la entrada contenía un número par de ceros, terminará en estado de aceptación, por lo que se aceptará la cadena de entrada.

{\ Displaystyle S_ {1}}

{\ Displaystyle S_ {2}}

M

S_{1},

El lenguaje reconocido por es el lenguaje regular dado por la expresión regular 1*( 0 (1*) 0 (1*) )*, donde "*" es la estrella de Kleene , por ejemplo, 1* denota cualquier número no negativo (posiblemente cero) de los símbolos "1".

M

Muchas actividades cotidianas realizadas sin pensar son usos de modelos matemáticos. Una proyección de un mapa geográfico de una región de la Tierra sobre una superficie plana pequeña es un modelo que se puede utilizar para muchos propósitos, como la planificación de viajes. ^[12]
Otra actividad sencilla es predecir la posición de un vehículo a partir de su posición inicial, dirección y velocidad de viaje, utilizando la ecuación de que la distancia recorrida es el producto del tiempo y la velocidad. Esto se conoce como navegación a estima cuando se usa de manera más formal. El modelado matemático de esta manera no requiere necesariamente matemáticas formales; Se ha demostrado que los animales utilizan la navegación a estima. ^[13]^[14]
Crecimiento de la población . Un modelo simple (aunque aproximado) de crecimiento poblacional es el modelo de crecimiento malthusiano . Un modelo de crecimiento poblacional ligeramente más realista y ampliamente utilizado es la función logística y sus extensiones.
Modelo de una partícula en un campo potencial . En este modelo consideramos una partícula como un punto de masa que describe una trayectoria en el espacio modelada por una función que da sus coordenadas en el espacio en función del tiempo. El campo potencial está dado por una función y la trayectoria, es decir una función es la solución de la ecuación diferencial: $V\!:\mathbb {R} ^{3}\!\to \mathbb {R}$ $\mathbf {r} \!:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},$ $-{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}m={\frac {\partial V[\ mathbf {r} (t)]}{\partial x}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial y}}\ mathbf {\hat {y}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} ,$ que se puede escribir también como $m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V[\mathbf {r} (t)].$

Tenga en cuenta que este modelo supone que la partícula es una masa puntual, lo que ciertamente se sabe que es falso en muchos de los casos en los que utilizamos este modelo; por ejemplo, como modelo de movimiento planetario.

Modelo de comportamiento racional de un consumidor . En este modelo suponemos que un consumidor se enfrenta a una elección de bienes etiquetados cada uno con un precio de mercado. Se supone que el consumidor tiene una función de utilidad ordinal (ordinal en el sentido de que sólo el signo de las diferencias entre dos utilidades, y no el nivel de cada una). utilidad, es significativa), dependiendo de las cantidades de mercancías consumidas. El modelo supone además que el consumidor tiene un presupuesto que se utiliza para comprar un vector de tal manera que se maximice. El problema del comportamiento racional en este modelo se convierte entonces en un problema de optimización matemática , es decir: $n$ $1,2,\puntos,n$ $p_{1},p_{2},\dots,p_{n}.$ $U$ $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ $M$ $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ $U(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}).$ $\max \,U(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ sujeto a: $\sum _ {i=1}^{n}p_ {i}x_ {i}\leq M,$ $x_{i}\geq 0\;\;\;{\text{ para todos }}i=1,2,\dots ,n.$ Este modelo se ha utilizado en una amplia variedad de contextos económicos, como en la teoría del equilibrio general, para mostrar la existencia y la eficiencia de Pareto de los equilibrios económicos.
El modelo de detección de vecinos es un modelo que explica la formación de hongos a partir de la red fúngica inicialmente caótica.
En informática , se pueden utilizar modelos matemáticos para simular redes informáticas.
En mecánica , se pueden utilizar modelos matemáticos para analizar el movimiento de un modelo de cohete.

Ver también

Referencias

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Otras lecturas

Libros

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Aplicaciones específicas

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Introducción al modelado de enfermedades infecciosas por Emilia Vynnycky y Richard G White.

enlaces externos

referencia general

Patrone, F. Introducción al modelado mediante ecuaciones diferenciales, con comentarios críticos.
Paquete Plus para profesores y alumnos: Modelado matemático. Reúne todos los artículos sobre modelización matemática de Plus Magazine , la revista de matemáticas en línea producida por el Millennium Mathematics Project de la Universidad de Cambridge.

Filosófico

Frigg, R. y S. Hartmann, Models in Science, en: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, (edición de primavera de 2006)
Griffiths, EC (2010) ¿Qué es un modelo?