Las ecuaciones que rigen un modelo matemático describen cómo cambian los valores de las variables desconocidas (es decir, las variables dependientes ) cuando cambian una o más de las variables conocidas (es decir, las variables independientes ).
Los sistemas físicos pueden modelarse fenomenológicamente en distintos niveles de sofisticación, y cada nivel captura un grado diferente de detalle sobre el sistema. Una ecuación rectora representa el modelo fenomenológico más detallado y fundamental disponible actualmente para un sistema determinado.
Por ejemplo, en el nivel más burdo, una viga es simplemente una curva unidimensional cuyo par es una función de la curvatura local. En un nivel más refinado , la viga es un cuerpo bidimensional cuyo tensor de tensión es una función del tensor de deformación local, y el tensor de deformación es una función de su deformación. Las ecuaciones son entonces un sistema de EDP. Nótese que ambos niveles de sofisticación son fenomenológicos, pero uno es más profundo que el otro. Como otro ejemplo, en dinámica de fluidos, las ecuaciones de Navier-Stokes son más refinadas que las ecuaciones de Euler .
A medida que el campo avanza y nuestra comprensión de los mecanismos subyacentes se profundiza, las ecuaciones rectoras pueden ser reemplazadas o refinadas por modelos nuevos y más precisos que representen mejor el comportamiento del sistema. Estas nuevas ecuaciones rectoras pueden entonces considerarse el nivel más profundo del modelo fenomenológico en ese momento.
Un balance de masa , también llamado balance de materiales , es una aplicación de la conservación de la masa al análisis de sistemas físicos. Es la ecuación de gobierno más simple y es simplemente un presupuesto (cálculo de balance) sobre la cantidad en cuestión:
A continuación se enumeran las ecuaciones rectoras [1] [2] de la física clásica que se enseñan [3] [4] [5] [6] en las universidades.
Las ecuaciones básicas de la mecánica clásica de medios continuos son todas ecuaciones de equilibrio y, como tales, cada una de ellas contiene un término derivado del tiempo que calcula cuánto cambia la variable dependiente con el tiempo. Para un sistema aislado, sin fricción y no viscoso, las primeras cuatro ecuaciones son las conocidas ecuaciones de conservación de la mecánica clásica.
La ley de Darcy del flujo de agua subterránea tiene la forma de un flujo volumétrico causado por un gradiente de presión. Un flujo en mecánica clásica normalmente no es una ecuación rectora, sino una ecuación definitoria de las propiedades de transporte . La ley de Darcy se estableció originalmente como una ecuación empírica, pero luego se demostró que se podía derivar como una aproximación de la ecuación de Navier-Stokes combinada con un término de fuerza de fricción compuesto empírico. Esto explica la dualidad de la ley de Darcy como ecuación rectora y ecuación definitoria de la permeabilidad absoluta.
La no linealidad de la derivada material en las ecuaciones de equilibrio en general, y las complejidades de la ecuación de momento de Cauchy y de la ecuación de Navier-Stokes hacen que las ecuaciones básicas de la mecánica clásica estén expuestas al establecimiento de aproximaciones más simples.
Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales rectoras en la mecánica clásica del medio continuo son
Un ejemplo famoso de ecuaciones diferenciales rectoras dentro de la biología es
Una ecuación gobernante también puede ser una ecuación de estado , una ecuación que describe el estado del sistema y, por lo tanto, ser en realidad una ecuación constitutiva que ha "subido de rango" porque el modelo en cuestión no estaba destinado a incluir un término dependiente del tiempo en la ecuación. Este es el caso de un modelo de una planta de producción de petróleo que, en promedio, opera en un modo de estado estable . Los resultados de un cálculo de equilibrio termodinámico son datos de entrada para el siguiente cálculo de equilibrio junto con algunos nuevos parámetros de estado, y así sucesivamente. En este caso, el algoritmo y la secuencia de datos de entrada forman una cadena de acciones o cálculos que describe el cambio de estados desde el primer estado (basado únicamente en los datos de entrada) hasta el último estado que finalmente surge de la secuencia de cálculo.
