Teoría del haz de Timoshenko-Ehrenfest

Modelo de deformación por cizallamiento y efectos de flexión.

Orientaciones de la línea perpendicular al plano medio de un libro de bolsillo grueso sometido a flexión.

La teoría de vigas de Timoshenko-Ehrenfest fue desarrollada por Stephen Timoshenko y Paul Ehrenfest ^{[1] [2] [3]} a principios del siglo XX. ^{[4] [5]} El modelo tiene en cuenta la deformación cortante y los efectos de flexión rotacional , lo que lo hace adecuado para describir el comportamiento de vigas gruesas, vigas compuestas tipo sándwich o vigas sujetas a excitación de alta frecuencia cuando la longitud de onda se acerca al espesor de la viga. La ecuación resultante es de cuarto orden pero, a diferencia de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli , también hay presente una derivada parcial de segundo orden. Físicamente, tener en cuenta los mecanismos añadidos de deformación reduce efectivamente la rigidez de la viga, mientras que el resultado es una mayor deflexión bajo una carga estática y frecuencias propias predichas más bajas para un conjunto dado de condiciones de contorno. El último efecto es más notable para frecuencias más altas a medida que la longitud de onda se acorta (en principio comparable a la altura de la viga o más corta), y por lo tanto la distancia entre fuerzas de corte opuestas disminuye.

El efecto de inercia rotatoria fue introducido por Bresse ^[6] y Rayleigh. ^[7]

Si el módulo de corte del material de la viga se acerca al infinito (y, por lo tanto, la viga se vuelve rígida al corte) y si se descuidan los efectos de inercia rotacional, la teoría de vigas de Timoshenko converge hacia la teoría de vigas de Euler-Bernoulli .

Viga de Timoshenko cuasiestática

Deformación de una viga de Timoshenko (azul) comparada con la de una viga de Euler-Bernoulli (roja).

Deformación de una viga de Timoshenko. La normal gira en una cantidad que no es igual a . ${\displaystyle \theta _{x}=\varphi (x)}$ ${\displaystyle dw/dx}$

En la teoría de vigas estáticas de Timoshenko sin efectos axiales, se supone que los desplazamientos de la viga están dados por

${\displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x)}$

donde son las coordenadas de un punto en la viga, son los componentes del vector de desplazamiento en las tres direcciones de coordenadas, es el ángulo de rotación de la normal a la superficie media de la viga, y es el desplazamiento de la superficie media en la dirección -. ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$

Las ecuaciones gobernantes son el siguiente sistema acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}}$

La teoría de vigas de Timoshenko para el caso estático es equivalente a la teoría de Euler-Bernoulli cuando se descuida el último término anterior, una aproximación que es válida cuando

${\displaystyle {\frac {3EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1}$

dónde

• ${\displaystyle L}$es la longitud de la viga.
• ${\displaystyle A}$es el área de la sección transversal.
• ${\displaystyle E}$es el módulo elástico .
• ${\displaystyle G}$es el módulo de corte .
• ${\displaystyle I}$es el segundo momento del área .
• ${\displaystyle \kappa }$El coeficiente de corte de Timoshenko depende de la geometría. Normalmente, para una sección rectangular. ${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q(x)}$es una carga distribuida (fuerza por longitud).
• ${\displaystyle w}$es el desplazamiento de la superficie media en la dirección -. ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \varphi }$es el ángulo de rotación de la normal a la superficie media de la viga.

Combinando las dos ecuaciones se obtiene, para una viga homogénea de sección transversal constante,

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

El momento flector y la fuerza cortante en la viga están relacionados con el desplazamiento y la rotación . Estas relaciones, para una viga elástica lineal de Timoshenko, son: ${\displaystyle M_{xx}}$ ${\displaystyle Q_{x}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.}$

Condiciones de contorno

Las dos ecuaciones que describen la deformación de una viga de Timoshenko deben complementarse con condiciones de contorno para poder resolverlas. Para que el problema esté bien planteado, se necesitan cuatro condiciones de contorno . Las condiciones de contorno típicas son:

• Vigas simplemente apoyadas : el desplazamiento es cero en las posiciones de los dos apoyos. También se debe especificar el momento flector aplicado a la viga. No se especifican la rotación ni la fuerza cortante transversal . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle M_{xx}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Q_{x}}$
• Vigas sujetas : el desplazamiento y la rotación se especifican como cero en el extremo sujeto. Si un extremo está libre, la fuerza de corte y el momento de flexión deben especificarse en ese extremo. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Q_{x}}$ ${\displaystyle M_{xx}}$

Energía de deformación de una viga de Timoshenko

La energía de deformación de una viga Timoshenko se expresa como una suma de la energía de deformación debida a la flexión y al esfuerzo cortante. Ambos componentes son cuadráticos en sus variables. La función de energía de deformación de una viga Timoshenko se puede escribir como:

${\displaystyle W=\int _{[0,L]}{\frac {EI}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}+{\frac {kGA}{2}}\left(\varphi -{\frac {dw}{dx}}\right)^{2}}$

Ejemplo: Viga en voladizo

Una viga en voladizo de Timoshenko bajo una carga puntual en el extremo libre

Para una viga en voladizo , un límite está sujeto mientras que el otro está libre. Usemos un sistema de coordenadas de mano derecha donde la dirección es positiva hacia la derecha y la dirección es positiva hacia arriba. Siguiendo la convención normal, suponemos que las fuerzas positivas actúan en las direcciones positivas de los ejes y y los momentos positivos actúan en el sentido de las agujas del reloj. También suponemos que la convención de signos de las resultantes de tensión ( y ) es tal que los momentos de flexión positivos comprimen el material en la parte inferior de la viga ( coordenadas inferiores) y las fuerzas de corte positivas giran la viga en sentido antihorario. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle M_{xx}}$ ${\displaystyle Q_{x}}$ ${\displaystyle z}$

Supongamos que el extremo sujeto está en y el extremo libre está en . Si se aplica una carga puntual al extremo libre en la dirección positiva, un diagrama de cuerpo libre de la viga nos da ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle -Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px}$

y

${\displaystyle P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.}$

Por lo tanto, a partir de las expresiones para el momento flector y la fuerza cortante, tenemos

${\displaystyle Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{and}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw}{dx}}\right)\,.}$

La integración de la primera ecuación y la aplicación de la condición de contorno en , conduce a ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

La segunda ecuación puede entonces escribirse como

${\displaystyle {\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

La integración y aplicación de la condición de contorno en da ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle w(x)={\frac {P(L-x)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.}$

La tensión axial viene dada por

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.}$

Rayo dinámico de Timoshenko

En la teoría de vigas de Timoshenko sin efectos axiales, se supone que los desplazamientos de la viga están dados por

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

donde son las coordenadas de un punto en la viga, son los componentes del vector de desplazamiento en las tres direcciones de coordenadas, es el ángulo de rotación de la normal a la superficie media de la viga, y es el desplazamiento de la superficie media en la dirección -. ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$

Partiendo del supuesto anterior, la teoría de vigas de Timoshenko, que permite vibraciones, puede describirse con las ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas : ^[8]

${\displaystyle \rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle \rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

donde las variables dependientes son , el desplazamiento traslacional de la viga, y , el desplazamiento angular. Nótese que a diferencia de la teoría de Euler-Bernoulli , la desviación angular es otra variable y no se aproxima por la pendiente de la desviación. Además, ${\displaystyle w(x,t)}$ ${\displaystyle \varphi (x,t)}$

• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del material de la viga (pero no la densidad lineal ).
• ${\displaystyle A}$es el área de la sección transversal.
• ${\displaystyle E}$es el módulo elástico .
• ${\displaystyle G}$es el módulo de corte .
• ${\displaystyle I}$es el segundo momento del área .
• ${\displaystyle \kappa }$El coeficiente de corte de Timoshenko depende de la geometría. Normalmente, para una sección rectangular. ${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q(x,t)}$es una carga distribuida (fuerza por longitud).
• ${\displaystyle m:=\rho A}$
• ${\displaystyle J:=\rho I}$
• ${\displaystyle w}$es el desplazamiento de la superficie media en la dirección -. ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \varphi }$es el ángulo de rotación de la normal a la superficie media de la viga.

Estos parámetros no son necesariamente constantes.

Para una viga isótropa, homogénea, elástica lineal de sección transversal constante, estas dos ecuaciones se pueden combinar para obtener ^{[9] [10]}

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{\kappa AG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

Sin embargo, se puede demostrar fácilmente que esta ecuación es incorrecta. Consideremos el caso en el que q es constante y no depende de x o t, combinado con la presencia de un pequeño amortiguamiento, todas las derivadas temporales tenderán a cero cuando t tienda a infinito. Los términos de corte no están presentes en esta situación, lo que da como resultado la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, donde se descuida la deformación por corte.

La ecuación de Timoshenko predice una frecuencia crítica Para los modos normales se puede resolver la ecuación de Timoshenko. Al ser una ecuación de cuarto orden, existen cuatro soluciones independientes, dos oscilatorias y dos evanescentes para frecuencias inferiores a . Para frecuencias superiores a todas las soluciones son oscilatorias y, como consecuencia, aparece un segundo espectro. ^[11] ${\displaystyle \omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I}}}.}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{c}}$

Efectos axiales

Si los desplazamientos de la viga están dados por

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

donde es un desplazamiento adicional en la dirección -, entonces las ecuaciones gobernantes de una viga de Timoshenko toman la forma ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}}$

donde y es una fuerza axial aplicada externamente. Cualquier fuerza axial externa se equilibra con la tensión resultante ${\displaystyle J=\rho I}$ ${\displaystyle N(x,t)}$

${\displaystyle N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz}$

donde es la tensión axial y se ha asumido que el espesor de la viga es . ${\displaystyle \sigma _{xx}}$ ${\displaystyle 2h}$

La ecuación de viga combinada con efectos de fuerza axial incluidos es

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

Mojadura

Si, además de las fuerzas axiales, asumimos una fuerza de amortiguamiento que es proporcional a la velocidad con la forma

${\displaystyle \eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}}$

Las ecuaciones de gobierno acopladas para una viga de Timoshenko toman la forma

${\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)}$

${\displaystyle J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

y la ecuación combinada se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

Una salvedad sobre esta fuerza de amortiguación de Ansatz (similar a la viscosidad) es que, mientras que la viscosidad conduce a una tasa de amortiguación de las oscilaciones del haz dependiente de la frecuencia e independiente de la amplitud, las tasas de amortiguación medidas empíricamente son insensibles a la frecuencia, pero dependen de la amplitud de la desviación del haz.

Coeficiente de corte

La determinación del coeficiente de corte no es sencilla (ni los valores determinados son ampliamente aceptados, es decir, hay más de una respuesta); generalmente debe satisfacer:

${\displaystyle \int _{A}\tau dA=\kappa AG(\varphi -{\frac {\partial w}{\partial x}})}$.

El coeficiente de corte depende del coeficiente de Poisson . Muchos científicos intentaron proporcionar expresiones precisas, entre ellos Stephen Timoshenko , ^[12] Raymond D. Mindlin , ^[13] GR Cowper, ^[14] GR, 1966, "The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theory", J. Appl. Mech., Vol. 33, No.2, pp. 335–340.</ref> NG Stephen, ^[15] JR Hutchinson ^[16], etc. (véase también la derivación de la teoría de vigas de Timoshenko como una teoría de vigas refinada basada en el método asintótico variacional en el libro de Khanh C. Le ^[17] que conduce a diferentes coeficientes de corte en los casos estático y dinámico). En la práctica de la ingeniería, las expresiones de Stephen Timoshenko ^[18] son ​​suficientes en la mayoría de los casos. En 1975, Kaneko ^[19] publicó una excelente revisión de los estudios del coeficiente de corte. Más recientemente, nuevos datos experimentales muestran que el coeficiente de corte está subestimado. ^{[20] [21]}

Coeficientes de corte correctivos para vigas isotrópicas homogéneas según Cowper – selección. ^[14]

¿Dónde está el coeficiente de Poisson? ${\displaystyle \nu }$

Véase también

• Teoría de placas
• Teoría del sándwich

Referencias

1. Isaac Elishakoff (2020) "¿Quién desarrolló la llamada teoría de vigas de Timoshenko?", Matemáticas y mecánica de sólidos 25(1): 97–116 doi :10.1177/1081286519856931
2. Elishakoff, I. (2020) Manual sobre las teorías de vigas de Timoshenko-Ehrenfest y placas de Uflyand-Mindlin , World Scientific , Singapur, ISBN 978-981-3236-51-6 
3. Grigolyuk, EI (2002) SP Timoshenko: Vida y destino , Moscú: Instituto de Aviación Press (en ruso)
4. Timoshenko, SP (1921) "LXVI. Sobre la corrección por cizallamiento de la ecuación diferencial para vibraciones transversales de barras prismáticas", The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 41(245): 744–746 doi :10.1080/14786442108636264
5. Timoshenko, SP (1922) "X. Sobre las vibraciones transversales de barras de sección transversal uniforme", The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 43(253): 125–131 doi :10.1080/14786442208633855
6. Bresse JAC, 1859, Cours de mécanique appliquée - Résistance des matériaux et stabilité des Constructions, París, Gauthier-Villars (en francés)
7. Rayleigh Lord (JWS Strutt), 1877-1878, La teoría del sonido, Londres: Macmillan (véase también Dover, Nueva York, 1945)
8. Ecuaciones de vigas de Timoshenko
9. Thomson, WT, 1981, Teoría de la vibración con aplicaciones , segunda edición. Prentice-Hall, Nueva Jersey.
10. Rosinger, HE y Ritchie, IG, 1977, Sobre la corrección de Timoshenko para el esfuerzo cortante en vigas isotrópicas vibrantes , J. Phys. D: Appl. Phys., vol. 10, págs. 1461-1466.
11. "Estudio experimental de las predicciones de la teoría del haz de Timoshenko", A. Díaz-de-Anda, J. Flores, L. Gutiérrez, RA Méndez-Sánchez, G. Monsivais y A. Morales, Journal of Sound and Vibration, Volumen 331 , Número 26, 17 de diciembre de 2012, págs. 5732–5744.
12. Timoshenko, Stephen P., 1932, Schwingungsprobleme der Technik , Julius Springer.
13. Mindlin, RD, Deresiewicz, H., 1953, Coeficiente de corte de Timoshenko para vibraciones de flexión de vigas , Informe técnico n.º 10, Proyecto ONR NR064-388, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Columbia, Nueva York, NY
14. Error en la cita: La referencia nombrada Cowperfue invocada pero nunca definida (ver la página de ayuda ).
15. Stephen, NG, 1980. "Coeficiente de corte de Timoshenko de una viga sometida a carga gravitacional", Journal of Applied Mechanics, vol. 47, núm. 1, págs. 121-127.
16. Hutchinson, JR, 1981, "Vibración transversal de vigas, soluciones exactas versus aproximadas", Journal of Applied Mechanics, vol. 48, n.º 12, págs. 923–928.
17. Le, Khanh C., 1999, Vibraciones de carcasas y varillas , Springer.
18. Stephen Timoshenko, James M. Gere. Mecánica de materiales. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. Páginas 207.
19. Kaneko, T., 1975, "Sobre la corrección de Timoshenko para el esfuerzo cortante en vigas vibrantes", J. Phys. D: Appl. Phys., Vol. 8, págs. 1927–1936.
20. "Comprobación experimental de la precisión de la teoría de vigas de Timoshenko", RA Méndez-Sáchez, A. Morales, J. Flores, Journal of Sound and Vibration 279 (2005) 508–512.
21. "Sobre la precisión de la teoría de vigas de Timoshenko por encima de la frecuencia crítica: mejor coeficiente de corte", JA Franco-Villafañe y RA Méndez-Sánchez, Journal of Mechanics, enero de 2016, pp. 1–4. DOI: 10.1017/jmech.2015.104.