Teoría del sándwich

Teoría que describe el comportamiento de estructuras o materiales de tres capas.

Panel de estructura sándwich compuesto utilizado para pruebas en la NASA

La teoría de sándwich ^{[1] [2]} describe el comportamiento de una viga , placa o carcasa que consta de tres capas: dos láminas frontales y un núcleo. La teoría de sándwich más utilizada es la lineal y es una extensión de la teoría de vigas de primer orden . La teoría de sándwich lineal es importante para el diseño y análisis de paneles sándwich , que se utilizan en la construcción de edificios, la construcción de vehículos, la construcción de aviones y la ingeniería de refrigeración.

Algunas ventajas de la construcción tipo sándwich son:

• Las secciones transversales tipo sándwich son de material compuesto . Suelen estar formadas por un núcleo de rigidez baja a moderada conectado a dos láminas exteriores rígidas. El material compuesto tiene una relación entre rigidez al corte y peso considerablemente mayor que una viga equivalente hecha únicamente con el material del núcleo o con el material de la lámina exterior. El material compuesto también tiene una relación entre resistencia a la tracción y peso elevada.
• La alta rigidez de la lámina frontal produce una alta relación entre la rigidez a la flexión y el peso del compuesto.

El comportamiento de una viga con sección transversal tipo sándwich bajo carga difiere del de una viga con sección transversal elástica constante . Si el radio de curvatura durante la flexión es grande en comparación con el espesor de la viga tipo sándwich y las deformaciones en los materiales componentes son pequeñas, la deformación de una viga compuesta tipo sándwich se puede dividir en dos partes.

• deformaciones debidas a momentos flectores o deformaciones por flexión, y
• deformaciones debidas a fuerzas transversales, también llamadas deformación por cizallamiento.

Las teorías de vigas, placas y láminas sándwich generalmente suponen que el estado de tensión de referencia es cero. Sin embargo, durante el curado, persisten diferencias de temperatura entre las láminas frontales debido a la separación térmica por parte del material del núcleo. Estas diferencias de temperatura, junto con diferentes expansiones lineales de las láminas frontales, pueden provocar una flexión de la viga sándwich en la dirección de la lámina frontal más caliente. Si la flexión se ve limitada durante el proceso de fabricación, pueden desarrollarse tensiones residuales en los componentes de un compuesto sándwich. La superposición de un estado de tensión de referencia sobre las soluciones proporcionadas por la teoría sándwich es posible cuando el problema es lineal. Sin embargo, cuando se esperan grandes deformaciones elásticas y rotaciones, el estado de tensión inicial debe incorporarse directamente a la teoría sándwich.

Teoría de vigas sándwich de ingeniería

Flexión de una viga sándwich sin deformación adicional debido al esfuerzo cortante del núcleo.

En la teoría de ingeniería de vigas sándwich, ^[2] se supone que la deformación axial varía linealmente a lo largo de la sección transversal de la viga como en la teoría de Euler-Bernoulli , es decir,

${\displaystyle \varepsilon _{xx}(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Por lo tanto, la tensión axial en la viga sándwich viene dada por

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=-z~E(z)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

donde es el módulo de Young , que es una función de la ubicación a lo largo del espesor de la viga. El momento de flexión en la viga se da entonces por ${\displaystyle E(z)}$

${\displaystyle M_{x}(x)=\int \int z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y=-\left(\int \int z^{2}E(z)~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=:-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

La cantidad se denomina rigidez a la flexión de la viga sándwich. La fuerza cortante se define como ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}={\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~.}$

Utilizando estas relaciones, podemos demostrar que las tensiones en una viga sándwich con un núcleo de espesor y módulo y dos láminas frontales cada una de espesor y módulo , están dadas por ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle E^{c}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E^{f}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {f} }M_{x}}{D}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {c} }M_{x}}{D}}\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {Q_{x}E^{\mathrm {f} }}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{\mathrm {c} }\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{\mathrm {f} }f(f+2h)\right]\end{aligned}}}$

Para una viga sándwich con láminas frontales idénticas y ancho unitario, el valor de es ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=E^{f}\int _{w}\int _{-h-f}^{-h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{c}\int _{w}\int _{-h}^{h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{f}\int _{w}\int _{h}^{h+f}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\\&={\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+{\frac {2}{3}}E^{c}h^{3}+2E^{f}fh(f+h)~.\end{aligned}}}$

Si , entonces se puede aproximar como ${\displaystyle E^{f}\gg E^{c}}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D\approx {\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+2E^{f}fh(f+h)=2fE^{f}\left({\frac {1}{3}}f^{2}+h(f+h)\right)}$

y las tensiones en la viga sándwich se pueden aproximar como

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{{\frac {2}{3}}f^{3}+2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{{\frac {4}{3}}f^{3}+4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{{\frac {2}{3}}f^{2}+h(f+h)}}\end{aligned}}}$

Si, además, , entonces ${\displaystyle f\ll 2h}$

${\displaystyle D\approx 2E^{f}fh(f+h)}$

y las tensiones aproximadas en la viga son

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{4h(f+h)}}\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}}$

Si suponemos que las láminas frontales son lo suficientemente delgadas como para que se pueda suponer que las tensiones son constantes a través del espesor, tenemos la aproximación

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx \pm {\cfrac {M_{x}}{2fh}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx 0~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el problema se puede dividir en dos partes, una que involucra solo el esfuerzo cortante del núcleo y la otra que involucra solo las tensiones de flexión en las láminas frontales.

Teoría del sándwich lineal

Flexión de una viga sándwich con láminas delgadas

Flexión de una viga sándwich después de incorporar el esfuerzo cortante del núcleo a la deformación.

Los principales supuestos de las teorías de sándwich lineal de vigas con láminas delgadas son:

• La rigidez normal transversal del núcleo es infinita, es decir, el espesor del núcleo en la dirección z no cambia durante la flexión.
• La rigidez normal en el plano del núcleo es pequeña en comparación con la de las láminas frontales, es decir, el núcleo no se alarga ni se comprime en la dirección x.
• Las láminas frontales se comportan de acuerdo con los supuestos de Euler-Bernoulli , es decir, no hay cizallamiento xz en las láminas frontales y el espesor en la dirección z de las láminas frontales no cambia.

Sin embargo, no se descuidan las tensiones cortantes xz en el núcleo.

Supuestos constitutivos

Las relaciones constitutivas para materiales elásticos lineales ortotrópicos bidimensionales son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{zx}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{13}&0\\C_{13}&C_{33}&0\\0&0&C_{55}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{zx}\end{bmatrix}}}$

Los supuestos de la teoría del sándwich conducen a relaciones simplificadas

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {face} }=\sigma _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {core} }=\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }=0}$

y

${\displaystyle \varepsilon _{zz}^{\mathrm {face} }=\varepsilon _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\varepsilon _{zz}^{\mathrm {core} }=\varepsilon _{xx}^{\mathrm {core} }=0}$

Las ecuaciones de equilibrio en dos dimensiones son

${\displaystyle {\cfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}=0~;~~{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}=0}$

Los supuestos para una viga sándwich y la ecuación de equilibrio implican que

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant} }$

Por lo tanto, para capas frontales y núcleos homogéneos, las deformaciones también tienen la forma

${\displaystyle \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant} }$

Cinemática

Flexión de una viga sándwich. La deflexión total es la suma de una parte de flexión w _b y una parte de cortante w _s

Deformaciones cortantes durante la flexión de una viga sándwich.

Sea la viga sándwich sometida a un momento flector y a una fuerza cortante . Sea la deflexión total de la viga debida a estas cargas . La figura adyacente muestra que, para pequeños desplazamientos, la deflexión total de la superficie media de la viga se puede expresar como la suma de dos deflexiones, una deflexión pura por flexión y una deflexión pura por cortante , es decir, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w_{b}}$ ${\displaystyle w_{s}}$

${\displaystyle w(x)=w_{b}(x)+w_{s}(x)}$

A partir de la geometría de la deformación observamos que la deformación cortante de ingeniería ( ) en el núcleo está relacionada con la deformación cortante efectiva en el compuesto por la relación ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{2h}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }}$

Nótese que la deformación cortante en el núcleo es mayor que la deformación cortante efectiva en el compuesto y que se suponen pequeñas deformaciones ( ) al derivar la relación anterior. La deformación cortante efectiva en la viga está relacionada con el desplazamiento cortante mediante la relación ${\displaystyle \tan \gamma =\gamma }$

${\displaystyle \gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }={\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Se supone que las láminas frontales se deforman de acuerdo con los supuestos de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli. Se supone que la deflexión total de las láminas frontales es la superposición de las deflexiones debidas a la flexión y la debida al esfuerzo cortante del núcleo. Los desplazamientos en la dirección de las láminas frontales debidos a la flexión se dan mediante ${\displaystyle x}$

${\displaystyle u_{b}^{\mathrm {face} }(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} w_{b}}{\mathrm {d} x}}}$

El desplazamiento de la capa superior debido al esfuerzo cortante en el núcleo es

${\displaystyle u_{s}^{\mathrm {topface} }(x,z)=-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

y la de la cara inferior es

${\displaystyle u_{s}^{\mathrm {botface} }(x,z)=-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Las deformaciones normales en las dos caras están dadas por

${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\cfrac {\partial u_{b}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial u_{s}}{\partial x}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \varepsilon _{xx}^{\mathrm {topface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {botface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Relaciones estrés-desplazamiento

La tensión cortante en el núcleo viene dada por

${\displaystyle \sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {C_{55}^{\mathrm {core} }}{2}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }}$

o,

${\displaystyle \sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Las tensiones normales en las láminas frontales están dadas por

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }}$

Por eso,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {topface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\\sigma _{xx}^{\mathrm {botface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}}$

Fuerzas y momentos resultantes

La fuerza normal resultante en una lámina frontal se define como

${\displaystyle N_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}}$

y los momentos resultantes se definen como

${\displaystyle M_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}z_{f}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}}$

dónde

${\displaystyle z_{f}^{\mathrm {topface} }:=z-h-{\tfrac {f}{2}}~;~~z_{f}^{\mathrm {botface} }:=z+h+{\tfrac {f}{2}}}$

Usando las expresiones para la tensión normal en las dos caras de la lámina se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-f\left(h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}=-N_{xx}^{\mathrm {botface} }\\M_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M_{xx}^{\mathrm {botface} }\end{aligned}}}$

En el núcleo, el momento resultante es

${\displaystyle M_{xx}^{\mathrm {core} }:=\int _{-h}^{h}z~\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }~\mathrm {d} z=0}$

El momento flector total en la viga es

${\displaystyle M=N_{xx}^{\mathrm {topface} }~(2h+f)+2~M_{xx}^{\mathrm {topface} }}$

o,

${\displaystyle M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

La fuerza cortante en el núcleo se define como ${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {core} }=\kappa \int _{-h}^{h}\sigma _{xz}~dz={\tfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

donde es un coeficiente de corrección de esfuerzo cortante. La fuerza cortante en las láminas frontales se puede calcular a partir de los momentos de flexión utilizando la relación ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {face} }={\cfrac {\mathrm {d} M_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}}$

o,

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {face} }=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

En el caso de láminas delgadas, la fuerza de corte en las láminas suele ignorarse. ^[2]

Rigidez a la flexión y al corte

La rigidez a la flexión de la viga sándwich viene dada por

${\displaystyle D^{\mathrm {beam} }=-M/{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

De la expresión para el momento flector total en la viga, tenemos

${\displaystyle M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Para pequeñas deformaciones cortantes, la expresión anterior se puede escribir como

${\displaystyle M\approx -{\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Por lo tanto, la rigidez a la flexión de la viga sándwich (con ) viene dada por ${\displaystyle f\ll 2h}$

${\displaystyle D^{\mathrm {beam} }\approx {\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }\approx {\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }}$

y la de las láminas frontales es

${\displaystyle D^{\mathrm {face} }={\cfrac {f^{3}}{12}}~C_{11}^{\mathrm {face} }}$

La rigidez cortante de la viga viene dada por

${\displaystyle S^{\mathrm {beam} }=Q_{x}/{\tfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Por lo tanto, la rigidez cortante de la viga, que es igual a la rigidez cortante del núcleo, es

${\displaystyle S^{\mathrm {beam} }=S^{\mathrm {core} }={\cfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }}$

Relación entre deflexiones por flexión y por corte

Se puede obtener una relación entre las deflexiones por flexión y por corte utilizando la continuidad de las tracciones entre el núcleo y las láminas de revestimiento. Si equiparamos las tracciones directamente obtenemos

${\displaystyle n_{x}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }}$

En ambas interfaces de la lámina frontal y el núcleo, pero en la parte superior y en la parte inferior del núcleo . Por lo tanto, la continuidad de la tracción en conduce a ${\displaystyle n_{x}=1}$ ${\displaystyle n_{z}=1}$ ${\displaystyle n_{z}=-1}$ ${\displaystyle z=\pm h}$

${\displaystyle 2fh~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2h+f)~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=4h^{2}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

La relación anterior rara vez se utiliza debido a la presencia de segundas derivadas de la deflexión cortante. En cambio, se supone que

${\displaystyle n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}}$

Lo que implica que

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-2fh~\left({\cfrac {C_{11}^{\mathrm {face} }}{C_{55}^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{b}}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

Ecuaciones de gobierno

Utilizando las definiciones anteriores, las ecuaciones de equilibrio que rigen el momento flector y la fuerza cortante son

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=D^{\mathrm {beam} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(D^{\mathrm {beam} }+2D^{\mathrm {face} }\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q&=S^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-2D^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}}$

Alternativamente, podemos expresar lo anterior como dos ecuaciones que se pueden resolver para y como ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w_{s}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}~{\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}=-\left(1+{\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

Usando las aproximaciones

${\displaystyle Q\approx {\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}~;~~q\approx {\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}}$

donde es la intensidad de la carga aplicada sobre la viga, tenemos ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

Se pueden utilizar varias técnicas para resolver este sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas dada la carga aplicada y las condiciones de contorno del momento flector y del desplazamiento aplicados.

Forma alternativa de ecuaciones de gobierno dependiente de la temperatura

Suponiendo que cada sección transversal parcial cumple la hipótesis de Bernoulli , el equilibrio de fuerzas y momentos en el elemento de viga sándwich deformado se puede utilizar para deducir la ecuación de flexión de la viga sándwich.

Figura 1 - Equilibrio de una viga sándwich desviada bajo carga de temperatura y carga en comparación con la sección transversal no desviada

Las resultantes de tensiones y las correspondientes deformaciones de la viga y de la sección transversal se pueden ver en la Figura 1. Las siguientes relaciones se pueden derivar utilizando la teoría de elasticidad lineal : ^{[3] [4]}

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{\mathrm {core} }&=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma _{2}}{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\vartheta \right)\\M^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q^{\mathrm {core} }&=S^{\mathrm {core} }\gamma \\Q^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}\,}$

dónde

La superposición de las ecuaciones para las capas frontales y el núcleo conduce a las siguientes ecuaciones para la fuerza cortante total y el momento flector total : ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&S^{\mathrm {core} }\gamma -D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}=Q&\quad \quad &(1)\\&D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)-\left(D^{\mathrm {beam} }+D^{\mathrm {face} }\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M&\quad \quad &(2)\,\end{alignedat}}}$

Alternativamente, podemos expresar lo anterior como dos ecuaciones que se pueden resolver para y , es decir, ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}-\vartheta \\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\gamma }{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right)\gamma =-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

Enfoques de solución

Deformación por cortante y flexión de una viga compuesta tipo sándwich.

El comportamiento de flexión y las tensiones en una viga sándwich continua se pueden calcular resolviendo las dos ecuaciones diferenciales que la rigen.

Enfoque analítico

En el caso de geometrías simples, como vigas de doble tramo sometidas a cargas uniformemente distribuidas, las ecuaciones que rigen el problema se pueden resolver utilizando condiciones de contorno adecuadas y aplicando el principio de superposición. Dichos resultados se enumeran en la norma DIN EN 14509:2006 ^[5] (Tabla E10.1). También se pueden utilizar métodos energéticos para calcular soluciones directamente.

Enfoque numérico

La ecuación diferencial de las vigas continuas tipo sándwich se puede resolver mediante el uso de métodos numéricos como diferencias finitas y elementos finitos . Para las diferencias finitas, Berner ^[6] recomienda un enfoque de dos etapas. Después de resolver la ecuación diferencial para las fuerzas normales en las láminas de cubierta para una viga de un solo tramo bajo una carga dada, el método de la energía se puede utilizar para ampliar el enfoque para el cálculo de vigas de varios tramos. Las vigas continuas tipo sándwich con láminas de cubierta flexibles también se pueden colocar una sobre otra cuando se utiliza esta técnica. Sin embargo, la sección transversal de la viga tiene que ser constante en todos los tramos.

Un enfoque más especializado recomendado por Schwarze ^[4] implica resolver la parte homogénea de la ecuación gobernante de manera exacta y la parte particular de manera aproximada. Recordemos que la ecuación gobernante para una viga sándwich es

${\displaystyle \left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}}$

Si definimos

${\displaystyle \alpha :={\cfrac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}~;~~\beta :={\cfrac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}~;~~W(x):={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Nosotros conseguimos

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}W}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\cfrac {1+\alpha }{\beta }}\right)~W={\frac {M}{\beta D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{D^{\mathrm {face} }}}}$

Schwarze utiliza la solución general para la parte homogénea de la ecuación anterior y una aproximación polinómica para la solución particular de las secciones de una viga sándwich. Las interfaces entre las secciones se unen mediante condiciones de contorno coincidentes. Este enfoque se ha utilizado en el código fuente abierto swe2.

Importancia práctica

Los resultados predichos por la teoría de sándwich lineal se correlacionan bien con los resultados determinados experimentalmente. La teoría se utiliza como base para el informe estructural que se necesita para la construcción de grandes edificios industriales y comerciales revestidos con paneles sándwich . Su uso se exige explícitamente para las aprobaciones y en las normas de ingeniería pertinentes. ^[5]

Mohammed Rahif Hakmi y otros realizaron investigaciones sobre el comportamiento numérico y experimental de los materiales y el comportamiento del material compuesto frente al fuego y las explosiones . Publicó varios artículos de investigación:

• Pandeo local de paneles sándwich . ^{[7] [8]}
• Esfuerzo de pandeo frontal en paneles sándwich . ^[9]
• Comportamiento post-pandeo de vigas de acero de paredes delgadas rellenas de espuma. ^[10]
• "Resistencia al fuego de losas de piso compuestas utilizando un modelo de instalación de prueba de fuego" ^[11]
• Paneles sándwich resistentes al fuego para estructuras offshore . ^[12]
• Análisis numérico de temperatura de paneles higroscópicos expuestos al fuego. ^[13]
• Uso rentable de compuestos reforzados con fibra en alta mar. ^[14]

Hakmi desarrolló un método de diseño que había sido recomendado por la Comisión de Trabajo W056 de Paneles Sándwich del CIB, Comité Conjunto ECCS/CIB y que se ha utilizado en las recomendaciones europeas para el diseño de paneles sándwich (CIB, 2000). ^{[15] [16] [17]}

Véase también

• Doblado
• Teoría de vigas
• Material compuesto
• Criterio de fluencia en pendiente
• Compuesto estructurado tipo sándwich
• Sistema de placas tipo sándwich
• Panal compuesto
• Teoría de la viga de Timoshenko
• Teoría de placas
• Panel sándwich

Referencias

1. Plantema, F, J., 1966, Construcción tipo sándwich: flexión y pandeo de vigas, placas y láminas tipo sándwich , Jon Wiley and Sons, Nueva York.
2. Zenkert, D., 1995, Introducción a la construcción tipo sándwich , Engineering Materials Advisory Services Ltd, Reino Unido.
3. K. Stamm, H. Witte: Sandwichkonstruktionen - Berechnung, Fertigung, Ausführung . Springer-Verlag, Viena - Nueva York 1974.
4. Knut Schwarze: "Numerische Methoden zur Berechnung von Sandwichelementen". En Stahlbau . 12/1984, ISSN  0038-9145.
5. EN 14509 (D): Paneles aislantes autoportantes de doble piel con revestimiento metálico . Noviembre de 2006.
6. Klaus Berner: Erarbeitung vollständiger Bemessungsgrundlagen im Rahmen bautechnischer Zulassungen für Sandwichbauteile .Fraunhofer IRB Verlag, Stuttgart 2000 (Parte 1).
7. "Investigación de Mohammed Rahif Hakmi".
8. [1] Pandeo local de paneles sándwich
9. Davies MJ y Hakmi MR (1991) "Esfuerzo de pandeo frontal en paneles sándwich", Coloquio del acero de la Conferencia Nórdica, págs. 99-110.
10. Davies, JM, Hakmi, MR y Hassinen, P. (1991), "Comportamiento post-pandeo de vigas de acero de paredes delgadas rellenas de espuma" Journal of Constructional Steel Research 20: 75 - 83.
11. "Resistencia al fuego de losas de piso compuestas utilizando una instalación de prueba de fuego modelo", autor(es)
    ABDEL-HALIM MAH (1); HAKMI MR (2); O'LEARY DC (2); Afiliación(es) del o de los autores/Autor(es) Afiliación(es), (1) Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Ciencia y Tecnología de Jordania, PO Box 3030., Irbid, JORDANIA(2) Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Salford, Salford, M5 4WT, ROYAUME-UNI.
12. Davies, JM, Dr. Hakmi R. y McNicholas JB: Paneles sándwich resistentes al fuego para estructuras marinas, Uso rentable de compuestos reforzados con fibra en alta mar, Informe de investigación CP07, Programa Marinetech North West, Fase 1, 1991.
13. Davies, JM, Hakmi, R. y Wang, HB: Análisis numérico de temperatura de paneles higroscópicos expuestos al fuego, págs. 1624-1635, Métodos numéricos en problemas térmicos, vol. VIII, parte 2, Actas de la octava conferencia internacional celebrada en Swansea del 12 al 16 de julio de 1993. Pineridge Press, Reino Unido.
14. [2] HSE, El uso rentable de compuestos reforzados con fibra en alta mar CP07, Paneles sándwich resistentes al fuego para estructuras en alta mar Profesor JMDavies, Dr. R. Hakim, Dr. JB McNicholas, Universidad de Salford 45 páginas
15. "Recomendaciones europeas para paneles sándwich".
16. Davies, JM y Hakmi, MR 1990. Pandeo local de placas sándwich perfiladas. Actas del Simposio IABSE, Estructuras mixtas que incluyen nuevos materiales, Bruselas, septiembre, págs. 533–538
17. "Pandeo local de placas sándwich perfiladas".

Bibliografía

• Mohamed Rahif Hakmi
• Klaus Berner, Oliver Raabe: Bemessung von Sandwichbauteilen . IFBS-Schrift 5.08, IFBS eV, Düsseldorf 2006.
• Ralf Möller, Hans Pöter, Knut Schwarze: Planen und Bauen mit Trapezprofilen und Sandwichelementen . Banda 1, Ernst & Sohn, Berlín 2004, ISBN 3-433-01595-3 . 

Enlaces externos

• Mohammed Rahif Hakmi Investigación sobre paneles sándwich
• Instituto de Tecnología del Sándwich
• https://web.archive.org/web/20081120190919/http://www.diabgroup.com/europe/literature/e_pdf_files/man_pdf/sandwich_hb.pdf Manual del sándwich DIAB
• http://www.swe1.com Programm zur Ermittlung der Schnittgrössen und Spannungen von Sandwich-Wandplatten mit biegeweichen Deckschichten (código abierto)
• http://www.swe2.com Cálculo de vigas sándwich con caras corrugadas (código abierto)