Ecuaciones de Föppl-von Kármán

Las ecuaciones de Föppl–von Kármán , llamadas así por August Föppl ^[1] y Theodore von Kármán ^[2] , son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales que describen las grandes deflexiones de placas planas delgadas. ^[3] Con aplicaciones que van desde el diseño de cascos de submarinos hasta las propiedades mecánicas de la pared celular, ^[4] las ecuaciones son notoriamente difíciles de resolver y toman la siguiente forma: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}(1)\qquad &{\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\nabla ^{4}w-h{\frac {\partial }{\partial x_{\beta }}}\left(\sigma _{\alpha \beta }{\frac {\partial w}{\partial x_{\alpha }}}\right)=P\\(2)\qquad &{\frac {\partial \sigma _{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\end{aligned}}}$

donde E es el módulo de Young del material de la placa (asumido como homogéneo e isótropo), υ es el coeficiente de Poisson , h es el espesor de la placa, w es la deflexión fuera del plano de la placa, P es la fuerza normal externa por unidad de área de la placa, σ _αβ es el tensor de tensión de Cauchy y α , β son índices que toman valores de 1 y 2 (las dos direcciones ortogonales en el plano). El operador biarmónico bidimensional se define como ^[6]

${\displaystyle \nabla ^{4}w:={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha }}}\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{\beta }\partial x_{\beta }}}\right]={\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}\,.}$

La ecuación (1) anterior se puede derivar de los supuestos cinemáticos y las relaciones constitutivas de la placa. Las ecuaciones (2) son las dos ecuaciones para la conservación del momento lineal en dos dimensiones donde se supone que las tensiones fuera del plano ( σ ₃₃ , σ ₁₃ , σ ₂₃ ) son cero.

Validez de las ecuaciones de Föppl-von Kármán

Si bien las ecuaciones de Föppl–von Kármán son interesantes desde un punto de vista puramente matemático, la validez física de estas ecuaciones es cuestionable. ^[7] Ciarlet ^[8] afirma: Las ecuaciones bidimensionales de von Karman para placas, propuestas originalmente por von Karman [1910], desempeñan un papel mítico en las matemáticas aplicadas. Si bien se han estudiado abundantemente y de manera satisfactoria desde el punto de vista matemático, en lo que respecta en particular a varias cuestiones de existencia, regularidad y bifurcación de sus soluciones, su solidez física a menudo ha sido seriamente cuestionada. Las razones incluyen los hechos de que

1. La teoría depende de una geometría aproximada que no está claramente definida.
2. Se supone arbitrariamente una variación dada de tensión sobre una sección transversal.
3. Se utiliza una relación constitutiva lineal que no corresponde a una relación conocida entre medidas bien definidas de tensión y deformación.
4. Algunos componentes de la tensión se ignoran arbitrariamente
5. Existe una confusión entre configuraciones de referencia y deformadas que hace que la teoría sea inaplicable a las grandes deformaciones para las que aparentemente fue ideada.

Las condiciones bajo las cuales estas ecuaciones son realmente aplicables y darán resultados razonables cuando se resuelvan se analizan en Ciarlet. ^{[8] [9]}

Ecuaciones en términos de la función de tensión de Airy

Las tres ecuaciones de Föppl–von Kármán se pueden reducir a dos introduciendo la función de tensión de Airy donde ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \sigma _{11}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}^{2}}}~,~~\sigma _{22}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}^{2}}}~,~~\sigma _{12}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,.}$

La ecuación (1) se convierte en ^[5]

${\displaystyle {\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\Delta ^{2}w-h\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}\right)=P}$

mientras que la función de Airy satisface, por construcción, la ecuación de equilibrio de fuerzas (2). Se obtiene una ecuación para que refuerza la representación de la deformación como función de la tensión. Se obtiene ^[5] ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \Delta ^{2}\varphi +E\left\{{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}\right)^{2}\right\}=0\,.}$

Pura flexión

Para la flexión pura de placas delgadas la ecuación de equilibrio es , donde ${\displaystyle D\Delta ^{2}\ w=P}$

${\displaystyle D:={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}$

Se denomina rigidez flexural o cilíndrica de la placa. ^[5]

Supuestos cinemáticos (hipótesis de Kirchhoff)

En la derivación de las ecuaciones de Föppl–von Kármán, el supuesto cinemático principal (también conocido como hipótesis de Kirchhoff ) es que las normales de la superficie al plano de la placa permanecen perpendiculares a la placa después de la deformación. También se supone que los desplazamientos en el plano (membrana) son pequeños y el cambio en el espesor de la placa es insignificante. Estos supuestos implican que el campo de desplazamiento u en la placa se puede expresar como ^[10]

${\displaystyle u_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{1}(x_{1},x_{2})-x_{3}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}~,~~u_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{2}(x_{1},x_{2})-x_{3}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}~,~~u_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=w(x_{1},x_{2})}$

donde v es el desplazamiento en el plano (membrana). Esta forma del campo de desplazamiento supone implícitamente que la cantidad de rotación de la placa es pequeña.

Relaciones deformación-desplazamiento (tensiones de von Kármán)

Los componentes del tensor de deformación de Green lagrangiano tridimensional se definen como

${\displaystyle E_{ij}:={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right]\,.}$

Sustituyendo las expresiones para el campo de desplazamiento en lo anterior se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{11}&={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\E_{22}&={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{12}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\\E_{23}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\right]\\E_{31}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\right]\end{aligned}}}$

Para tensiones pequeñas pero rotaciones moderadas , los términos de orden superior que no se pueden descuidar son

${\displaystyle \left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}~,~~\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}~,~~{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\,.}$

Despreciando todos los demás términos de orden superior y haciendo cumplir el requisito de que la placa no cambie su espesor, los componentes del tensor de deformación se reducen a las deformaciones de von Kármán.

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{11}&={\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\\E_{22}&={\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\\E_{33}&=0~,~~E_{23}=0~,~~E_{13}=0\,.\end{aligned}}}$

Los primeros términos son las pequeñas deformaciones habituales, para la superficie media. Los segundos términos, que implican cuadrados de gradientes de desplazamiento, no son lineales y deben considerarse cuando la flexión de la placa es bastante grande (cuando las rotaciones son de alrededor de 10 a 15 grados). Estos dos primeros términos juntos se denominan deformaciones de membrana . Los últimos términos, que implican segundas derivadas, son las deformaciones de flexión (flexión) . Implican las curvaturas. Estos términos cero se deben a los supuestos de la teoría clásica de placas, que supone que los elementos normales al plano medio permanecen inextensibles y los elementos de línea perpendiculares al plano medio permanecen normales al plano medio después de la deformación.

Relaciones tensión-deformación

Si asumimos que los componentes del tensor de tensión de Cauchy están relacionados linealmente con las deformaciones de von Kármán por la ley de Hooke , la placa es isótropa y homogénea, y que la placa está bajo una condición de tensión plana , ^[11] tenemos σ ₃₃ = σ ₁₃ = σ ₂₃ = 0 y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{11}\\E_{22}\\E_{12}\end{bmatrix}}}$

Ampliando los términos, las tres tensiones distintas de cero son

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+\nu \left({\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right]\\\sigma _{22}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+\left({\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\right]\\\sigma _{12}&={\cfrac {E}{(1+\nu )}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right]\,.\end{aligned}}}$

Resultantes de estrés

Las resultantes de tensión en la placa se definen como

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h/2}^{h/2}\sigma _{\alpha \beta }\,dx_{3}~,~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h/2}^{h/2}x_{3}\,\sigma _{\alpha \beta }\,dx_{3}\,.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{11}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[2{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+2\nu {\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{22}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[2\nu {\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+2{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{12}&={\cfrac {Eh}{2(1+\nu )}}\left[{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\end{aligned}}}$

La eliminación de los desplazamientos en el plano conduce a

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{Eh}}\left[2(1+\nu ){\frac {\partial ^{2}N_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}N_{22}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}N_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}N_{11}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}N_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}\right]=\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{22}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{12}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1+\nu )}}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,.\end{aligned}}}$

Las soluciones son más fáciles de encontrar cuando las ecuaciones gobernantes se expresan en términos de resultantes de tensión en lugar de tensiones en el plano.

Ecuaciones de equilibrio

La forma débil de la placa de Kirchhoff es

${\displaystyle \int _{\Omega }\int _{-h/2}^{h/2}\rho {\ddot {u}}_{i}\delta u_{i}\,d\Omega dx_{3}+\int _{\Omega }\int _{-h/2}^{h/2}\sigma _{ij}\delta E_{ij}\,d\Omega dx_{3}+\int _{\Omega }\int _{-h/2}^{h/2}p_{i}\delta u_{i}\,d\Omega dx_{3}=0}$

Aquí Ω denota el plano medio. La forma débil conduce a

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }\rho h{\ddot {v}}_{1}\delta v_{1}\,d\Omega &+\int _{\Omega }N_{11}{\frac {\partial \delta v_{1}}{\partial x_{1}}}+N_{12}{\frac {\partial \delta v_{1}}{\partial x_{2}}}\,d\Omega =-\int _{\Omega }p_{1}\delta v_{1}\,d\Omega \\\int _{\Omega }\rho h{\ddot {v}}_{2}\delta v_{2}\,d\Omega &+\int _{\Omega }N_{22}{\frac {\partial \delta v_{2}}{\partial x_{2}}}+N_{12}{\frac {\partial \delta v_{2}}{\partial x_{1}}}\,d\Omega =-\int _{\Omega }p_{2}\delta v_{2}\,d\Omega \\\int _{\Omega }\rho h{\ddot {w}}\delta w\,d\Omega &+\int _{\Omega }N_{11}{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial \delta w}{\partial x_{1}}}-M_{11}{\frac {\partial ^{2}\delta w}{\partial ^{2}x_{1}}}\,d\Omega \\&+\int _{\Omega }N_{22}{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial \delta w}{\partial x_{2}}}-M_{22}{\frac {\partial ^{2}\delta w}{\partial ^{2}x_{2}}}\,d\Omega \\&+\int _{\Omega }N_{12}\left({\frac {\partial \delta w}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial \delta w}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial \delta w}{\partial x_{2}}}\right)-2M_{12}{\frac {\partial ^{2}\delta w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,d\Omega =-\int _{\Omega }p_{3}\delta w\,d\Omega \\\end{aligned}}}$

Las ecuaciones de gobierno resultantes son

${\displaystyle {\begin{aligned}&\rho h{\ddot {w}}-{\frac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(N_{11}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{22}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)=-p_{3}\\&\rho h{\ddot {v}}_{1}-{\frac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial N_{12}}{\partial x_{2}}}=-p_{1}\\&\rho h{\ddot {v}}_{2}-{\frac {\partial N_{21}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=-p_{2}\,.\end{aligned}}}$

Ecuaciones de Föppl-von Kármán en términos de tensiones resultantes

Las ecuaciones de Föppl–von Kármán se derivan típicamente con un enfoque energético considerando variaciones de energía interna y el trabajo virtual realizado por fuerzas externas. Las ecuaciones de gobierno estáticas resultantes (ecuaciones de equilibrio) son

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(N_{11}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{22}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)=P\\&{\frac {\partial N_{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\,.\end{aligned}}}$

Cuando las deflexiones son pequeñas en comparación con las dimensiones generales de la placa y se descuidan las deformaciones de la superficie media,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\approx 0,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\approx 0,v_{1}\approx 0,v_{2}\approx 0\end{aligned}}}$.

Las ecuaciones de equilibrio se reducen ( flexión pura de placas delgadas) a

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}=P}$.

Referencias

1. Föppl, A., "Vorlesungen über technische Mechanik", BG Teubner , Bd. 5., pág. 132, Leipzig, Alemania (1907)
2. von Kármán, T., "Festigkeitsproblem im Maschinenbau", Encyk. D. Matemáticas. Wiss. IV , 311–385 (1910)
3. Cerda, E.; Mahadevan, L. (19 de febrero de 2003). "Geometría y física de las arrugas". Physical Review Letters . 90 (7). American Physical Society (APS): 074302. Bibcode :2003PhRvL..90g4302C. doi :10.1103/physrevlett.90.074302. hdl : 10533/174540 . ISSN  0031-9007. PMID  12633231.
4. David Harris (11 de febrero de 2011). "Focus: Simplifying Crumpled Paper". Physical Review Focus . Vol. 27 . Consultado el 4 de febrero de 2020 .
5. "Teoría de la elasticidad". LD Landau, EM Lifshitz, (3.ª ed. ISBN 0-7506-2633-X ) 
6. laplaciano bidimensional , Δ , se define como ${\displaystyle \Delta w:={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha }}}={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}}$
7. Ecuaciones de placas de von Karman http://imechanica.org/node/6618 Consultado el martes 30 de julio de 2013 a las 14:20.
8. Ciarlet, PG (1990), Placas y uniones en multiestructuras elásticas , Springer-Verlag.
9. Ciarlet, Philippe G. (1980), "Una justificación de las ecuaciones de von Kármán", Archivo de mecánica racional y análisis , 73 (4): 349–389, Bibcode :1980ArRMA..73..349C, doi :10.1007/BF00247674, S2CID  120433309
10. Ciarlet, Philippe G. (1980), "Una justificación de las ecuaciones de von Kármán", Archivo de mecánica racional y análisis , 73 (4): 349–389, Bibcode :1980ArRMA..73..349C, doi :10.1007/BF00247674, S2CID  120433309
11. Normalmente, en este punto se supone que la tensión fuera del plano es cero .

Véase también

• Teoría de placas