Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Métrica basada en la solución exacta de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein

La métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker ( FLRW ; / ˈf r iː d m ə n l ə ˈ m ɛ t r ə ...  /   ) es una métrica basada en una solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general . La métrica describe un universo homogéneo , isótropo , en expansión (o de otro modo, en contracción) que está conexo por trayectorias , pero no necesariamente simplemente conexo . ^{[1] [2] [3]} La forma general de la métrica se desprende de las propiedades geométricas de homogeneidad e isotropía; las ecuaciones de campo de Einstein solo son necesarias para derivar el factor de escala del universo como una función del tiempo. Dependiendo de las preferencias geográficas o históricas, el conjunto de los cuatro científicos – Alexander Friedmann , Georges Lemaître , Howard P. Robertson y Arthur Geoffrey Walker – se agrupan de diversas formas como Friedmann , Friedmann–Robertson–Walker ( FRW ), Robertson–Walker ( RW ), o Friedmann–Lemaître ( FL ). Este modelo a veces se denomina el Modelo Estándar de la cosmología moderna , ^[4] aunque tal descripción también se asocia con el modelo Lambda-CDM más desarrollado . El modelo FLRW fue desarrollado independientemente por los autores nombrados en los años 1920 y 1930.

Métrica general

La métrica FLRW parte del supuesto de homogeneidad e isotropía del espacio. También supone que el componente espacial de la métrica puede depender del tiempo. La métrica genérica que cumple estas condiciones es

${\displaystyle -c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2},}$

donde se extiende sobre un espacio tridimensional de curvatura uniforme, es decir, espacio elíptico , espacio euclidiano o espacio hiperbólico . Normalmente se escribe como una función de tres coordenadas espaciales, pero existen varias convenciones para hacerlo, que se detallan a continuación. no depende de t – toda la dependencia temporal está en la función a ( t ), conocida como el " factor de escala ". ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$

Coordenadas polares de circunferencia reducida

En coordenadas polares de circunferencia reducida la métrica espacial tiene la forma ^{[5] [6]}

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{where }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.}$

k es una constante que representa la curvatura del espacio. Existen dos convenciones de unidades comunes:

• k puede tomarse como si tuviera unidades de longitud ⁻² , en cuyo caso r tiene unidades de longitud y a ( t ) no tiene unidades. k es entonces la curvatura gaussiana del espacio en el momento en que a ( t ) = 1 . r a veces se denomina circunferencia reducida porque es igual a la circunferencia medida de un círculo (en ese valor de r ), centrado en el origen, dividido por 2 π (como el r de las coordenadas de Schwarzschild ). Cuando corresponde, a ( t ) a menudo se elige como igual a 1 en la era cosmológica actual, de modo que mide la distancia comóvil . ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• Alternativamente, se puede considerar que k pertenece al conjunto {−1, 0, +1} (para curvatura negativa, cero y positiva respectivamente). Entonces r no tiene unidades y a ( t ) tiene unidades de longitud. Cuando k = ±1 , a ( t ) es el radio de curvatura del espacio, y también se puede escribir R ( t ).

Una desventaja de las coordenadas de circunferencia reducida es que cubren solo la mitad de la esfera tridimensional en el caso de una curvatura positiva; las circunferencias más allá de ese punto comienzan a disminuir, lo que lleva a la degeneración. (Esto no es un problema si el espacio es elíptico , es decir, una esfera tridimensional con puntos opuestos identificados).

Coordenadas hiperesféricas

En coordenadas hiperesféricas o normalizadas por curvatura , la coordenada r es proporcional a la distancia radial; esto da

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} r^{2}+S_{k}(r)^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}}$

donde esta como antes y ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Omega } }$

${\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin(r{\sqrt {k}}),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh(r{\sqrt {|k|}}),&k<0.\end{cases}}}$

Como antes, hay dos convenciones de unidades comunes:

• Se puede tomar k como si tuviera unidades de longitud ⁻² , en cuyo caso r tiene unidades de longitud y a ( t ) no tiene unidades. k es entonces la curvatura gaussiana del espacio en el momento en que a ( t ) = 1 . Cuando corresponde, a ( t ) se elige a menudo como igual a 1 en la era cosmológica actual, de modo que mide la distancia comóvil . ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• Como alternativa, como antes, se puede considerar que k pertenece al conjunto {−1, 0, +1} (para curvatura negativa, cero y positiva respectivamente). Entonces r no tiene unidades y a ( t ) tiene unidades de longitud. Cuando k = ±1 , a ( t ) es el radio de curvatura del espacio, y también se puede escribir R ( t ). Nótese que cuando k = +1 , r es esencialmente un tercer ángulo junto con θ y φ . Se puede utilizar la letra χ en lugar de  r .

Aunque normalmente se define por partes como se indicó anteriormente, S es una función analítica tanto de k como  de r . También se puede escribir como una serie de potencias .

${\displaystyle S_{k}(r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{n}r^{2n+1}}{(2n+1)!}}=r-{\frac {kr^{3}}{6}}+{\frac {k^{2}r^{5}}{120}}-\cdots }$

o como

${\displaystyle S_{k}(r)=r\;\mathrm {sinc} \,(r{\sqrt {k}}),}$

donde sinc es la función sinc no normalizada y es una de las raíces cuadradas imaginarias, cero o reales de k . Estas definiciones son válidas para todos  los k . ${\displaystyle {\sqrt {k}}}$

Coordenadas cartesianas

Cuando k = 0 se puede escribir simplemente

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}$

Esto se puede ampliar a k ≠ 0 definiendo

${\displaystyle x=r\cos \theta \,,}$

${\displaystyle y=r\sin \theta \cos \phi \,}$, y

${\displaystyle z=r\sin \theta \sin \phi \,,}$

donde r es una de las coordenadas radiales definidas anteriormente, pero esto es poco común.

Curvatura

Coordenadas cartesianas

En el espacio FLRW plano que utiliza coordenadas cartesianas, los componentes supervivientes del tensor de Ricci son ^[7] ${\displaystyle (k=0)}$

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2})}$

y el escalar de Ricci es

${\displaystyle R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).}$

Coordenadas esféricas

En el espacio FLRW más general que utiliza coordenadas esféricas (llamadas "coordenadas polares de circunferencia reducida" anteriormente), los componentes supervivientes del tensor de Ricci son ^[8]

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},}$

${\displaystyle R_{rr}={\frac {c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k}{1-kr^{2}}}}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)\sin ^{2}(\theta )}$

y el escalar de Ricci es

${\displaystyle R={\frac {6}{c^{2}}}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}+{\frac {k}{a^{2}(t)}}\right).}$

Soluciones

Las ecuaciones de campo de Einstein no se utilizan para derivar la forma general de la métrica: se deduce de las propiedades geométricas de homogeneidad e isotropía. Sin embargo, para determinar la evolución temporal de sí se requieren las ecuaciones de campo de Einstein junto con una forma de calcular la densidad, como una ecuación de estado cosmológica . ${\displaystyle a(t)}$ ${\displaystyle \rho (t),}$

Esta métrica tiene una solución analítica para las ecuaciones de campo de Einstein, que dan lugar a las ecuaciones de Friedmann cuando se supone de manera similar que el tensor de energía-momento es isotrópico y homogéneo. Las ecuaciones resultantes son: ^[9] ${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {\kappa c^{4}}{3}}\rho }$

${\displaystyle 2{\frac {\ddot {a}}{a}}+\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-\kappa c^{2}p.}$

Estas ecuaciones son la base del modelo cosmológico estándar del Big Bang , incluido el modelo ΛCDM actual. ^[10] Debido a que el modelo FLRW supone homogeneidad, algunas teorías populares afirman erróneamente que el modelo del Big Bang no puede explicar la irregularidad observada del universo. En un modelo estrictamente FLRW, no hay cúmulos de galaxias o estrellas, ya que estos son objetos mucho más densos que una parte típica del universo. No obstante, el modelo FLRW se utiliza como una primera aproximación para la evolución del universo real y irregular porque es simple de calcular, y los modelos que calculan la irregularidad del universo se agregan a los modelos FLRW como extensiones. La mayoría de los cosmólogos coinciden en que el universo observable se aproxima bien mediante un modelo casi FLRW , es decir, un modelo que sigue la métrica FLRW aparte de las fluctuaciones de densidad primordiales . A partir de 2003 ^[update], las implicaciones teóricas de las diversas extensiones del modelo FLRW parecen entenderse bien, y el objetivo es hacerlas consistentes con las observaciones de COBE y WMAP .

Interpretación

El par de ecuaciones dado arriba es equivalente al siguiente par de ecuaciones

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {\kappa c^{4}}{6}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$

con , el índice de curvatura espacial, que sirve como constante de integración para la primera ecuación. ${\displaystyle k}$

La primera ecuación puede derivarse también de consideraciones termodinámicas y es equivalente a la primera ley de la termodinámica , asumiendo que la expansión del universo es un proceso adiabático (lo cual se supone implícitamente en la derivación de la métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker).

La segunda ecuación establece que tanto la densidad de energía como la presión hacen que la velocidad de expansión del universo disminuya, es decir, ambas provocan una desaceleración en la expansión del universo. Esto es una consecuencia de la gravitación , jugando la presión un papel similar al de la densidad de energía (o masa), según los principios de la relatividad general . La constante cosmológica , por su parte, provoca una aceleración en la expansión del universo. ${\displaystyle {\dot {a}}}$

Constante cosmológica

El término de constante cosmológica se puede omitir si hacemos las siguientes sustituciones

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{\kappa c^{2}}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda }{\kappa }}.}$

Por lo tanto, la constante cosmológica puede interpretarse como el origen de una forma de energía que tiene una presión negativa, igual en magnitud a su densidad de energía (positiva):

${\displaystyle p=-\rho c^{2}\,,}$

que es una ecuación de estado de vacío con energía oscura .

Un intento de generalizar esto a

${\displaystyle p=w\rho c^{2}}$

no tendría invariancia general sin modificaciones adicionales.

De hecho, para obtener un término que provoque una aceleración de la expansión del universo, basta tener un campo escalar que satisfaga

${\displaystyle p<-{\frac {\rho c^{2}}{3}}.}$

A este campo a veces se le llama quintaesencia .

Interpretación newtoniana

Esto se debe a McCrea y Milne, ^[11] aunque a veces se atribuye incorrectamente a Friedmann. Las ecuaciones de Friedmann son equivalentes a este par de ecuaciones:

${\displaystyle -a^{3}{\dot {\rho }}=3a^{2}{\dot {a}}\rho +{\frac {3a^{2}p{\dot {a}}}{c^{2}}}\,}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}}{2}}-{\frac {\kappa c^{4}a^{3}\rho }{6a}}=-{\frac {kc^{2}}{2}}\,.}$

La primera ecuación dice que la disminución de la masa contenida en un cubo fijo (cuyo lado es momentáneamente a ) es la cantidad que sale por los lados debido a la expansión del universo más la masa equivalente al trabajo realizado por la presión contra el material que se expulsa. Esta es la conservación de la masa-energía ( primera ley de la termodinámica ) contenida dentro de una parte del universo.

La segunda ecuación dice que la energía cinética (vista desde el origen) de una partícula de masa unitaria que se mueve con la expansión más su energía potencial gravitatoria (negativa) (relativa a la masa contenida en la esfera de materia más cercana al origen) es igual a una constante relacionada con la curvatura del universo. En otras palabras, la energía (relativa al origen) de una partícula que se mueve en caída libre se conserva. La relatividad general simplemente agrega una conexión entre la curvatura espacial del universo y la energía de dicha partícula: la energía total positiva implica una curvatura negativa y la energía total negativa implica una curvatura positiva.

Se supone que el término constante cosmológica se trata como energía oscura y, por lo tanto, se fusiona con los términos de densidad y presión.

Durante la época de Planck no se pueden descuidar los efectos cuánticos , ya que pueden provocar una desviación de las ecuaciones de Friedmann.

Nombre y historia

El matemático soviético Alexander Friedmann fue el primero en obtener los principales resultados del modelo FLRW en 1922 y 1924. ^{[12] [13]} Aunque la prestigiosa revista de física Zeitschrift für Physik publicó su trabajo, este pasó relativamente desapercibido para sus contemporáneos. Friedmann estaba en comunicación directa con Albert Einstein , quien, en nombre de Zeitschrift für Physik , actuó como árbitro científico del trabajo de Friedmann. Finalmente, Einstein reconoció la exactitud de los cálculos de Friedmann, pero no logró apreciar el significado físico de las predicciones de Friedmann.

Friedmann murió en 1925. En 1927, Georges Lemaître , un sacerdote belga, astrónomo y profesor periódico de física en la Universidad Católica de Lovaina , llegó de forma independiente a resultados similares a los de Friedmann y los publicó en los Annales de la Société Scientifique de Bruxelles (Anales de la Sociedad Científica de Bruselas). ^{[14] [15]} Ante la evidencia observacional de la expansión del universo obtenida por Edwin Hubble a finales de la década de 1920, los resultados de Lemaître fueron notados en particular por Arthur Eddington , y en 1930-31 el artículo de Lemaître fue traducido al inglés y publicado en Monthly Notices of the Royal Astronomical Society .

Howard P. Robertson de los EE. UU. y Arthur Geoffrey Walker del Reino Unido exploraron el problema más a fondo durante la década de 1930. ^{[16] [17] [18] [19]} En 1935, Robertson y Walker demostraron rigurosamente que la métrica FLRW es la única en un espacio-tiempo que es espacialmente homogénea e isótropa (como se señaló anteriormente, este es un resultado geométrico y no está vinculado específicamente a las ecuaciones de la relatividad general, que siempre fueron asumidas por Friedmann y Lemaître).

Esta solución, a menudo llamada métrica de Robertson-Walker ya que demostraron sus propiedades genéricas, es diferente de los modelos dinámicos "Friedmann-Lemaître" , que son soluciones específicas para a ( t ) que suponen que las únicas contribuciones a la energía de estrés son la materia fría ("polvo"), la radiación y una constante cosmológica.

El radio del universo de Einstein

El radio del universo de Einstein es el radio de curvatura del espacio del universo de Einstein , un modelo estático abandonado hace mucho tiempo que se suponía que representaba nuestro universo en forma idealizada.

${\displaystyle {\dot {a}}={\ddot {a}}=0}$

En la ecuación de Friedmann, el radio de curvatura del espacio de este universo (radio de Einstein) es ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle R_{\text{E}}=c/{\sqrt {4\pi G\rho }},}$

donde es la velocidad de la luz, es la constante de gravitación newtoniana y es la densidad del espacio de este universo. El valor numérico del radio de Einstein es del orden de 10 ¹⁰ años luz , o 10 mil millones de años luz. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$

Estado actual

Problema sin resolver en física :

¿Es el universo homogéneo e isótropo a escalas suficientemente grandes, como afirma el principio cosmológico y asumen todos los modelos que utilizan la métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker, incluida la versión actual de ΛCDM, o es el universo no homogéneo o anisotrópico? ^{[20] [21] [22]} ¿El dipolo CMB es puramente cinemático o indica una posible ruptura de la métrica FLRW? ^[20] Incluso si el principio cosmológico es correcto, ¿es válida la métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker en el universo tardío? ^{[20] [23]}

(más problemas sin resolver en física)

El modelo estándar actual de cosmología, el modelo Lambda-CDM , utiliza la métrica FLRW. Al combinar los datos de observación de algunos experimentos como WMAP y Planck con los resultados teóricos del teorema de Ehlers-Geren-Sachs y su generalización, ^[24] los astrofísicos ahora coinciden en que el universo primitivo es casi homogéneo e isótropo (cuando se promedia en una escala muy grande) y, por lo tanto, casi un espacio-tiempo FLRW. Dicho esto, los intentos de confirmar la interpretación puramente cinemática del dipolo del Fondo Cósmico de Microondas (CMB) a través de estudios de radiogalaxias ^[25] y cuásares ^[26] muestran desacuerdo en la magnitud. Tomadas al pie de la letra, estas observaciones están en desacuerdo con el Universo descrito por la métrica FLRW. Además, se puede argumentar que existe un valor máximo para la constante de Hubble dentro de una cosmología FLRW tolerado por las observaciones actuales, = ${\displaystyle H_{0}}$71 ± 1 km/s/Mpc , y dependiendo de cómo convergen las determinaciones locales, esto puede indicar un colapso de la métrica FLRW en el universo tardío, lo que requiere una explicación más allá de la métrica FLRW. ^{[27] [20]}

Referencias

1. Para una referencia temprana, véase Robertson (1935); Robertson supone una conectividad múltiple en el caso de curvatura positiva y dice que "todavía somos libres de restaurar" la conectividad simple.
2. Lachieze-Rey, M.; Luminet, J.-P. (1995). "Topología cósmica". Physics Reports . 254 (3): 135–214. arXiv : gr-qc/9605010 . Código Bibliográfico :1995PhR...254..135L. doi :10.1016/0370-1573(94)00085-H. S2CID  119500217.
3. Ellis, TFG; van Elst, H. (1999). "Modelos cosmológicos (conferencias Cargèse 1998)". En Marc Lachièze-Rey (ed.). Cosmología Teórica y Observacional . Serie Científica de la OTAN C. Vol. 541, págs. 1-116. arXiv : gr-qc/9812046 . Código Bib : 1999ASIC..541....1E. ISBN 978-0792359463.
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10. Sus soluciones se pueden encontrar en Rosu, Haret C.; Mancas, SC; Chen, Pisin (5 de mayo de 2015). "Cosmologías FRW barotrópicas con amortiguamiento de Chiellini en tiempo comóvil". Modern Physics Letters A . 30 (20): 1550100. arXiv : 1502.07033 . Bibcode :2015MPLA...3050100R. doi :10.1142/S021773231550100x. ISSN  0217-7323. S2CID  51948117.
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13. Friedmann, Alejandro (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativor Krümmung des Raumes". Zeitschrift für Physik A (en alemán). 21 (1): 326–332. Código bibliográfico : 1924ZPhy...21..326F. doi :10.1007/BF01328280. S2CID  120551579.Traducción al inglés en 'General Relativity and Gravitation' 1999 vol.31, 31–
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Lectura adicional

• North, John David (1990). La medida del universo: una historia de la cosmología moderna. Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66517-7.
• Harrison, ER (1967). "Clasificación de modelos cosmológicos uniformes". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 137 (1): 69–79. Bibcode :1967MNRAS.137...69H. doi : 10.1093/mnras/137.1.69 . ISSN  0035-8711.
• D'Inverno, Ray (1992). Introducción a la relatividad de Einstein (edición revisada). Oxford [Inglaterra] : Nueva York: Clarendon Press ; Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859686-8.( Véase el Capítulo 23 para una introducción especialmente clara y concisa a los modelos FLRW).