Ultrafiltro

Filtro adecuado máximo

Diagrama de Hasse de los divisores de 210, ordenados por la relación es divisor de , con el conjunto superior ↑14 de color verde oscuro. Es un filtro principal , pero no un ultrafiltro , ya que puede ampliarse al filtro no trivial ↑2 más grande, incluyendo también los elementos de color verde claro. Dado que ↑2 no se puede ampliar más, se trata de un ultrafiltro.

En el campo matemático de la teoría del orden , un ultrafiltro en un conjunto parcialmente ordenado (o "poset") dado es un subconjunto determinado de , es decir, un filtro máximo , es decir, un filtro adecuado que no se puede ampliar a un filtro adecuado más grande. ${\textstyle P}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P;}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle P.}$

Si es un conjunto arbitrario, su conjunto potencia ordenado por inclusión de conjuntos es siempre un álgebra booleana y, por lo tanto, un poset, y los ultrafiltros generalmente se denominan ultrafiltros en el conjunto . ^{[nota 1]} Un ultrafiltro en un conjunto puede considerarse como una medida finitamente aditiva con valor 0-1 en . Desde este punto de vista, cada subconjunto de se considera " casi todo " (tiene medida 1) o "casi nada" (tiene medida 0), dependiendo de si pertenece al ultrafiltro dado o no. ^{[1] : §4} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$

Los ultrafiltros tienen muchas aplicaciones en teoría de conjuntos, teoría de modelos , topología ^{[2] : 186} y combinatoria. ^[3]

Ultrafiltros en pedidos parciales

En teoría del orden , un ultrafiltro es un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado que es máximo entre todos los filtros adecuados . Esto implica que cualquier filtro que contenga adecuadamente un ultrafiltro debe ser igual al conjunto completo.

Formalmente, si es un conjunto, parcialmente ordenado para entonces ${\textstyle P}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

• un subconjunto se llama filtro si ${\displaystyle F\subseteq P}$ ${\textstyle P}$
  • ${\displaystyle F}$no está vacío,
  • para cada existe algún elemento tal que y y ${\displaystyle x,y\in F,}$ ${\displaystyle z\in F}$ ${\displaystyle z\leq x}$ ${\displaystyle z\leq y,}$
  • para cada e implica que también está dentro ; ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle y\in P,}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$
• un subconjunto adecuado de se llama ultrafiltro si ${\displaystyle U}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle P}$
  • ${\displaystyle U}$hay un filtro encendido y ${\displaystyle P,}$
  • no existe un filtro adecuado que se extienda adecuadamente (es decir, que sea un subconjunto adecuado de ). ${\displaystyle F}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F}$

.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}Tipos y existencia de ultrafiltros

Cada ultrafiltro se clasifica exactamente en una de dos categorías: principal o gratuito. Un ultrafiltro principal (o fijo , o trivial ) es un filtro que contiene un elemento mínimo . En consecuencia, cada ultrafiltro principal tiene la forma de algún elemento del conjunto dado. En este caso se denomina elemento principal del ultrafiltro. Cualquier ultrafiltro que no sea principal se denomina ultrafiltro libre (o no principal ). Para arbitrario , el conjunto es un filtro, llamado filtro principal en ; es un ultrafiltro principal sólo si es máximo. ${\displaystyle F_{p}=\{x:p\leq x\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F_{p}}$ ${\displaystyle p}$

Para los ultrafiltros en un conjunto de potencia, un ultrafiltro principal consta de todos los subconjuntos que contienen un elemento determinado. Cada ultrafiltro que también es un filtro principal tiene esta forma. ^{[2] : 187} Por lo tanto, un ultrafiltro es principal si y sólo si contiene un conjunto finito. ^{[nota 2]} Si es infinito, un ultrafiltro en es, por tanto, no principal si y solo si contiene el filtro de Fréchet de subconjuntos cofinitos de ^{[nota 3] [4] : ​​Proposición 3} Si es finito, todo ultrafiltro es principal. ^{[2] : 187} Si es infinito entonces el filtro de Fréchet no es un ultrafiltro en el conjunto de potencias de pero sí es un ultrafiltro en el álgebra finito-cofinito de ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Cada filtro en un álgebra booleana (o más generalmente, cualquier subconjunto con la propiedad de intersección finita ) está contenido en un ultrafiltro (ver lema del ultrafiltro ) y, por lo tanto, existen ultrafiltros libres, pero las pruebas involucran el axioma de elección ( AC ) en la forma del lema de Zorn . Por otro lado, la afirmación de que todo filtro está contenido en un ultrafiltro no implica CA. De hecho, es equivalente al teorema del ideal primo booleano ( BPIT ), un conocido punto intermedio entre los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ( ZF ) y la teoría ZF aumentada por el axioma de elección ( ZFC ). En general, las pruebas que involucran el axioma de elección no producen ejemplos explícitos de ultrafiltros libres, aunque es posible encontrar ejemplos explícitos en algunos modelos de ZFC ; por ejemplo, Gödel demostró que esto se puede hacer en el universo construible donde se puede escribir una función de elección global explícita. En ZF sin el axioma de elección, es posible que todo ultrafiltro sea principal. ^[5]

Ultrafiltro en un álgebra booleana

Un caso especial importante del concepto ocurre si el poset considerado es un álgebra booleana . En este caso, los ultrafiltros se caracterizan por contener, para cada elemento del álgebra booleana, exactamente uno de los elementos y (siendo este último el complemento booleano de ): ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lnot x}$ ${\displaystyle x}$

Si es un álgebra booleana y es un filtro adecuado, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\textstyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P,}$

1. ${\displaystyle F}$es un ultrafiltro en ${\displaystyle P,}$
2. ${\displaystyle F}$es un filtro principal en ${\displaystyle P,}$
3. para cada uno o ( ) ^{[2] : 186} ${\displaystyle x\in P,}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle \lnot x}$ ${\displaystyle \in F.}$

También se proporciona una prueba de que 1. y 2. son equivalentes en (Burris, Sankappanavar, 2012, Corolario 3.13, p.133). ^[6]

Además, los ultrafiltros en un álgebra booleana se pueden relacionar con ideales máximos y homomorfismos con el álgebra booleana de 2 elementos {verdadero, falso} (también conocido como morfismos de 2 valores ) de la siguiente manera:

• Dado un homomorfismo de un álgebra booleana sobre {verdadero, falso}, la imagen inversa de "verdadero" es un ultrafiltro y la imagen inversa de "falso" es un ideal máximo.
• Dado un ideal máximo de un álgebra booleana, su complemento es un ultrafiltro y existe un homomorfismo único en {verdadero, falso} que lleva el ideal máximo a "falso".
• Dado un ultrafiltro en un álgebra booleana, su complemento es un ideal máximo y existe un homomorfismo único en {verdadero, falso} que lleva el ultrafiltro a "verdadero". ^{[ cita necesaria ]}

Ultrafiltro en el conjunto de potencia de un conjunto.

Dado un conjunto arbitrario, su conjunto de potencias ordenado por inclusión de conjuntos es siempre un álgebra booleana; por lo tanto, se aplican los resultados de la sección anterior. Un (ultra)filtro activado a menudo se denomina simplemente "(ultra)filtro activado ". ^{[nota 1]} Dado un conjunto arbitrario, un ultrafiltro es un conjunto que consta de subconjuntos de tales que: ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$

1. El conjunto vacío no es un elemento de . ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$
2. Si es un elemento de entonces también lo es cada superconjunto . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle B\supset A}$
3. Si y son elementos de entonces también lo es la intersección . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle A\cap B}$
4. Si es un subconjunto de entonces ^{[nota 4]} o su complemento es un elemento de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

De manera equivalente, una familia de subconjuntos de es un ultrafiltro si y solo si para cualquier colección finita de subconjuntos de , hay alguno tal que donde esté el ultrafiltro principal sembrado por . En otras palabras, un ultrafiltro puede verse como una familia de conjuntos que "localmente" se parecen a un ultrafiltro principal. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {F}}=F_{x}\cap {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{x}=\{Y\subseteq X:x\in Y\}}$ ${\displaystyle x}$

Una forma equivalente de un dado es un morfismo de 2 valores , una función definida como si fuera un elemento de y de otra manera. Entonces es finitamente aditivo y, por tanto, el contenido y cada propiedad de los elementos de es verdadero en casi todas partes o falso en casi todas partes. Sin embargo, normalmente no es contablemente aditivo y, por tanto, no define una medida en el sentido habitual. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle m(A)=1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle m(A)=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$

Para un filtro que no es un ultrafiltro, se puede definir si se deja sin definir en otro lugar. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle m(A)=1}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle m(A)=0}$ ${\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle m}$

Aplicaciones

Los ultrafiltros en conjuntos de potencias son útiles en topología , especialmente en relación con espacios compactos de Hausdorff , y en teoría de modelos en la construcción de ultraproductos y ultrapotencias . Cada ultrafiltro en un espacio compacto de Hausdorff converge exactamente en un punto. Asimismo, los ultrafiltros de las álgebras booleanas desempeñan un papel central en el teorema de representación de Stone . En teoría de conjuntos, los ultrafiltros se utilizan para mostrar que el axioma de constructibilidad es incompatible con la existencia de un cardinal κ mensurable . Esto se demuestra tomando la ultrapotencia del universo teórico establecido módulo como un ultrafiltro no principal κ -completo. ^[7]

El conjunto de todos los ultrafiltros de un poset puede topogizarse de forma natural, lo que de hecho está estrechamente relacionado con el teorema de representación mencionado anteriormente. Para cualquier elemento de , let Esto es más útil cuando nuevamente es un álgebra booleana, ya que en esta situación el conjunto de all es una base para una topología compacta de Hausdorff en . Especialmente, cuando se consideran los ultrafiltros en un conjunto de potencias , el espacio topológico resultante es la compactación de Stone-Čech de un espacio discreto de cardinalidad. ${\displaystyle G}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle D_{x}=\left\{U\in G:x\in U\right\}.}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle |S|.}$

La construcción de ultraproductos en la teoría de modelos utiliza ultrafiltros para producir un nuevo modelo a partir de una secuencia de modelos indexados; por ejemplo, el teorema de la compacidad se puede demostrar de esta manera. En el caso especial de las ultrapotencias, se obtienen ampliaciones elementales de las estructuras. Por ejemplo, en un análisis no estándar , los números hiperreales pueden construirse como un ultraproducto de los números reales , extendiendo el dominio del discurso desde los números reales a secuencias de números reales. Este espacio de secuencia se considera como un superconjunto de los reales identificando cada real con la secuencia constante correspondiente. Para extender las funciones y relaciones familiares (por ejemplo, + y <) de los reales a los hiperreales, la idea natural es definirlas puntualmente. Pero esto perdería importantes propiedades lógicas de los reales; por ejemplo, puntualmente < no es un orden total. Entonces, en cambio, las funciones y relaciones se definen como " módulo puntual " , donde hay un ultrafiltro en el conjunto de índices de las secuencias; según el teorema de Łoś , esto preserva todas las propiedades de los reales que pueden enunciarse en lógica de primer orden . Si no es principal, entonces la extensión así obtenida no es trivial. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

En teoría geométrica de grupos , se utilizan ultrafiltros no principales para definir el cono asintótico de un grupo. Esta construcción produce una manera rigurosa de considerar mirar el grupo desde el infinito , es decir, la geometría a gran escala del grupo. Los conos asintóticos son ejemplos particulares de ultralímites de espacios métricos .

La prueba ontológica de Gödel de la existencia de Dios utiliza como axioma que el conjunto de todas las "propiedades positivas" es un ultrafiltro.

En la teoría de la elección social , los ultrafiltros no principales se utilizan para definir una regla (llamada función de bienestar social ) para agregar las preferencias de una infinidad de individuos. Contrariamente al teorema de imposibilidad de Arrow para un número finito de individuos, dicha regla satisface las condiciones (propiedades) que propone Arrow (por ejemplo, Kirman y Sondermann, 1972). ^[8] Mihara (1997, ^[9] 1999) ^[10] muestra, sin embargo, que tales reglas son prácticamente de interés limitado para los científicos sociales, ya que no son algorítmicas ni computables.

Ver también

• Filtro (matemáticas)  : en matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado
• Filtro (teoría de conjuntos)  : familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• El lema del ultrafiltro  : filtro adecuado máximoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Red universal  : una generalización de una secuencia de puntos.Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Notas

1. Si también está parcialmente ordenado, se necesita especial cuidado para comprender a partir del contexto si se trata de un (ultra)filtro activado o un (ultra)filtro simplemente activado ; Ambos tipos de (ultra)filtros son bastante diferentes. Algunos autores ^{[ cita necesaria ]} utilizan "(ultra)filtro de un conjunto ordenado parcial" frente a " en un conjunto arbitrario"; es decir, escriben "(ultra)filtro de " para abreviar "(ultra)filtro de ". ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$
2. Para ver la dirección "si": Si entonces por la caracterización Nr.7 de Ultrafilter (teoría de conjuntos) #Caracterizaciones . Es decir, algo es el elemento principal de ${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\in U,}$ ${\displaystyle \left\{x_{1}\right\}\in U,{\text{ or }}\ldots {\text{ or }}\left\{x_{n}\right\}\in U,}$ ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}}$ ${\displaystyle U.}$
3. no es principal si y solo si no contiene ningún conjunto finito, es decir, (según el número 3 del teorema de caracterización anterior) si y solo si contiene todos los conjuntos cofinitos, es decir, todos los miembros del filtro de Fréchet. ${\displaystyle U}$
4. Las propiedades 1 y 3 implican eso y no pueden ser ambas elementos de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle U.}$

Referencias

1. Alex Kruckman (7 de noviembre de 2012). "Notas sobre ultrafiltros" (PDF) . Seminario Berkeley Math Toolbox.
2. Davey, licenciado en Letras; Priestley, HA (1990). Introducción a las celosías y al orden . Libros de texto de matemáticas de Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge.
3. Trae oro, Isaac (2021). "Métodos de ultrafiltro en combinatoria". Instantáneas de las matemáticas modernas de Oberwolfach . Marta Maggioni, Sophia Jahns. doi :10.14760/SNAP-2021-006-ES.
4. "Ultrafiltros y cómo utilizarlos", Burak Kaya, notas de clase, Nesin Mathematics Village, verano de 2019.
5. Halbeisen, LJ (2012). Teoría combinatoria de conjuntos . Monografías de Springer en Matemáticas. Saltador.
6. Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
7. Kanamori, El infinito superior, pag. 49.
8. Kirman, A.; Sondermann, D. (1972). "El teorema de Arrow, muchos agentes y dictadores invisibles". Revista de teoría económica . 5 (2): 267–277. doi :10.1016/0022-0531(72)90106-8.
9. Mihara, recursos humanos (1997). "Teorema de Arrow y computabilidad de Turing" (PDF) . Teoría económica . 10 (2): 257–276. CiteSeerX 10.1.1.200.520 . doi :10.1007/s001990050157. S2CID  15398169Reimpreso en KV Velupillai, S. Zambelli y S. Kinsella, ed., Computable Economics, Biblioteca Internacional de Escritos Críticos de Economía, Edward Elgar, 2011. {{cite journal}}: Mantenimiento CS1: posdata ( enlace )
10. Mihara, recursos humanos (1999). "El teorema de Arrow, muchos agentes y dictadores invisibles más visibles". Revista de Economía Matemática . 32 (3): 267–277. CiteSeerX 10.1.1.199.1970 . doi :10.1016/S0304-4068(98)00061-5. 

Bibliografía

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• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
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Otras lecturas

• Comodidad, WW (1977). "Ultrafiltros: algunos resultados antiguos y otros nuevos". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 83 (4): 417–455. doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN  0002-9904. SEÑOR  0454893.
• Comodidad, WW; Negrepontis, S. (1974), La teoría de los ultrafiltros , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0396267
• Ultrafiltro en el n Lab
• "Lógica matemática 15, el teorema del ultrafiltro" en YouTube