cofinititud

Ser un subconjunto cuyo complemento es un conjunto finito

En matemáticas , un subconjunto cofinito de un conjunto es un subconjunto cuyo complemento en es un conjunto finito . En otras palabras, contiene todos menos un número finito de elementos de Si el complemento no es finito, pero es contable, entonces se dice que el conjunto es contable . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Estos surgen naturalmente al generalizar estructuras de conjuntos finitos a conjuntos infinitos, particularmente en productos infinitos, como en la topología del producto o suma directa.

Este uso del prefijo " co " para describir una propiedad que posee el complemento de un conjunto es coherente con su uso en otros términos como " com conjunto magro ".

álgebras booleanas

El conjunto de todos los subconjuntos de que son finitos o cofinitos forma un álgebra booleana , lo que significa que está cerrado bajo las operaciones de unión , intersección y complementación. Esta álgebra booleana es la ${\displaystyle X}$álgebra finita-cofinita en ${\displaystyle X.}$

En la otra dirección, un álgebra booleana tiene un ultrafiltro no principal único (es decir, un filtro máximo no generado por un solo elemento del álgebra) si y sólo si existe un conjunto infinito tal que sea isomorfo al finito-cofinito. álgebra en En este caso, el ultrafiltro no principal es el conjunto de todos los subconjuntos cofinitos de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Topología cofinita

La topología cofinita (a veces llamada topología de complemento finito ) es una topología que se puede definir en cada conjunto. Tiene precisamente el conjunto vacío y todos los subconjuntos cofinitos como conjuntos abiertos. Como consecuencia, en la topología cofinita, los únicos subconjuntos cerrados son los conjuntos finitos, o la totalidad de Simbólicamente, se escribe la topología como ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}.}$$

Esta topología ocurre naturalmente en el contexto de la topología de Zariski . Dado que los polinomios en una variable sobre un campo son cero en conjuntos finitos, o la totalidad de la topología de Zariski (considerada como línea afín ) es la topología cofinita. Lo mismo ocurre con cualquier curva algebraica irreducible ; no es cierto, por ejemplo, en el avión. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle XY=0}$

Propiedades

• Subespacios: cada topología subespacial de la topología cofinita es también una topología cofinita.
• Compacidad: dado que todo conjunto abierto contiene todos los puntos del espacio, excepto un número finito, es compacto y secuencialmente compacto . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
• Separación: La topología cofinita es la topología más burda que satisface el axioma T 1 ; es decir, es la topología más pequeña para la cual cada conjunto singleton está cerrado. De hecho, una topología arbitraria satisface el axioma T ₁ si y sólo si contiene la topología cofinita. Si es finita, entonces la topología cofinita es simplemente la topología discreta . Si no es finita, entonces esta topología no es Hausdorff (T 2 ) , regular o normal porque no hay dos conjuntos abiertos no vacíos que sean disjuntos (es decir, que estén hiperconectados ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Topología cofinita de doble punta

La topología cofinita de doble punta es la topología cofinita con cada punto duplicado; es decir, es el producto topológico de la topología cofinita con la topología indiscreta en un conjunto de dos elementos. No es T 0 o T 1 , ya que los puntos de cada doblete son topológicamente indistinguibles . Sin embargo, es R 0 ya que los puntos topológicamente distinguibles están separados . El espacio es compacto como producto de dos espacios compactos; alternativamente, es compacto porque cada conjunto abierto no vacío contiene todos los puntos excepto un número finito.

Para un ejemplo de topología cofinita de doble punta contable, al conjunto de números enteros se le puede dar una topología tal que cada número par sea topológicamente indistinguible del siguiente número impar . Los conjuntos cerrados son las uniones de un número finito de pares o del conjunto completo. Los conjuntos abiertos son los complementos de los conjuntos cerrados; es decir, cada conjunto abierto consta de todos menos un número finito de pares o es el conjunto vacío. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle 2n,2n+1,}$ ${\displaystyle 2n,2n+1,}$

Otros ejemplos

Topología del producto

La topología del producto sobre un producto de espacios topológicos tiene bases abiertas y cofinitas. ${\displaystyle \prod X_{i}}$ ${\displaystyle \prod U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}=X_{i}.}$

La topología de caja es la análoga que no requiere que un número infinito de factores ocupen todo el espacio .

Suma directa

Los elementos de la suma directa de módulos son secuencias donde infinitamente muchos ${\displaystyle \bigoplus M_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=0.}$

El análogo sin requerir que un número infinito de sumandos sean cero es el producto directo .

Ver también

• Filtro Fréchet  – filtro FrechetPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Lista de topologías  - Lista de topologías concretas y espacios topológicos

Referencias

• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, señor  0507446 (Ver ejemplo 18)