Indistinguibilidad topológica

En topología , dos puntos de un espacio topológico X son topológicamente indistinguibles si tienen exactamente las mismas vecindades . Es decir, si x e y son puntos en X , y N _x es el conjunto de todas las vecindades que contienen x , y N _y es el conjunto de todas las vecindades que contienen y , entonces x e y son "topológicamente indistinguibles" si y sólo si N _x = N _y . (Ver los sistemas de vecindad axiomáticos de Hausdorff ).

Intuitivamente, dos puntos son topológicamente indistinguibles si la topología de X no puede discernir entre los puntos.

Dos puntos de X son topológicamente distinguibles si no son topológicamente indistinguibles. Esto significa que hay un conjunto abierto que contiene precisamente uno de los dos puntos (de manera equivalente, hay un conjunto cerrado que contiene precisamente uno de los dos puntos). Este conjunto abierto se puede utilizar para distinguir entre los dos puntos. Un espacio T 0 es un espacio topológico en el que cada par de puntos distintos es topológicamente distinguible. Este es el más débil de los axiomas de separación .

La indistinguibilidad topológica define una relación de equivalencia en cualquier espacio topológico X . Si xey son puntos de X escribimos x ≡ y para " xey son topológicamente indistinguibles" . La clase de equivalencia de x se denotará por [ x ].

Ejemplos

Para espacios T 0 (en particular, para espacios de Hausdorff ) la noción de indistinguibilidad topológica es trivial, por lo que hay que buscar espacios que no sean T ₀ para encontrar ejemplos interesantes. Por otro lado, regularidad y normalidad no implican T ₀ , por lo que podemos encontrar ejemplos con estas propiedades. De hecho, casi todos los ejemplos que se dan a continuación son completamente regulares .

En un espacio indiscreto , dos puntos cualesquiera son topológicamente indistinguibles.
En un espacio pseudométrico , dos puntos son topológicamente indistinguibles si y sólo si la distancia entre ellos es cero.
En un espacio vectorial seminormado , x ≡ y si y sólo si ‖ x − y ‖ = 0.
- Por ejemplo, sea L ² ( R ) el espacio de todas las funciones medibles de R a R que son integrables al cuadrado (ver espacio L p ). Entonces dos funciones f y g en L ² ( R ) son topológicamente indistinguibles si y sólo si son iguales en casi todas partes .
En un grupo topológico , x ≡ y si y sólo si x ⁻¹y ∈ cl{ e } donde cl{ e } es la clausura del subgrupo trivial . Las clases de equivalencia son solo las clases laterales de cl{ e } (que siempre es un subgrupo normal ).
Los espacios uniformes generalizan tanto espacios pseudométricos como grupos topológicos. En un espacio uniforme, x ≡ y si y sólo si el par ( x , y ) pertenece a cada séquito . La intersección de todos los entornos es una relación de equivalencia en X que es precisamente la de indistinguibilidad topológica.
Sea X la topología inicial con respecto a una familia de funciones . Entonces dos puntos xey en X serán topológicamente indistinguibles si la familia no los separa (es decir, para todos ) . $\{f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }\}$ $f_{\alpha }$ $f_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(y)$ $\alpha$
Dada cualquier relación de equivalencia en un conjunto X, existe una topología en X para la cual la noción de indistinguibilidad topológica concuerda con la relación de equivalencia dada. Simplemente se pueden tomar las clases de equivalencia como base para la topología. Esto se denomina topología de partición en X.

Reserva de especialización

La relación de indistinguibilidad topológica en un espacio X se puede recuperar a partir de un preorden natural en X llamado preorden de especialización . Para los puntos x e y en X, este preorden está definido por

x ≤ y si y sólo si x ∈ cl{ y }

donde cl{ y } denota el cierre de { y }. De manera equivalente, x ≤ y si el sistema de vecindad de x , denotado N _x , está contenido en el sistema de vecindad de y :

x ≤ y si y sólo si N _x ⊂ N _y .

Es fácil ver que esta relación en X es reflexiva y transitiva y por tanto define un preorden. Sin embargo, en general, este pedido anticipado no será antisimétrico . De hecho, la relación de equivalencia determinada por ≤ es precisamente la de indistinguibilidad topológica:

x ≡ y si y solo si x ≤ y y y ≤ x .

Se dice que un espacio topológico es simétrico (o R ₀ ) si el preorden de especialización es simétrico (es decir, x ≤ y implica y ≤ x ). En este caso, las relaciones ≤ y ≡ son idénticas. La indistinguibilidad topológica se comporta mejor en estos espacios y es más fácil de entender. Tenga en cuenta que esta clase de espacios incluye todos los espacios regulares y completamente regulares .

Propiedades

Condiciones equivalentes

Existen varias formas equivalentes de determinar cuándo dos puntos son topológicamente indistinguibles. Sea X un espacio topológico y sean x e y puntos de X. Denote los respectivos cierres de x e y por cl{ x } y cl{ y }, y los respectivos sistemas de vecindad por N _x y N _y . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

x≡y
para cada conjunto abierto U en X , U contiene tanto x como y o ninguno de ellos
norte _x = norte _y
x ∈ cl{ y } y y ∈ cl{ x }
cl{ x } = cl{ y }
x ∈ ∩ N _y y y ∈ ∩ N _x
∩ norte _x = ∩ norte _y
x ∈ cl{ y } y x ∈ ∩ N _y
x pertenece a todo conjunto abierto y a todo conjunto cerrado que contenga y
una red o filtro converge a x si y sólo si converge a y

Estas condiciones se pueden simplificar en el caso de que X sea un espacio simétrico . Para estos espacios (en particular, para espacios regulares ), las siguientes declaraciones son equivalentes:

x≡y
para cada conjunto abierto U , si x ∈ U entonces y ∈ U
norte _x ⊂ norte _y
x ∈ cl{ y }
x ∈ ∩ norte _y
x pertenece a todo conjunto cerrado que contiene y
x pertenece a todo conjunto abierto que contenga y
toda red o filtro que converge a x converge a y

Clases de equivalencia

Para discutir la clase de equivalencia de x , es conveniente definir primero los conjuntos superior e inferior de x . Ambos se definen con respecto al pedido anticipado de especialización discutido anteriormente.

El conjunto inferior de x es solo el cierre de { x }:

\mathop {\downarrow } x=\{y\in X:y\leq x\}={\textrm {cl}}\{x\}

mientras que el conjunto superior de x es la intersección del sistema de vecindad en x :

\mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}.

La clase de equivalencia de x viene dada entonces por la intersección

[x]={\mathop {\downarrow } x}\cap {\mathop {\uparrow } x}.

Dado que ↓ x es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen x y ↑ x es la intersección de todos los conjuntos abiertos que contienen x , la clase de equivalencia [ x ] es la intersección de todos los conjuntos abiertos y cerrados que contienen x .

Tanto cl{ x } como ∩ N _x contendrán la clase de equivalencia [ x ]. En general, ambos conjuntos también contendrán puntos adicionales. Sin embargo, en espacios simétricos (en particular, en espacios regulares ), los tres conjuntos coinciden:

[x]={\textrm {cl}}\{x\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}.

En general, las clases de equivalencia [ x ] serán cerradas si y sólo si el espacio es simétrico.

Funciones continuas

Sea f : X → Y una función continua . Entonces para cualquier x e y en X

x ≡ y implica f ( x ) ≡ f ( y ).

Lo contrario es generalmente falso (hay cocientes de espacios T ₀ que son triviales ). Lo contrario se mantendrá si X tiene la topología inicial inducida por f . De manera más general, si X tiene la topología inicial inducida por una familia de mapas , entonces $f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }$

x ≡ y si y sólo si f _α ( x ) ≡ f _α ( y ) para todo α.

De ello se deduce que dos elementos en un espacio de producto son topológicamente indistinguibles si y sólo si cada uno de sus componentes es topológicamente indistinguible.

cociente de Kolmogorov

Dado que la indistinguibilidad topológica es una relación de equivalencia en cualquier espacio topológico X , podemos formar el espacio cociente KX = X /≡. El espacio KX se llama cociente de Kolmogorov o identificación T ₀ de X. El espacio KX es, de hecho, T ₀ (es decir, todos los puntos son topológicamente distinguibles). Además, por la propiedad característica del mapa cociente, cualquier mapa continuo f : X → Y desde X a un espacio T ₀ se factoriza a través del mapa cociente q : X → KX .

Aunque el mapa de cociente q generalmente no es un homeomorfismo (ya que generalmente no es inyectivo ), sí induce una biyección entre la topología de X y la topología de KX . Intuitivamente, el cociente de Kolmogorov no altera la topología de un espacio. Simplemente reduce el conjunto de puntos hasta que los puntos se vuelven topológicamente distinguibles.

Ver también

Espacio de Hausdorff - Tipo de espacio topológico
Espacio localmente Hausdorff
Axioma de separación : axiomas en topología que definen nociones de "separación"
Reserva de especialización – tema en topología
Espacio T ₀ – Concepto en topología