ultralímite

En matemáticas , un ultralímite es una construcción geométrica que asigna un espacio métrico límite a una secuencia de espacios métricos . El concepto captura el comportamiento limitante de configuraciones finitas en los espacios empleando un ultrafiltro para evitar la necesidad de una consideración repetida de subsecuencias para garantizar la convergencia. Los ultralímites generalizan la convergencia de Gromov-Hausdorff en espacios métricos. ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

Ultrafiltros

Un ultrafiltro , denotado como ω , en el conjunto de números naturales es un conjunto de subconjuntos no vacíos de (cuya función de inclusión puede considerarse como una medida) que está cerrado bajo una intersección finita, cerrado hacia arriba, y que también, dado cualquier subconjunto X de , contiene X o \ X . Un ultrafiltro activado no es principal si no contiene un conjunto finito. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Límite de una secuencia de puntos con respecto a un ultrafiltro

A continuación, ω es un ultrafiltro no principal en . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Si es una secuencia de puntos en un espacio métrico ( X , d ) y x ∈ X , entonces el punto x se llama ω - límite de x _n , denotado como , si para cada uno se cumple que ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}\in \omega .}$

Se observa que,

• Si existe un límite ω de una secuencia de puntos, es único.
• Si en el sentido estándar, . (Para que esta propiedad se mantenga, es fundamental que el ultrafiltro no sea principal). ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$

Un hecho fundamental ^[1] establece que, si ( X , d ) es compacto y ω es un Ultrafiltro no principal en , el límite ω de cualquier secuencia de puntos en X existe (y es necesariamente único). ${\displaystyle \mathbb {N} }$

En particular, cualquier secuencia acotada de números reales tiene un límite ω bien definido en , ya que los intervalos cerrados son compactos . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ultralímite de espacios métricos con puntos base específicos

Sea ω un ultrafiltro no principal en . Sea ( X _n , d _n ) una secuencia de espacios métricos con puntos base específicos p _n ∈ X _n . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Supongamos que una secuencia , donde x _n ∈ X _n , es admisible. Si la secuencia de números reales ( d _n ( x _n , p _n )) _n está acotada, es decir, si existe un número real positivo C tal que , entonces denotamos el conjunto de todas las secuencias admisibles por . ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

De la desigualdad del triángulo se deduce que para dos secuencias admisibles cualesquiera y la secuencia ( d _n ( x _n , y _n )) _n está acotada y, por tanto, existe un límite ω . Se puede definir una relación en el conjunto de todas las secuencias admisibles de la siguiente manera. Porque , hay siempre que esto ayuda a demostrar que es una relación de equivalencia en ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \sim \mathbf {y} }$ ${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

El ultralímite con respecto a ω de la secuencia ( X _n , d _n , p _n ) es un espacio métrico definido de la siguiente manera. ^[2] ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$

Escrito como un conjunto, . ${\displaystyle X_{\infty }={\mathcal {A}}/{\sim }}$

Para dos clases de equivalencia de secuencias admisibles y , existe ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle [\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).}$

Esto demuestra que está bien definido y que es una métrica en el conjunto . ${\displaystyle d_{\infty }}$ ${\displaystyle X_{\infty }}$

Denotar . ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

Sobre puntos base en el caso de espacios uniformemente delimitados

Supongamos que ( X _n , d _n ) es una secuencia de espacios métricos de diámetro uniformemente acotado, es decir, existe un número real C > 0 tal que diam( X _n ) ≤ C para cada . Entonces, para cualquier elección p _n de puntos base en X _n, toda secuencia es admisible. Por lo tanto, en esta situación la elección de los puntos base no tiene que especificarse al definir un ultralímite, y el ultralímite depende sólo de ( X _n , d _n ) y de ω pero no depende de la elección de un punto base. secuencia . En este caso se escribe . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (x_{n})_{n},x_{n}\in X_{n}}$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$ ${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$

Propiedades básicas de los ultralímites.

1. Si ( X _n , d _n ) son espacios métricos geodésicos, entonces también lo es un espacio métrico geodésico. ^[1] ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
2. Si ( X _n , d _n ) son espacios métricos completos , entonces también es un espacio métrico completo. ^{[3] [4]} ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

En realidad, por construcción, el espacio límite siempre está completo, incluso cuando ( X _n , d _n ) es una secuencia repetida de un espacio ( X , d ) que no está completo. ^[5]

1. Si ( X _n , d _n ) son espacios métricos compactos que convergen a un espacio métrico compacto ( X , d ) en el sentido de Gromov-Hausdorff (esto implica automáticamente que los espacios ( X _n , d _n ) tienen un diámetro uniformemente acotado), entonces el ultralímite es isométrico a ( X , d ). ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
2. Supongamos que ( X _n , d _n ) son espacios métricos propios y que son puntos base tales que la secuencia puntiaguda ( X _n , d _n , p _n ) converge a un espacio métrico propio ( X , d ) en el método de Gromov-Hausdorff. sentido. Entonces el ultralímite es isométrico a ( X , d ). ^[1] ${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
3. Sea κ ≤0 y sea ( X _n , d _n ) una secuencia de espacios métricos CAT( κ ) . Entonces el ultralímite es también un espacio CAT( κ ). ^[1] ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
4. Sea ( X _n , d _n ) una secuencia de espacios métricos CAT( κ _n ) donde entonces el ultralímite es un árbol real . ^[1] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .}$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

Conos asintóticos

Una clase importante de ultralímites son los llamados conos asintóticos de espacios métricos. Sea ( X , d ) un espacio métrico, sea ω un ultrafiltro no principal y sea p _n  ∈  X una secuencia de puntos base. Entonces el ω –ultralímite de la secuencia se llama cono asintótico de X con respecto a ω y y se denota . A menudo se considera constante la secuencia del punto base, p _n = p para algún p ∈ X ; en este caso el cono asintótico no depende de la elección de p ∈ X y se denota por o just . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

La noción de cono asintótico juega un papel importante en la teoría de grupos geométricos, ya que los conos asintóticos (o, más precisamente, sus tipos topológicos y tipos bi-Lipschitz ) proporcionan invariantes cuasiisométricos de espacios métricos en general y de grupos finitamente generados en particular. ^[6] Los conos asintóticos también resultan ser una herramienta útil en el estudio de grupos relativamente hiperbólicos y sus generalizaciones. ^[7]

Ejemplos

1. Sea ( X , d ) un espacio métrico compacto y ponga ( X _n , d _n ) = ( X , d ) para cada . Entonces el ultralímite es isométrico a ( X , d ). ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
2. Sean ( X , d _X ) y ( Y , d _Y ) dos espacios métricos compactos distintos y sea ( X _n , d _n ) una secuencia de espacios métricos tal que para cada n ( X _n , d _n )=( X , d _X ) o ( X _n , d _n )=( Y , d _Y ). Deja y . Por lo tanto, A ₁ , A ₂ son disjuntos y, por lo tanto, uno de A ₁ , A ₂ tiene ω -medida 1 y el otro tiene ω -medida 0. Por lo tanto, es isométrico a ( X , d _X ) si ω ( A ₁ ) = 1 y es isométrica a ( Y , d _Y ) si ω ( A ₂ )=1. Esto muestra que el ultralímite puede depender de la elección de un ultrafiltro ω . ${\displaystyle A_{1}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,}$ ${\displaystyle A_{2}=\{n|(X_{n},d_{n})=(Y,d_{Y})\}\,}$ ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}=\mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
3. Sea ( M , g ) una variedad de Riemann conectada compacta de dimensión m , donde g es una métrica de Riemann en M . Sea d la métrica de M correspondiente a g , de modo que ( M , d ) sea un espacio métrico geodésico . Elija un punto base p ∈ M . Entonces el ultralímite (e incluso el límite ordinario de Gromov-Hausdorff ) es isométrico al espacio tangente T _p M de M en p con la función de distancia en T _p M dada por el producto interno g(p) . Por tanto, el ultralímite es isométrico al espacio euclidiano con la métrica euclidiana estándar . ^[8] ${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
4. Sea el espacio euclidiano estándar m -dimensional con la métrica euclidiana estándar. Entonces el cono asintótico es isométrico a . ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {R} ^{m},d)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$
5. Sea la red entera bidimensional donde la distancia entre dos puntos de la red está dada por la longitud del camino de borde más corto entre ellos en la red. Entonces el cono asintótico es isométrico hasta donde está la métrica Taxicab (o L ¹ -métrica) en . ${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{2},d)}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$ ${\displaystyle d_{1}\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
6. Sea ( X , d ) un espacio métrico geodésico hiperbólico δ para algún δ ≥0. Entonces el cono asintótico es un árbol real . ^{[1] [9]} ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$
7. Sea ( X , d ) un espacio métrico de diámetro finito. Entonces el cono asintótico es un solo punto. ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$
8. Sea ( X , d ) un espacio métrico CAT(0) . Entonces el cono asintótico también es un espacio CAT(0). ^[1] ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

Notas a pie de página

1. M. Kapovich B. Leeb. Sobre conos asintóticos y clases de cuasiisometría de grupos fundamentales de 3 variedades , Análisis geométrico y funcional , vol. 5 (1995), núm. 3, págs. 582–603
2. John huevas. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 2003. ISBN  978-0-8218-3332-2 ; Definición 7.19, pág. 107.
3. L.Van den Dries, AJWilkie, Sobre el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial y lógica elemental . Revista de álgebra , vol. 89 (1984), págs. 349–374.
4. John huevas. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Proposición 7.20, pág. 108. 
5. Bridson, Haefliger "Espacios métricos de curvatura no positiva" Lema 5.53
6. John huevas. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 
7. Cornelia Druţu y Mark Sapir (con un apéndice de Denis Osin y Mark Sapir), Espacios clasificados por árboles y conos asintóticos de grupos. Topología , Volumen 44 (2005), núm. 5, págs. 959-1058.
8. Yu. Burago, M. Gromov y G. Perel'man. AD Aleksandrov espacios con curvaturas acotadas por debajo (en ruso), Uspekhi Matematicheskih Nauk vol. 47 (1992), págs. 3–51; traducido al: Matemáticas rusas. Encuestas vol. 47, núm. 2 (1992), págs. 1–58
9. John huevas. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Ejemplo 7.30, pág. 118. 

Referencias

• Juan Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Cap. 7. 
• L.Van den Dries, AJWilkie, Sobre el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial y lógica elemental . Revista de álgebra , vol. 89 (1984), págs. 349–374.
• M. Kapovich B. Leeb. Sobre conos asintóticos y clases de cuasiisometría de grupos fundamentales de 3 variedades , Análisis geométrico y funcional , vol. 5 (1995), núm. 3, págs. 582–603
• Sr. Kapovich. Colectores hiperbólicos y grupos discretos. Birkhäuser, 2000. ISBN 978-0-8176-3904-4 ; Cap. 9. 
• Cornelia Druţu y Mark Sapir (con un apéndice de Denis Osin y Mark Sapir), Espacios clasificados por árboles y conos asintóticos de grupos. Topología , Volumen 44 (2005), núm. 5, págs. 959-1058.
• M. Grómov. Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos. Progreso en Matemáticas vol. 152, Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-3898-9 ; Cap. 3. 
• B. Kleiner y B. Leeb, Rigidez de cuasiisometrías para espacios simétricos y edificios euclidianos. Publicaciones Mathématiques de L'IHÉS . Volumen 86, número 1, diciembre de 1997, págs. 115-197.

Ver también

• Teoría de grupos geométricos