Métrica intrínseca

Concepto en geometría/topología

En el estudio matemático de espacios métricos , se puede considerar la longitud de arco de los caminos en el espacio. Si dos puntos están a una distancia determinada entre sí, es natural esperar que se pueda llegar del primer punto al segundo a lo largo de una trayectoria cuya longitud de arco sea igual (o muy cercana) a esa distancia. La distancia entre dos puntos de un espacio métrico con respecto a la métrica intrínseca se define como el mínimo de las longitudes de todos los caminos desde el primer punto al segundo. Un espacio métrico es un espacio métrico de longitud si la métrica intrínseca concuerda con la métrica original del espacio.

Si el espacio tiene la propiedad más fuerte de que siempre existe un camino que alcanza el mínimo de longitud (una geodésica ), entonces se llama espacio métrico geodésico o espacio geodésico . Por ejemplo, el plano euclidiano es un espacio geodésico, con segmentos de línea como geodésicas. El plano euclidiano sin el origen no es geodésico, pero sigue siendo un espacio métrico de longitud.

Definiciones

Sea un espacio métrico , es decir, es un conjunto de puntos (como por ejemplo todos los puntos del plano, o todos los puntos de la circunferencia) y es una función que nos proporciona la distancia entre puntos . Definimos una nueva métrica en , conocida como métrica intrínseca inducida , de la siguiente manera: es el mínimo de las longitudes de todos los caminos desde hasta . ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Aquí, un camino desde hasta es un mapa continuo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\rightarrow M}$

con y . La longitud de dicho camino se define como se explica para las curvas rectificables . Establecemos si no hay un camino de longitud finita desde hasta (esto es consistente con la definición de mínimo ya que el mínimo del conjunto vacío dentro del intervalo cerrado [0,+∞] es +∞). ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

El mapeo es idempotente , es decir ${\textstyle d\mapsto d_{\text{I}}}$

${\displaystyle (d_{\text{I}})_{\text{I}}=d_{\text{I}}.}$

Si

${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)}$

para todos los puntos y en , decimos que es un espacio de longitud o un espacio métrico de camino y la métrica es intrínseca . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle d}$

Decimos que la métrica tiene puntos medios aproximados si para cualquier par de puntos y existe en tal que y son ambos más pequeños que ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d(x,c)}$ ${\displaystyle d(c,y)}$

${\displaystyle {d(x,y) \over 2}+\varepsilon .}$

Ejemplos

• El espacio euclidiano con la métrica euclidiana ordinaria es un espacio métrico de trayectoria. lo es también. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$
• El círculo unitario con la métrica heredada de la métrica euclidiana de (la métrica cordal ) no es un espacio métrico de trayectoria. La métrica intrínseca inducida on mide distancias como ángulos en radianes , y el espacio métrico de longitud resultante se llama círculo de Riemann . En dos dimensiones, la métrica cordal en la esfera no es intrínseca y la métrica intrínseca inducida viene dada por la distancia del círculo máximo . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• Cada variedad de Riemann conectada se puede convertir en un espacio métrico de trayectoria definiendo la distancia de dos puntos como el mínimo de las longitudes de curvas continuamente diferenciables que conectan los dos puntos. (La estructura de Riemann permite definir la longitud de tales curvas). De manera análoga, otras variedades en las que se define una longitud incluyen variedades de Finsler y variedades subriemannianas .
• Cualquier espacio métrico completo y convexo es un espacio métrico de longitud (Khamsi y Kirk 2001, Teorema 2.16), resultado de Karl Menger . Sin embargo, lo contrario no se cumple, es decir, existen espacios métricos de longitud que no son convexos.

Propiedades

• En general, tenemos y, por lo tanto, la topología definida por es siempre más fina o igual a la definida por . ${\displaystyle d\leq d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$ ${\displaystyle d}$
• El espacio es siempre un espacio métrico de trayectoria (con la salvedad, como se mencionó anteriormente, de que puede ser infinito). ${\displaystyle (M,d_{\text{I}})}$ ${\displaystyle d_{\text{I}}}$
• La métrica de un espacio de longitud tiene puntos medios aproximados. Por el contrario, todo espacio métrico completo con puntos medios aproximados es un espacio de longitud.
• El teorema de Hopf-Rinow establece que si un espacio de longitud es completo y localmente compacto , entonces dos puntos cualesquiera pueden conectarse mediante una geodésica minimizadora y todos los conjuntos cerrados acotados son compactos . ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Referencias

• Herbert Busemann, Obras seleccionadas, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volumen I, 908 p., Springer International Publishing, 2018.

• Herbert Busemann, Obras seleccionadas, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volumen II, 842 p., Springer International Publishing, 2018.

• Gromov, Mikhail (1999), Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos , Progress in Math., vol. 152, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3898-9
• Khamsi, Mohamed A .; Kirk, William A. (2001), Introducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo , Wiley-IEEE, ISBN 0-471-41825-0