En matemáticas , el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole establece que cada álgebra de Boole es isomorfa a un determinado campo de conjuntos . El teorema es fundamental para una comprensión más profunda del álgebra booleana que surgió en la primera mitad del siglo XX. El teorema fue demostrado por primera vez por Marshall H. Stone . [1] Stone llegó a esta conclusión gracias a su estudio de la teoría espectral de los operadores en un espacio de Hilbert .
Cada álgebra booleana B tiene un espacio topológico asociado , denotado aquí S ( B ), llamado espacio de Stone . Los puntos en S ( B ) son los ultrafiltros en B , o equivalentemente los homomorfismos de B al álgebra booleana de dos elementos . La topología en S ( B ) se genera mediante una base que consta de todos los conjuntos de la forma
Para cada álgebra booleana B , S ( B ) es un espacio compacto de Hausdorff totalmente desconectado ; tales espacios se denominan espacios de piedra (también espacios finitos ). Por el contrario, dado cualquier espacio topológico X , la colección de subconjuntos de X que son abiertos es un álgebra de Boole.
Una versión simple del teorema de representación de Stone establece que cada álgebra de Boole B es isomorfa al álgebra de subconjuntos abiertos de su espacio de Stone S ( B ). El isomorfismo envía un elemento al conjunto de todos los ultrafiltros que contienen b . Este es un conjunto abierto debido a la elección de la topología en S ( B ) y porque B es un álgebra booleana.
Reformular el teorema utilizando el lenguaje de la teoría de categorías ; el teorema establece que existe una dualidad entre la categoría de álgebras booleanas y la categoría de espacios de piedra. Esta dualidad significa que además de la correspondencia entre las álgebras de Boole y sus espacios de Stone, cada homomorfismo de un álgebra de Boole A a un álgebra de Boole B corresponde de forma natural a una función continua de S ( B ) a S ( A ). En otras palabras, existe un functor contravariante que da una equivalencia entre las categorías. Este fue un ejemplo temprano de una dualidad de categorías no trivial.
El teorema es un caso especial de dualidad de Stone , un marco más general para dualidades entre espacios topológicos y conjuntos parcialmente ordenados .
La prueba requiere el axioma de elección o una forma debilitada del mismo. Específicamente, el teorema es equivalente al teorema del ideal primo de Boole , un principio de elección debilitado que establece que todo álgebra de Boole tiene un ideal primo.
GD Dimov (respectivamente, HP Doctor) obtuvo una extensión de la dualidad clásica de Stone a la categoría de espacios booleanos (es decir, espacios de Hausdorff localmente compactos de dimensión cero ) y mapas continuos (respectivamente, mapas perfectos). [2] [3]
