Ultraproducto

construcción matemática

El ultraproducto es una construcción matemática que aparece principalmente en álgebra abstracta y lógica matemática , en particular en teoría de modelos y teoría de conjuntos . Un ultraproducto es un cociente del producto directo de una familia de estructuras . Todos los factores deben tener la misma firma . La ultrapotencia es el caso especial de esta construcción en la que todos los factores son iguales.

Por ejemplo, los ultrapoderes pueden utilizarse para construir nuevos campos a partir de otros ya existentes. Los números hiperreales , un ultrapoder de los números reales , son un caso especial de esto.

Algunas aplicaciones sorprendentes de los ultraproductos incluyen demostraciones muy elegantes del teorema de la compacidad y del teorema de la completitud , el teorema de la ultrapotencia de Keisler , que da una caracterización algebraica de la noción semántica de equivalencia elemental, y la presentación de Robinson-Zakon del uso de superestructuras y sus monomorfismos para construir modelos de análisis no estándar, lo que llevó al crecimiento del área del análisis no estándar , que fue iniciado (como una aplicación del teorema de compacidad) por Abraham Robinson .

Definición

El método general para obtener ultraproductos utiliza un índice que establece una estructura (que se supone que no está vacía en este artículo) para cada elemento (todos con la misma firma ) y un ultrafiltro en ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I.}$

Para dos elementos cualesquiera y del producto cartesiano declararlos como -equivalentes , escritos o si y sólo si el conjunto de índices en el que concuerdan es un elemento de en símbolos, ${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle b_{\bullet }=\left(b_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\textstyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }}$ ${\displaystyle a_{\bullet }=_{\mathcal {U}}b_{\bullet },}$ ${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}};}$

$${\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }\;\iff \;\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}},}$$

relación binariarelación de equivalencia ^{[prueba 1]} ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}.}$

El ultraproducto de módulo ${\displaystyle M_{\bullet }=\left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ es el conjunto cociente de con respecto a y, por lo tanto, a veces se denota por o ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }.}$

Explícitamente, si la clase de equivalencia de un elemento se denota por ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$

$${\displaystyle a_{\mathcal {U}}:={\big \{}x\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\;:\;x\sim a{\big \}}}$$

${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

$${\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\;=\;\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\;:=\;\left\{a_{\mathcal {U}}\;:\;a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\right\}.}$$

Aunque se supuso que era un ultrafiltro, la construcción anterior se puede llevar a cabo de manera más general siempre que sea simplemente un filtro , en cuyo caso el conjunto de cocientes resultante se denomina ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/\,{\mathcal {U}}}$producto reducido .

Cuando es un ultrafiltro principal (lo que ocurre si y solo si contiene su núcleo ), entonces el ultraproducto es isomorfo a uno de los factores. Y por lo general, no es un ultrafiltro principal , lo que ocurre si y solo si es libre (es decir ), o de manera equivalente, si cada subconjunto cofinito de es un elemento de. Dado que cada ultrafiltro en un conjunto finito es principal, en consecuencia, el conjunto de índices también es normalmente infinito. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}=\varnothing }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle I}$

El ultraproducto actúa como un espacio de producto filtrante donde los elementos son iguales si son iguales solo en los componentes filtrados (los componentes no filtrados se ignoran según la equivalencia). Se puede definir una medida finitamente aditiva en el conjunto de índices diciendo si y no. Entonces dos miembros del producto cartesiano son equivalentes precisamente si son iguales en casi todas partes del conjunto de índices. El ultraproducto es el conjunto de clases de equivalencia así generadas. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle m(A)=1}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle m(A)=0}$

Las operaciones finitas sobre el producto cartesiano se definen puntualmente (por ejemplo, si es una función binaria, entonces ). Otras relaciones se pueden ampliar de la misma manera: ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle a_{i}+b_{i}=(a+b)_{i}}$

$${\displaystyle R\left(a_{\mathcal {U}}^{1},\dots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right)~\iff ~\left\{i\in I:R^{M_{i}}\left(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n}\right)\right\}\in {\mathcal {U}},}$$

campo ordenado ${\displaystyle a_{\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sim .}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Ultrapotencia

Una ultrapotencia es un ultraproducto en el que todos los factores son iguales. Explícitamente, el ${\displaystyle M_{i}}$la ultrapotencia de unmódulo ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es el ultraproductode la familia indexadadefinida porpara cada índice. La ultrapotencia puede denotarse poro (ya quea menudo se denota por) por ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}={\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }}$ ${\displaystyle M_{\bullet }:=\left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M_{i}:=M}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M}$ ${\displaystyle M^{I}}$

$${\displaystyle M^{I}/{\mathcal {U}}~:=~\prod _{i\in I}M\,/\,{\mathcal {U}}\,}$$

Para cada let, denotemos el mapa constante que es idénticamente igual a Este mapa/tupla constante es un elemento del producto cartesiano y, por lo tanto, la asignación define un mapa . ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle (m)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I\to M}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle M^{I}={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M}$ ${\displaystyle m\mapsto (m)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M\to {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M.}$la incrustación natural deinto ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M}$es el mapaque envía un elementoa laclase de equivalencia de la tupla constante ${\displaystyle M\to {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle (m)_{i\in I}.}$

Ejemplos

Los números hiperreales son el ultraproducto de una copia de los números reales por cada número natural, respecto de un ultrafiltro sobre los números naturales que contiene todos los conjuntos cofinitos. Su orden es la extensión del orden de los números reales. Por ejemplo, la secuencia dada por define una clase de equivalencia que representa un número hiperreal que es mayor que cualquier número real. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{i}=i}$

De manera análoga, se pueden definir números enteros no estándar , números complejos no estándar , etc., tomando el ultraproducto de copias de las estructuras correspondientes.

Como ejemplo de la transferencia de relaciones al ultraproducto, considere la secuencia definida por Porque de todo se sigue que la clase de equivalencia de es mayor que la clase de equivalencia de de modo que puede interpretarse como un número infinito que es mayor que el uno construido originalmente. Sin embargo, digamos que no es igual a pero El conjunto de índices en los que y están de acuerdo es miembro de cualquier ultrafiltro (porque y están de acuerdo en casi todas partes), por lo que y pertenecen a la misma clase de equivalencia. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{i}=2i.}$ ${\displaystyle \psi _{i}>\omega _{i}=i}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \psi _{i}=2i}$ ${\displaystyle \omega _{i}=i,}$ ${\displaystyle \chi _{i}=i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 7,}$ ${\displaystyle \chi _{7}=8.}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \chi }$

En la teoría de los cardinales grandes , una construcción estándar es tomar el ultraproducto de todo el universo de la teoría de conjuntos con respecto a algún ultrafiltro cuidadosamente elegido. Las propiedades de este ultrafiltro tienen una fuerte influencia en las propiedades (de orden superior) del ultraproducto; por ejemplo, si es -completo, entonces el ultraproducto volverá a estar bien fundamentado. (Ver cardinal mensurable para el ejemplo prototípico). ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \sigma }$

teorema de Łoś

El teorema de Łoś, también llamado teorema fundamental de los ultraproductos , se debe a Jerzy Łoś (el apellido se pronuncia [ˈwɔɕ] , aproximadamente "lavar"). Afirma que cualquier fórmula de primer orden es verdadera en el ultraproducto si y sólo si el conjunto de índices en los que la fórmula es verdadera es miembro de Más precisamente: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Sea una firma, un ultrafiltro sobre un conjunto y para cada uno una estructura . Sea o el ultraproducto de con respecto a Entonces, para cada dónde y para cada -fórmula ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/{\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},}$ ${\displaystyle a^{k}=\left(a_{i}^{k}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \phi ,}$

$${\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\models \phi \left[a_{\mathcal {U}}^{1},\ldots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right]~\iff ~\{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\in {\mathcal {U}}.}$$

El teorema se prueba por inducción sobre la complejidad de la fórmula. El hecho de que sea un ultrafiltro (y no simplemente un filtro) se utiliza en la cláusula de negación, y el axioma de elección se necesita en el paso del cuantificador existencial. Como aplicación se obtiene el teorema de transferencia para campos hiperreales . ${\displaystyle \phi .}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Ejemplos

Sea una relación unaria en la estructura y forme la ultrapotencia de Entonces el conjunto tiene un análogo en la ultrapotencia, y las fórmulas de primer orden que involucran también son válidas para Por ejemplo, sean los reales y dejemos que se cumpla si es un número racional. Entonces podemos decir que para cualquier par de racionales existe otro número tal que no es racional, y dado que esto se puede traducir a una fórmula lógica de primer orden en el lenguaje formal relevante, el teorema de Łoś implica que tiene la misma propiedad. Es decir, podemos definir una noción de números hiperracionales, que son un subconjunto de los hiperreales y tienen las mismas propiedades de primer orden que los racionales. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle S=\{x\in M:Rx\}}$ ${\displaystyle {}^{*}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {}^{*}S.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Rx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x<z<y.}$ ${\displaystyle {}^{*}S}$

Consideremos, sin embargo, la propiedad de Arquímedes de los reales, que establece que no existe un número real tal que para cada desigualdad en la lista infinita. El teorema de Łoś no se aplica a la propiedad de Arquímedes, porque la propiedad de Arquímedes no puede enunciarse en lógica de primer orden. De hecho, la propiedad de Arquímedes es falsa para los hiperreales, como lo muestra la construcción del número hiperreal anterior. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>1,\;x>1+1,\;x>1+1+1,\ldots }$ ${\displaystyle \omega }$

Límites directos de ultrapotencias (ultralímites)

En teoría de modelos y teoría de conjuntos , a menudo se considera el límite directo de una secuencia de ultrapoderes. En la teoría de modelos , esta construcción puede denominarse ultralímite o ultrapotencia limitante .

Comenzando con una estructura y un ultrafiltro, forme un ultrapoder, luego repita el proceso para formar y así sucesivamente. Para cada uno hay una incrustación diagonal canónica en las etapas límite, como las que forman el límite directo de las etapas anteriores. Uno puede continuar hacia lo transfinito. ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0},}$ ${\displaystyle A_{1}.}$ ${\displaystyle A_{2},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n}\to A_{n+1}.}$ ${\displaystyle A_{\omega },}$

Mónada ultraproducto

La mónada ultrafiltro es la mónada de codensidad de la inclusión de la categoría de conjuntos finitos en la categoría de todos los conjuntos . ^[1]

De manera similar, elLa mónada ultraproducto es la mónada de codensidad de la inclusión de la categoríade familias de conjuntos indexados finitamente en la categoríade todas lasfamilias de conjuntos indexados . Entonces, en este sentido, los ultraproductos son categóricamente inevitables. ^[1] Explícitamente, un objeto consta de un conjunto de índices no vacíoy una familia de conjuntos indexados . Un morfismoentre dos objetos consta de una funciónentre los conjuntos de índices y unafamiliade funciones La categoríaes una subcategoría completa de esta categoría queconsta de todos los objetoscuyo conjunto de índiceses finito. La mónada de codensidad del mapa de inclusiónestá entonces, en esencia, dada por ${\displaystyle \mathbf {FinFam} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fam} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fam} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(N_{i}\right)_{j\in J}\to \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \phi :I\to J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \left(\phi _{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle \phi _{j}:M_{\phi (j)}\to N_{j}.}$ ${\displaystyle \mathbf {FinFam} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fam} }$ ${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {FinFam} \hookrightarrow \mathbf {Fam} }$

$${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}~\mapsto ~\left(\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\right)_{{\mathcal {U}}\in U(I)}\,.}$$

Ver también

• Teorema de compacidad
• Extensor (teoría de conjuntos)  : en teoría de conjuntos, un sistema de ultrafiltros que representa una incrustación elemental que presencia grandes propiedades cardinales.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teorema de Löwenheim-Skolem  - Existencia y cardinalidad de modelos de teorías lógicas
• Principio de transferencia  : que todas las afirmaciones de algún lenguaje que son verdaderas para alguna estructura son verdaderas para otra estructura.
• Ultrafiltro  : filtro adecuado máximo

Notas

1. Leinster, Tom (2013). "Codensidad y la mónada ultrafiltro" (PDF) . Teoría y Aplicaciones de Categorías . 28 : 332–370. arXiv : 1209.3606 . Código Bib : 2012arXiv1209.3606L.

Pruebas

1. Aunque se supone que es un ultrafiltro, esta prueba solo requiere que sea un filtro en todas partes, sea y sea elementos de La relación siempre se cumple ya que es un elemento de filtro Por lo tanto, la reflexividad de se sigue de la de igualdad De manera similar, es simétrica ya que la igualdad es simétrico. Para la transitividad , suponemos que y son elementos de ella queda por demostrar que también pertenece a La transitividad de las garantías de igualdad (ya que si entonces y ). Debido a que está cerrado bajo intersecciones binarias, ya que está cerrado hacia arriba y contiene cada superconjunto de (que consta de índices); en particular, contiene ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{i}\right)_{i\in I},b_{\bullet }=\left(b_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle c_{\bullet }=\left(c_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}.}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\,\sim \,a_{\bullet }}$ ${\displaystyle \{i\in I:a_{i}=a_{i}\}=I}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \,=.\,}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle R=\{i:a_{i}:=b_{i}\}}$ ${\displaystyle S:=\{i:b_{i}=c_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}};}$ ${\displaystyle T:=\{i:a_{i}=c_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle R\cap S\subseteq T}$ ${\displaystyle i\in R\cap S}$ ${\displaystyle a_{i}=b_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}=c_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle R\cap S}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Modelos y ultraproductos: una introducción (reimpresión de la edición de 1974). Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-44979-3.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (2000) [1981]. Un curso de álgebra universal (Millennium ed.).