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Lista de declaraciones independientes de ZFC

Los enunciados matemáticos que se analizan a continuación son demostrablemente independientes de ZFC (la teoría de conjuntos axiomáticos canónicos de las matemáticas contemporáneas, que consiste en los axiomas de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección ), suponiendo que ZFC es consistente . Un enunciado es independiente de ZFC (a veces expresado como "indecidible en ZFC") si no puede ser probado ni refutado a partir de los axiomas de ZFC.

Teoría de conjuntos axiomáticos

En 1931, Kurt Gödel demostró sus teoremas de incompletitud , estableciendo que muchas teorías matemáticas, incluida la ZFC, no pueden demostrar su propia consistencia. Suponiendo la ω-consistencia de dicha teoría, el enunciado de consistencia tampoco puede ser refutado, lo que significa que es independiente. Unos años más tarde, se definieron otros enunciados aritméticos que son independientes de cualquier teoría de ese tipo, véase por ejemplo el truco de Rosser .

Las siguientes afirmaciones de teoría de conjuntos son independientes de ZFC, entre otras:

Diagrama que muestra las cadenas de implicación

Tenemos las siguientes cadenas de implicaciones:

V = L → ◊ → CH,
V = L → GCH → CH,
CH → MA,

y (ver sección sobre teoría del orden):

◊ → ¬ SH ,
MA + ¬CH → COME → SH.

Varias afirmaciones relacionadas con la existencia de cardinales grandes no pueden probarse en ZFC (suponiendo que ZFC es consistente). Estas son independientes de ZFC siempre que sean consistentes con ZFC, lo que la mayoría de los teóricos de conjuntos de trabajo creen que es el caso. Estas afirmaciones son lo suficientemente fuertes como para implicar la consistencia de ZFC. Esto tiene la consecuencia (a través del segundo teorema de incompletitud de Gödel ) de que su consistencia con ZFC no puede probarse en ZFC (suponiendo que ZFC es consistente). Las siguientes afirmaciones pertenecen a esta clase:

Se puede demostrar que las siguientes afirmaciones son independientes de ZFC suponiendo la consistencia de un cardinal grande adecuado:

Teoría de conjuntos de la recta real

Existen muchos invariantes cardinales de la línea real, relacionados con la teoría de la medida y con afirmaciones relacionadas con el teorema de categorías de Baire , cuyos valores exactos son independientes de ZFC. Si bien se pueden demostrar relaciones no triviales entre ellos, la mayoría de los invariantes cardinales pueden ser cualquier cardinal regular entre ℵ 1 y 2 ℵ 0 . Esta es un área de estudio importante en la teoría de conjuntos de la línea real (ver diagrama de Cichon ). MA tiene una tendencia a establecer la mayoría de los invariantes cardinales interesantes iguales a 2 ℵ 0 .

Un subconjunto X de la recta real es un conjunto cero de medida fuerte si para cada secuencia ( ε n ) de reales positivos existe una secuencia de intervalos ( I n ) que cubre X y tal que I n tiene longitud como máximo ε n . La conjetura de Borel, de que todo conjunto cero de medida fuerte es contable, es independiente de ZFC.

Un subconjunto X de la recta real es -denso si cada intervalo abierto contiene -muchos elementos de X. Si todos los conjuntos -densos son isomorfos en orden es independiente de ZFC. [2]

Teoría del orden

El problema de Suslin pregunta si una lista corta específica de propiedades caracteriza al conjunto ordenado de números reales R . Esto es indecidible en ZFC. [3] Una línea de Suslin es un conjunto ordenado que satisface esta lista específica de propiedades pero no es isomorfo en orden a R . El principio de diamante ◊ prueba la existencia de una línea de Suslin, mientras que MA + ¬CH implica EATS ( todo árbol de Aronszajn es especial ), [4] lo que a su vez implica (pero no es equivalente a) [5] la inexistencia de líneas de Suslin. Ronald Jensen demostró que CH no implica la existencia de una línea de Suslin. [6]

La existencia de árboles Kurepa es independiente de ZFC, asumiendo la consistencia de un cardinal inaccesible . [7]

La existencia de una partición del número ordinal en dos colores sin ningún subconjunto secuencialmente cerrado incontable monocromático es independiente de ZFC, ZFC + CH y ZFC + ¬CH, asumiendo la consistencia de un cardinal de Mahlo . [8] [9] [10] Este teorema de Shelah responde a una pregunta de H. Friedman .

Álgebra abstracta

En 1973, Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead ("¿es cada grupo abeliano A con Ext 1 (A, Z ) = 0 un grupo abeliano libre ?") es independiente de ZFC. [11] Un grupo abeliano con Ext 1 (A, Z ) = 0 se llama grupo de Whitehead; MA + ¬CH demuestra la existencia de un grupo de Whitehead no libre, mientras que V = L demuestra que todos los grupos de Whitehead son libres. En una de las primeras aplicaciones del forzamiento propio , Shelah construyó un modelo de ZFC + CH en el que hay un grupo de Whitehead no libre. [12] [13]

Considérese el anillo A = R [ x , y , z ] de polinomios en tres variables sobre los números reales y su cuerpo de fracciones M = R ( x , y , z ). La dimensión proyectiva de M como A -módulo es 2 o 3, pero es independiente de ZFC si es igual a 2; es igual a 2 si y solo si se cumple CH. [14]

Un producto directo de un número contable de campos tiene dimensión global 2 si y sólo si se cumple la hipótesis del continuo. [15]

Teoría de números

Se puede escribir un polinomio concreto p ∈ Z [ x 1 , ..., x 9 ] tal que la afirmación "hay enteros m 1 , ..., m 9 con p ( m 1 , ..., m 9 ) = 0" no puede ser probada ni refutada en ZFC (asumiendo que ZFC es consistente). Esto se desprende de la resolución de Yuri Matiyasevich del décimo problema de Hilbert ; el polinomio se construye de modo que tenga una raíz entera si y solo si ZFC es inconsistente. [16]

Teoría de la medida

Una versión más fuerte del teorema de Fubini para funciones positivas, donde ya no se supone que la función sea medible sino simplemente que las dos integrales iteradas están bien definidas y existen, es independiente de ZFC. Por un lado, CH implica que existe una función en el cuadrado unitario cuyas integrales iteradas no son iguales —la función es simplemente la función indicadora de un ordenamiento de [0, 1] equivalente a un buen ordenamiento del cardinal ω 1 . Se puede construir un ejemplo similar usando MA . Por otro lado, la consistencia del teorema fuerte de Fubini fue demostrada por primera vez por Friedman . [17] También se puede deducir de una variante del axioma de simetría de Freiling . [18]

Topología

La conjetura del espacio normal de Moore, es decir, que todo espacio normal de Moore es metrizable , puede ser refutada suponiendo la hipótesis del continuo o suponiendo tanto el axioma de Martin como la negación de la hipótesis del continuo, y puede ser probada suponiendo un cierto axioma que implica la existencia de cardinales grandes . Por lo tanto, suponiendo cardinales grandes, la conjetura del espacio normal de Moore es independiente de ZFC. [19]

La existencia de un espacio S es independiente de ZFC. En particular, está implícita en la existencia de una línea de Suslin. [20]

Análisis funcional

Garth Dales y Robert M. Solovay demostraron en 1976 que la conjetura de Kaplansky , es decir, que todo homomorfismo algebraico desde el álgebra de Banach C(X) (donde X es un espacio de Hausdorff compacto ) hacia cualquier otra álgebra de Banach debe ser continuo, es independiente de ZFC. CH implica que para cualquier X infinito existe un homomorfismo discontinuo hacia cualquier álgebra de Banach. [21]

Consideremos el álgebra B ( H ) de operadores lineales acotados en el espacio de Hilbert separable de dimensión infinita H . Los operadores compactos forman un ideal bilateral en B ( H ). La cuestión de si este ideal es la suma de dos ideales propiamente más pequeños es independiente de ZFC, como lo demostraron Andreas Blass y Saharon Shelah en 1987. [22]

Charles Akemann y Nik Weaver demostraron en 2003 que la afirmación "existe un contraejemplo del problema de Naimark que es generado por ℵ 1 elementos" es independiente de ZFC.

Miroslav Bačák y Petr Hájek demostraron en 2008 que la afirmación "todo espacio de Asplund de densidad ω 1 tiene una renormalización con la propiedad de intersección de Mazur" es independiente de ZFC. El resultado se muestra utilizando el axioma de máximo de Martin , mientras que Mar Jiménez y José Pedro Moreno (1997) habían presentado un contraejemplo suponiendo CH.

Como lo demuestran Ilijas Farah [23] y N. Christopher Phillips y Nik Weaver, [24] la existencia de automorfismos externos del álgebra de Calkin depende de supuestos teóricos de conjuntos más allá de ZFC.

El problema de Wetzel , que pregunta si todo conjunto de funciones analíticas que toma como máximo un número contable de valores distintos en cada punto es necesariamente contable, es verdadero si y sólo si la hipótesis del continuo es falsa. [25]

Teoría de modelos

La conjetura de Chang es independiente de ZFC y supone la consistencia de un cardinal de Erdős .

Teoría de la computabilidad

Marcia Groszek y Theodore Slaman dieron ejemplos de afirmaciones independientes de ZFC sobre la estructura de los grados de Turing. En particular, si existe un conjunto de grados máximamente independientes de tamaño menor que el continuo. [26]

Referencias

  1. ^ Kunen, Kenneth (1980). Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
  2. ^ Baumgartner, J., Todos los conjuntos de números reales densos pueden ser isomorfos, Fund. Math. 79, págs. 101-106, 1973
  3. ^ Solovay, RM; Tennenbaum, S. (1971). "Extensiones iteradas de Cohen y el problema de Souslin". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 94 (2): 201–245. doi :10.2307/1970860. JSTOR  1970860.
  4. ^ Baumgartner, J., J. Malitz y W. Reiehart, Incorporación de árboles en los racionales, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 67, págs. 1746-1753, 1970
  5. ^ Shelah, S. (1981). "Límites libres de forzamiento y más sobre árboles de Aronszajn". Revista israelí de matemáticas . 38 (4): 315–334. doi : 10.1007/BF02762777 .
  6. ^ Devlin, K. y H. Johnsbraten, El problema de Souslin, Notas de clase sobre matemáticas 405, Springer, 1974
  7. ^ Silver, J., La independencia de la conjetura de Kurepa y las conjeturas de dos cardinales en la teoría de modelos, en Teoría de conjuntos axiomática, Proc. Symp, en Matemáticas puras (13) pp. 383 – 390, 1967
  8. ^ Shelah, S., Forzamiento adecuado e inadecuado, Springer 1992
  9. ^ Schlindwein, Chaz, El trabajo de Shelah sobre iteraciones no semipropias I, Archivo de lógica matemática (47) 2008 pp. 579 – 606
  10. ^ Schlindwein, Chaz, El trabajo de Shelah sobre iteraciones no semipropias II, Journal of Symbolic Logic (66) 2001, pp. 1865 – 1883
  11. ^ Shelah, S. (1974). "Grupos abelianos infinitos, problema de Whitehead y algunas construcciones". Revista israelí de matemáticas . 18 (3): 243–256. doi : 10.1007/BF02757281 . MR  0357114.
  12. ^ Shelah, S. (1972). "Los grupos de Whitehead pueden no ser libres, incluso suponiendo CH, I". Revista israelí de matemáticas . 28 (3): 193–204. doi : 10.1007/BF02759809 .
  13. ^ Shelah, S. (1980). "Los grupos de Whitehead pueden no ser libres incluso suponiendo CH, II". Revista israelí de matemáticas . 35 (4): 257–285. doi : 10.1007/BF02760652 .
  14. ^ Barbara L. Osofsky (1968). "Dimensión homológica y la hipótesis del continuo" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 132 : 217–230. doi : 10.1090/s0002-9947-1968-0224606-4 .
  15. ^ Barbara L. Osofsky (1973). Dimensiones homológicas de módulos. American Mathematical Soc., pág. 60. ISBN 978-0-8218-1662-2.
  16. ^ Véase por ejemplo:
    • James P. Jones (1980). "Ecuaciones diofánticas indecidibles". Bull. Amer. Math. Soc . 3 (2): 859–862. doi : 10.1090/s0273-0979-1980-14832-6 .
    • Carl, M.; Moroz, B. (2014). "Sobre una representación diofántica del predicado de demostrabilidad". Revista de Ciencias Matemáticas . 199 (199): 36–52. doi :10.1007/s10958-014-1830-2. hdl : 21.11116/0000-0004-1E89-1 . S2CID  34618563.
    Para un resumen del argumento, véase el décimo problema de Hilbert § Aplicaciones .
  17. ^ Friedman, Harvey (1980). "Un teorema de Fubini-Tonelli consistente para funciones no mensurables". Illinois J. Math . 24 (3): 390–395. doi : 10.1215/ijm/1256047607 . MR  0573474.
  18. ^ Freiling, Chris (1986). "Axiomas de simetría: lanzando dardos a la línea de números reales". Journal of Symbolic Logic . 51 (1): 190–200. doi :10.2307/2273955. JSTOR  2273955. MR  0830085. S2CID  38174418.
  19. ^ Nyikos, Peter J. (2001). "Una historia del problema del espacio normal de Moore". Manual de la historia de la topología general . Historia de la topología. Vol. 3. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. págs. 1179–1212. doi :10.1007/978-94-017-0470-0_7. ISBN 0-7923-6970-X.Señor 1900271  .
  20. ^ Todorcevic, Stevo (1989). Problemas de partición en topología . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5091-6.
  21. ^ HG Dales; WH Woodin (1987). Una introducción a la independencia para analistas .
  22. ^ Judith Roitman (1992). "Los usos de la teoría de conjuntos". Mathematical Intelligencer . 14 (1).
  23. ^ Farah, Ilijas (2011). "Todos los automorfismos del álgebra de Calkin son internos". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 173 (2): 619–661. arXiv : 0705.3085 . doi : 10.4007/annals.2011.173.2.1 .
  24. ^ Phillips, NC; Weaver, N. (2007). "El álgebra de Calkin tiene automorfismos externos". Duke Mathematical Journal . 139 (1): 185–202. arXiv : math/0606594 . doi :10.1215/S0012-7094-07-13915-2. S2CID  13873756.
  25. ^ Erdős, P. (1964). "Un problema de interpolación asociado con la hipótesis del continuo". The Michigan Mathematical Journal . 11 : 9–10. doi : 10.1307/mmj/1028999028 . MR  0168482..
  26. ^ Groszek, Marcia J. ; Slaman, T. (1983). "Resultados de independencia en la estructura global de los grados de Turing". Transactions of the American Mathematical Society . 277 (2): 579. doi : 10.2307/1999225 . JSTOR  1999225.

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