Teoría del campo de Liouville

Teoría de campos conforme bidimensional

En física , la teoría de campos de Liouville (o simplemente teoría de Liouville ) es una teoría de campos conforme bidimensional cuya ecuación clásica de movimiento es una generalización de la ecuación de Liouville .

La teoría de Liouville está definida para todos los valores complejos de la carga central de su álgebra de simetría de Virasoro , pero es unitaria sólo si ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c\in (1,+\infty ),}$

y su límite clásico es

${\displaystyle c\to +\infty .}$

Aunque se trata de una teoría de interacción con un espectro continuo , la teoría de Liouville ha sido resuelta. En particular, se ha determinado analíticamente su función de tres puntos en la esfera .

Introducción

La teoría de Liouville describe la dinámica de un campo llamado campo de Liouville, que se define en un espacio bidimensional. Este campo no es un campo libre debido a la presencia de un potencial exponencial. ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle V(\varphi )=e^{2b\varphi }\ ,}$

donde el parámetro se llama constante de acoplamiento . En una teoría de campo libre, los vectores propios de energía son linealmente independientes y el impulso se conserva en las interacciones. En la teoría de Liouville, el impulso no se conserva. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Reflexión de un vector propio de energía con impulso frente al potencial exponencial de la teoría de Liouville ${\displaystyle \alpha }$

Además, el potencial refleja los vectores propios de energía antes de que alcancen , y dos vectores propios son linealmente dependientes si sus momentos están relacionados por la reflexión. ${\displaystyle \varphi =+\infty }$

${\displaystyle \alpha \to Q-\alpha \ ,}$

donde está el cargo de fondo

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}\ .}$

Si bien el potencial exponencial rompe la conservación del momento, no rompe la simetría conforme, y la teoría de Liouville es una teoría de campo conforme con la carga central

${\displaystyle c=1+6Q^{2}\ .}$

Bajo transformaciones conformes, un vector propio de energía con impulso se transforma como un campo primario con la dimensión conforme por ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha )\ .}$

La carga central y las dimensiones conformes son invariantes bajo la dualidad.

${\displaystyle b\to {\frac {1}{b}}\ ,}$

Las funciones de correlación de la teoría de Liouville son covariantes bajo esta dualidad y bajo reflejos de los momentos. Sin embargo, estas simetrías cuánticas de la teoría de Liouville no se manifiestan en la formulación lagrangiana ; en particular, el potencial exponencial no es invariante bajo la dualidad.

Funciones de espectro y correlación.

Espectro

El espectro de la teoría de Liouville es una combinación diagonal de los módulos de Verma del álgebra de Virasoro , ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{{\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}d\Delta \ {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }\ ,}$

donde y denotan el mismo módulo de Verma, visto como una representación del álgebra de Virasoro que se mueve hacia la izquierda y hacia la derecha, respectivamente. En términos de momentos , ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }}$ ${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

corresponde a

${\displaystyle \alpha \in {\frac {Q}{2}}+i\mathbb {R} _{+}.}$

La relación de reflexión es responsable de que el impulso tome valores en una media línea, en lugar de una línea completa para una teoría libre.

La teoría de Liouville es unitaria si y sólo si . El espectro de la teoría de Liouville no incluye un estado de vacío . Se puede definir un estado de vacío, pero no contribuye a las expansiones del producto del operador . ${\displaystyle c\in (1,+\infty )}$

Campos y relación de reflexión.

En la teoría de Liouville, los campos primarios suelen estar parametrizados por su impulso en lugar de por su dimensión conforme , y se denotan . Ambos campos y corresponden al estado primario de la representación , y están relacionados por la relación de reflexión. ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle V_{Q-\alpha }(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$

${\displaystyle V_{\alpha }(z)=R(\alpha )V_{Q-\alpha }(z)\ ,}$

donde el coeficiente de reflexión es ^[1]

${\displaystyle R(\alpha )=\pm \lambda ^{Q-2\alpha }{\frac {\Gamma (b(2\alpha -Q))\Gamma ({\frac {1}{b}}(2\alpha -Q))}{\Gamma (b(Q-2\alpha ))\Gamma ({\frac {1}{b}}(Q-2\alpha ))}}\ .}$

(El signo es si y no, y el parámetro de normalización es arbitrario). ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \lambda }$

Funciones de correlación y fórmula DOZZ

Para , la constante de estructura de tres puntos viene dada por la fórmula DOZZ (para Dorn-Otto ^[2] y Zamolodchikov-Zamolodchikov ^[3] ), ${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$

${\displaystyle C_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[b^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}\Upsilon _{b}'(0)\Upsilon _{b}(2\alpha _{1})\Upsilon _{b}(2\alpha _{2})\Upsilon _{b}(2\alpha _{3})}{\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q)\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\Upsilon _{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1})\Upsilon _{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}$

donde la función especial es una especie de función gamma múltiple . ${\displaystyle \Upsilon _{b}}$

Para , la constante de estructura de tres puntos es ^[1] ${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$

${\displaystyle {\hat {C}}_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[(ib)^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}{\hat {\Upsilon }}_{b}(0){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{2}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{3})}{{\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}$

dónde

${\displaystyle {\hat {\Upsilon }}_{b}(x)={\frac {1}{\Upsilon _{ib}(-ix+ib)}}\ .}$

${\displaystyle N}$Las funciones de puntos en la esfera se pueden expresar en términos de constantes de estructura de tres puntos y bloques conformes . Una función de puntos puede tener varias expresiones diferentes: que concuerden equivale a cruzar la simetría de la función de cuatro puntos, lo cual ha sido verificado numéricamente ^{[3] [4]} y demostrado analíticamente. ^{[5] [6]} ${\displaystyle N}$

La teoría de Liouville existe no sólo en la esfera, sino también en cualquier superficie de género de Riemann . Técnicamente, esto es equivalente a la invariancia modular de la función toroidal de un punto. Debido a las notables identidades de los bloques conformes y las constantes estructurales, esta propiedad de invariancia modular se puede deducir de la simetría cruzada de la función de cuatro puntos de la esfera. ^{[7] [4]} ${\displaystyle g\geq 1}$

Unicidad de la teoría de Liouville

Utilizando el enfoque de arranque conforme , se puede demostrar que la teoría de Liouville es la única teoría de campo conforme tal que ^[1]

• el espectro es un continuo, sin multiplicidades superiores a uno,
• las funciones de correlación dependen analíticamente de y los momentos, ${\displaystyle b}$
• existen campos degenerados.

formulación lagrangiana

Acción y ecuación de movimiento.

La teoría de Liouville se define por la acción local.

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\,{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi +QR\varphi +\lambda 'e^{2b\varphi })\ ,}$

donde es la métrica del espacio bidimensional sobre el cual se formula la teoría, es el escalar de Ricci de ese espacio y es el campo de Liouville. El parámetro , que a veces se denomina constante cosmológica, está relacionado con el parámetro que aparece en las funciones de correlación por ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda '=4{\frac {\Gamma (1-b^{2})}{\Gamma (b^{2})}}\lambda ^{b}.}$

La ecuación de movimiento asociada a esta acción es

${\displaystyle \Delta \varphi (x)={\frac {1}{2}}QR(x)+\lambda 'be^{2b\varphi (x)}\ ,}$

¿Dónde está el operador de Laplace-Beltrami ? Si es la métrica euclidiana , esta ecuación se reduce a ${\displaystyle \Delta =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\varphi (x_{1},x_{2})=\lambda 'be^{2b\varphi (x_{1},x_{2})}\ ,}$

que es equivalente a la ecuación de Liouville .

simetría conforme

Usando un sistema de coordenadas complejo y una métrica euclidiana ${\displaystyle z}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dzd{\bar {z}},}$

los componentes del tensor de energía-momento obedecen

${\displaystyle T_{z{\bar {z}}}=T_{{\bar {z}}z}=0\;,\quad \partial _{\bar {z}}T_{zz}=0\;,\quad \partial _{z}T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\ .}$

Los componentes que no desaparecen son

${\displaystyle T=T_{zz}=(\partial _{z}\varphi )^{2}+Q\partial _{z}^{2}\varphi \;,\quad {\bar {T}}=T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=(\partial _{\bar {z}}\varphi )^{2}+Q\partial _{\bar {z}}^{2}\varphi \ .}$

Cada uno de estos dos componentes genera un álgebra de Virasoro con la carga central

${\displaystyle c=1+6Q^{2}.}$

Para ambas álgebras de Virasoro, un campo es un campo primario con la dimensión conforme ${\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}$

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha ).}$

Para que la teoría tenga invariancia conforme , el campo que aparece en la acción debe ser marginal , es decir, tener la dimensión conforme ${\displaystyle e^{2b\varphi }}$

${\displaystyle \Delta (b)=1.}$

Esto lleva a la relación

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}}$

entre la carga de fondo y la constante de acoplamiento. Si se obedece esta relación, entonces en realidad es exactamente marginal y la teoría es conformemente invariante. ${\displaystyle e^{2b\varphi }}$

Integral de trayectoria

La representación integral de ruta de una función de correlación de puntos de campos primarios es ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i}}(z_{i})\right\rangle =\int D\varphi \ e^{-S[\varphi ]}\prod _{i=1}^{N}e^{2\alpha _{i}\varphi (z_{i})}\ .}$

Ha sido difícil definir y calcular esta integral de trayectoria. En la representación integral de trayectoria, no es obvio que la teoría de Liouville tenga una invariancia conforme exacta , y no es manifiesto que las funciones de correlación sean invariantes y obedezcan a la relación de reflexión. Sin embargo, la representación integral de trayectoria se puede utilizar para calcular los residuos de funciones de correlación en algunos de sus polos como integrales de Dotsenko-Fateev en el formalismo de gases de Coulomb , y así es como se adivinó por primera vez la fórmula DOZZ en la década de 1990. No fue hasta la década de 2010 que se encontró una construcción probabilística rigurosa de la integral de ruta, lo que condujo a una prueba de la fórmula DOZZ ^[8] y el bootstrap conforme. ^{[6] [9]} ${\displaystyle b\to b^{-1}}$

Relaciones con otras teorías de campos conformes

Algunos límites de la teoría de Liouville

Cuando la carga central y las dimensiones conformes se envían a los valores discretos relevantes, las funciones de correlación de la teoría de Liouville se reducen a funciones de correlación de los modelos mínimos de Virasoro diagonales (serie A) . ^[1]

Por otro lado, cuando la carga central se envía a uno mientras las dimensiones conformes permanecen continuas, la teoría de Liouville tiende a la teoría de Runkel-Watts, una teoría de campos conformes (CFT) no trivial con un espectro continuo cuya función de tres puntos no es analítica como función de los momentos. ^[10] Las generalizaciones de la teoría de Runkel-Watts se obtienen a partir de la teoría de Liouville tomando límites del tipo . ^[4] Así, para , se conocen dos CFT distintas con el mismo espectro: la teoría de Liouville, cuya función de tres puntos es analítica, y otra CFT con una función de tres puntos no analítica. ${\displaystyle b^{2}\notin \mathbb {R} ,b^{2}\to \mathbb {Q} _{<0}}$ ${\displaystyle b^{2}\in \mathbb {Q} _{<0}}$

Modelos WZW

La teoría de Liouville se puede obtener a partir del modelo de Wess-Zumino-Witten mediante una reducción cuántica de Drinfeld-Sokolov . Además, las funciones de correlación del modelo (la versión euclidiana del modelo WZW) pueden expresarse en términos de funciones de correlación de la teoría de Liouville. ^{[11] [12]} Esto también se aplica a las funciones de correlación del modelo de clase lateral de agujero negro 2D. ^[11] Además, existen teorías que interpolan continuamente entre la teoría de Liouville y el modelo. ^[13] ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle SL_{2}/U_{1}}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}}$

Teoría conforme de Toda

La teoría de Liouville es el ejemplo más simple de una teoría de campos de Toda , asociada a la matriz de Cartan . Las teorías conformes de Toda más generales pueden verse como generalizaciones de la teoría de Liouville, cuyos lagrangianos involucran varios bosones en lugar de un bosón , y cuyas álgebras de simetría son álgebras W en lugar del álgebra de Virasoro. ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Teoría supersimétrica de Liouville

La teoría de Liouville admite dos extensiones supersimétricas diferentes llamadas teoría de Liouville supersimétrica y teoría de Liouville supersimétrica. ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

Relaciones con modelos integrables

Modelo de Sinh-Gordon

En el espacio plano, el modelo de Sinh-Gordon está definido por la acción local:

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\left(\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi +\lambda \cosh(2b\varphi )\right).}$

La ecuación clásica de movimiento correspondiente es la ecuación de Sinh-Gordon . El modelo puede verse como una perturbación de la teoría de Liouville. La matriz S exacta del modelo se conoce en el régimen de acoplamiento débil y es formalmente invariante en el régimen de acoplamiento débil . Sin embargo, se ha argumentado que el modelo en sí no es invariante. ^[15] ${\displaystyle 0<b<1}$ ${\displaystyle b\to b^{-1}}$

Aplicaciones

gravedad de liouville

En dos dimensiones, las ecuaciones de Einstein se reducen a la ecuación de Liouville , por lo que la teoría de Liouville proporciona una teoría cuántica de la gravedad que se denomina gravedad de Liouville. No debe confundirse ^{[16] [17]} con el modelo CGHS o la gravedad de Jackiw-Teitelboim .

Teoria de las cuerdas

La teoría de Liouville aparece en el contexto de la teoría de cuerdas al intentar formular una versión no crítica de la teoría en la formulación integral de trayectoria . ^[18] La teoría también aparece como la descripción de la teoría de cuerdas bosónicas en dos dimensiones del espacio-tiempo con un dilatón lineal y un fondo taquiónico . La ecuación de movimiento del campo de taquiones en el fondo de dilatón lineal requiere que tome una solución exponencial. La acción de Polyakov en este contexto es entonces idéntica a la teoría de campos de Liouville, siendo el dilatón lineal responsable del término de carga de fondo mientras que el taquión aporta el potencial exponencial. ^[19]

Modelos de energía aleatorios

Existe un mapeo exacto entre la teoría de Liouville y ciertos modelos de energía aleatorios correlacionados logarítmicamente . ^[20] Estos modelos describen una partícula térmica en un potencial aleatorio que está correlacionado logarítmicamente. En dos dimensiones, dicho potencial coincide con el campo libre gaussiano . En ese caso, ciertas funciones de correlación entre campos primarios en la teoría de Liouville se asignan a funciones de correlación de la medida de Gibbs de la partícula. Esto tiene aplicaciones para las estadísticas de valores extremos del campo libre gaussiano bidimensional y permite predecir ciertas propiedades universales de los modelos de energía aleatorios correlacionados logarítmicamente (en dos dimensiones y más allá). ${\displaystyle c\geq 25}$

Otras aplicaciones

La teoría de Liouville está relacionada con otros temas de física y matemáticas, como la relatividad general tridimensional en espacios curvados negativamente , el problema de uniformización de superficies de Riemann y otros problemas de mapeo conforme . También está relacionado con las funciones de partición instantónicas en ciertas teorías de calibre superconformes de cuatro dimensiones mediante la correspondencia AGT .

Confusión de nombres para c ≤ 1 {\displaystyle c\leq 1}

La teoría de Liouville apareció por primera vez como modelo de teoría de cuerdas dependiente del tiempo bajo el nombre de teoría de Liouville temporal . ^[21] También se le ha llamado modelo mínimo generalizado . ^[22] Se llamó por primera vez teoría de Liouville cuando se descubrió que realmente existía y que era más espacial que temporal. ^[4] A partir de 2022, ninguno de estos tres nombres es universalmente aceptado. ${\displaystyle c\leq 1}$

Referencias

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enlaces externos

• Los matemáticos demuestran que la versión 2D de la gravedad cuántica realmente funciona, artículo de la revista Quanta de Charlie Wood, junio de 2021.
• Introducción a la teoría de Liouville, charla en el Instituto de Estudios Avanzados a cargo de Antti Kupiainen , mayo de 2018.