Onda de materia

Ondas mecánicas cuánticas que describen la materia

Las ondas de materia son una parte central de la teoría de la mecánica cuántica , siendo la mitad de la dualidad onda-partícula . En todas las escalas en las que las mediciones han sido prácticas, la materia exhibe un comportamiento similar al de las ondas . Por ejemplo, un haz de electrones puede difractarse igual que un haz de luz o una onda de agua.

El concepto de que la materia se comporta como una onda fue propuesto por el físico francés Louis de Broglie ( / dəˈbrɔɪ / ) en 1924 , por lo que las ondas de materia también se conocen como ondas de Broglie .

La longitud de onda de De Broglie es la longitud de onda , λ , asociada con una partícula con momento p a través de la constante de Planck , h : $${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$$

El comportamiento ondulatorio de la materia se ha demostrado experimentalmente, primero para los electrones en 1927 y, en los años posteriores, para otras partículas elementales , átomos neutros y moléculas .

Introducción

Fondo

A finales del siglo XIX, se pensaba que la luz estaba formada por ondas de campos electromagnéticos que se propagaban según las ecuaciones de Maxwell , mientras que la materia estaba formada por partículas localizadas (véase historia de la dualidad onda-partícula ). En 1900, esta división fue cuestionada cuando, investigando la teoría de la radiación del cuerpo negro , Max Planck propuso que la energía térmica de los átomos oscilantes se divide en porciones discretas, o cuantos. ^[1] Ampliando la investigación de Planck de varias maneras, incluida su conexión con el efecto fotoeléctrico , Albert Einstein propuso en 1905 que la luz también se propaga y absorbe en cuantos, ^{[2] : 87} ahora llamados fotones . Estos cuantos tendrían una energía dada por la relación de Planck-Einstein : y un vector de momento donde ν ( letra griega minúscula nu ) y λ ( letra griega minúscula lambda ) denotan la frecuencia y longitud de onda de la luz, c la velocidad de la luz y h la constante de Planck . ^[3] En la convención moderna, la frecuencia se simboliza por f como se hace en el resto de este artículo. El postulado de Einstein fue verificado experimentalmente ^{[2] : 89} por KT Compton y OW Richardson ^[4] y por AL Hughes ^[5] en 1912 y luego con más cuidado incluyendo una medición de la constante de Planck en 1916 por Robert Millikan ^[6]. $${\displaystyle E=h\nu }$$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|=p={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }},}$$

Hipótesis de De Broglie

Propagación de ondas de De Broglie en una dimensión: la parte real de la amplitud compleja es azul, la parte imaginaria es verde. La probabilidad (mostrada como la opacidad del color ) de encontrar la partícula en un punto dado x se extiende como una forma de onda; no hay una posición definida de la partícula. A medida que la amplitud aumenta por encima de cero, la pendiente disminuye, por lo que la amplitud disminuye nuevamente, y viceversa. El resultado es una amplitud alterna: una onda. Arriba: onda plana . Abajo: paquete de ondas .

Cuando concebí las primeras ideas básicas de la mecánica ondulatoria en 1923-1924, me guié por el objetivo de realizar una síntesis física real, válida para todas las partículas, de la coexistencia de la onda y de los aspectos corpusculares que Einstein había introducido para los fotones en su teoría de los cuantos de luz en 1905.

—de  Broglie ^[7]

De Broglie , en su tesis doctoral de 1924, ^[8] propuso que, así como la luz tiene propiedades tanto ondulatorias como particuladas, los electrones también tienen propiedades ondulatorias. Su tesis partía de la hipótesis de que "a cada porción de energía con una masa propia m ₀ se le puede asociar un fenómeno periódico de frecuencia ν ₀ , de modo que se encuentra: hν ₀ = m ₀ c ² . La frecuencia ν ₀ se mide, por supuesto, en el marco de reposo del paquete de energía. Esta hipótesis es la base de nuestra teoría". ^{[9] [8] : 8  [10] [11] [12] [13]} (Esta frecuencia también se conoce como frecuencia Compton ).

Para encontrar la longitud de onda equivalente a un cuerpo en movimiento, de Broglie ^{[2] : 214} fijó la energía total de la relatividad especial para ese cuerpo igual a hν : $${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=h\nu }$$

(La física moderna ya no utiliza esta forma de energía total; la relación energía-momento ha demostrado ser más útil.) De Broglie identificó la velocidad de la partícula, v , con la velocidad del grupo de ondas en el espacio libre: $${\displaystyle v_{\text{g}}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {d\nu }{d(1/\lambda )}}}$$

(La definición moderna de velocidad de grupo utiliza la frecuencia angular ω y el número de onda k ). Aplicando las diferenciales a la ecuación de energía e identificando el momento relativista : $${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

Luego, integrando, de Broglie llegó a su fórmula para la relación entre la longitud de onda , λ , asociada a un electrón y el módulo de su momento , p , a través de la constante de Planck , h : ^[14] $${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$$

Ecuación de onda (de materia) de Schrödinger

Siguiendo las ideas de De Broglie, el físico Peter Debye hizo un comentario informal de que si las partículas se comportaran como ondas, deberían satisfacer algún tipo de ecuación de onda. Inspirado por la observación de Debye, Erwin Schrödinger decidió encontrar una ecuación de onda tridimensional adecuada para el electrón. Se guió por la analogía de William Rowan Hamilton entre mecánica y óptica (véase la analogía óptico-mecánica de Hamilton ), codificada en la observación de que el límite de longitud de onda cero de la óptica se asemeja a un sistema mecánico: las trayectorias de los rayos de luz se convierten en pistas nítidas que obedecen al principio de Fermat , un análogo del principio de mínima acción . ^[15]

En 1926, Schrödinger publicó la ecuación de onda que ahora lleva su nombre ^[16] – el análogo de onda de materia de las ecuaciones de Maxwell – y la utilizó para derivar el espectro de energía del hidrógeno . Las frecuencias de las soluciones de la ecuación de Schrödinger no relativista difieren de las ondas de De Broglie por la frecuencia Compton ya que la energía correspondiente a la masa en reposo de una partícula no es parte de la ecuación de Schrödinger no relativista. La ecuación de Schrödinger describe la evolución temporal de una función de onda , una función que asigna un número complejo a cada punto en el espacio. Schrödinger intentó interpretar el módulo al cuadrado de la función de onda como una densidad de carga. Este enfoque, sin embargo, no tuvo éxito. ^{[17] [18] [19]} Max Born propuso que el módulo al cuadrado de la función de onda es en cambio una densidad de probabilidad , una propuesta exitosa ahora conocida como la regla de Born . ^[17]

Densidad de probabilidad en el espacio de posición de un estado inicialmente gaussiano que se mueve en una dimensión con un momento constante y mínimamente incierto en el espacio libre

El año siguiente, 1927, CG Darwin (nieto del famoso biólogo ) exploró la ecuación de Schrödinger en varios escenarios idealizados. ^[20] Para un electrón no ligado en el espacio libre, calculó la propagación de la onda, suponiendo un paquete de ondas gaussiano inicial . Darwin demostró que en un momento posterior la posición del paquete que viaja a velocidad sería donde es la incertidumbre en la posición inicial. Esta incertidumbre de posición crea incertidumbre en la velocidad (el segundo término adicional en la raíz cuadrada) consistente con la relación de incertidumbre de Heisenberg El paquete de ondas se propaga como se muestra en la figura. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}$$ ${\displaystyle \sigma }$

Confirmación experimental

En 1927, se confirmó experimentalmente por primera vez la existencia de ondas de materia en el experimento de difracción de George Paget Thomson y Alexander Reid ^[21] y en el experimento de Davisson-Germer ^{[22] [23]} , ambos para electrones.

La hipótesis de De Broglie y la existencia de ondas de materia se han confirmado para otras partículas elementales, se ha demostrado que los átomos neutros e incluso las moléculas son ondulatorias. ^[24]

Los primeros patrones de interferencia de ondas de electrones que demostraron directamente la dualidad onda-partícula utilizaron biprismas electrónicos ^{[25] [26]} (esencialmente un alambre colocado en un microscopio electrónico) y midieron electrones individuales que formaban el patrón de difracción. Recientemente, una copia cercana del famoso experimento de doble rendija ^{[27] : 260} usando electrones a través de aberturas físicas dio como resultado la película que se muestra. ^[28]

Patrón de difracción de doble rendija de ondas de materia que va formando electrón a electrón. Cada punto blanco representa un único electrón que choca con un detector; con una cantidad estadísticamente grande de electrones aparecen franjas de interferencia. ^[28]

Electrones

En 1927, en los Laboratorios Bell, Clinton Davisson y Lester Germer dispararon electrones de movimiento lento a un objetivo de níquel cristalino . ^{[22] [23]} Se midió la intensidad de los electrones difractados y se determinó que tenía una dependencia angular similar a los patrones de difracción predichos por Bragg para los rayos X. Al mismo tiempo, George Paget Thomson y Alexander Reid, de la Universidad de Aberdeen, disparaban electrones de forma independiente a láminas delgadas de celuloide y, más tarde, películas de metal, y observaron anillos que se pueden interpretar de forma similar. ^[21] (Alexander Reid, que era estudiante de posgrado de Thomson, realizó los primeros experimentos, pero murió poco después en un accidente de motocicleta ^[29] y rara vez se lo menciona). Antes de la aceptación de la hipótesis de De Broglie, la difracción era una propiedad que se pensaba que solo exhibían las ondas. Por lo tanto, la presencia de cualquier efecto de difracción por parte de la materia demostraba la naturaleza ondulatoria de la materia. ^[30] La interpretación de las ondas de materia fue colocada sobre una base sólida en 1928 por Hans Bethe , ^[31] quien resolvió la ecuación de Schrödinger , ^[16] mostrando cómo esto podría explicar los resultados experimentales. Su enfoque es similar al que se utiliza en los enfoques modernos de difracción de electrones . ^{[32] [33]}

Este fue un resultado fundamental en el desarrollo de la mecánica cuántica . Así como el efecto fotoeléctrico demostró la naturaleza corpuscular de la luz, estos experimentos demostraron la naturaleza ondulatoria de la materia.

Neutrones

Neutrones , producidos en reactores nucleares con energía cinética de alrededor de1 MeV , termalizar a alrededor de0,025 eV a medida que se dispersan desde los átomos ligeros. La longitud de onda de De Broglie resultante (alrededor de180  pm ) coincide con el espaciamiento interatómico y los neutrones se dispersan fuertemente desde los átomos de hidrógeno. En consecuencia, las ondas de materia de neutrones se utilizan en cristalografía , especialmente para materiales biológicos. ^[34] Los neutrones se descubrieron a principios de la década de 1930 y su difracción se observó en 1936. ^[35] En 1944, Ernest O. Wollan , con experiencia en dispersión de rayos X de su trabajo de doctorado ^[36] con Arthur Compton , reconoció el potencial para aplicar neutrones térmicos del recién operativo reactor nuclear X-10 a la cristalografía . Junto con Clifford G. Shull , desarrollaron ^[37] la difracción de neutrones a lo largo de la década de 1940. En la década de 1970, un interferómetro de neutrones demostró la acción de la gravedad en relación con la dualidad onda-partícula. ^[38] El experimento de doble rendija se realizó utilizando neutrones en 1988. ^[39]

Átomos

La interferencia de ondas de materia atómica fue observada por primera vez por Immanuel Estermann y Otto Stern en 1930, cuando un haz de Na se difractó en una superficie de NaCl. ^[40] La corta longitud de onda de De Broglie de los átomos impidió el progreso durante muchos años hasta que dos avances tecnológicos reavivaron el interés: la microlitografía, que permitió la creación de dispositivos pequeños y precisos, y el enfriamiento por láser, que permitió frenar los átomos, lo que aumentó su longitud de onda de De Broglie. ^[41] El experimento de doble rendija en átomos se realizó en 1991. ^[42]

Los avances en refrigeración por láser permitieron enfriar átomos neutros hasta temperaturas nanokelvin. A estas temperaturas, las longitudes de onda de De Broglie se encuentran en el rango micrométrico. Mediante la difracción de Bragg de átomos y una técnica de interferometría de Ramsey, se midió explícitamente la longitud de onda de De Broglie de átomos de sodio fríos y se descubrió que era consistente con la temperatura medida por un método diferente. ^[43]

Moléculas

Experimentos recientes confirman las relaciones para moléculas e incluso macromoléculas que de otro modo podrían considerarse demasiado grandes para sufrir efectos mecánicos cuánticos. En 1999, un equipo de investigación en Viena demostró la difracción para moléculas tan grandes como los fulerenos . ^[44] Los investigadores calcularon una longitud de onda de De Broglie de la velocidad C _{60 más probable como}14.5  h . Experimentos más recientes prueban la naturaleza cuántica de moléculas formadas por 810 átomos y con una masa de10 123  Da . ^[45] A partir de 2019, esto se ha trasladado a las moléculas de25 000  Da . ^[46]

En estos experimentos, la acumulación de tales patrones de interferencia se pudo registrar en tiempo real y con la sensibilidad de una sola molécula. ^[47] Las moléculas grandes ya son tan complejas que brindan acceso experimental a algunos aspectos de la interfaz cuántico-clásica, es decir, a ciertos mecanismos de decoherencia . ^{[48] [49]}

Otros

Se detectaron ondas de materia en moléculas de van der Waals , ^[50] mesones rho , ^{[51] [52]} condensado de Bose-Einstein . ^[53]

Ondas de materia viajeras

Las ondas tienen conceptos más complicados para la velocidad que los objetos sólidos. El enfoque más simple es centrarse en la descripción en términos de ondas de materia plana para una partícula libre , que es una función de onda descrita por donde es una posición en el espacio real, es el vector de onda en unidades de metros inversos, ω es la frecuencia angular con unidades de tiempo inverso y es tiempo. (Aquí se utiliza la definición de física para el vector de onda, que es veces el vector de onda utilizado en cristalografía , ver vector de onda ). Las ecuaciones de De Broglie relacionan la longitud de onda λ con el módulo del momento y la frecuencia f con la energía total E de una partícula libre como se escribió anteriormente: ^[54] donde h es la constante de Planck . Las ecuaciones también se pueden escribir como Aquí, ħ = h /2 π es la constante de Planck reducida. La segunda ecuación también se conoce como la relación de Planck-Einstein . $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} |=p}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ={\frac {2\pi }{|\mathbf {k} |}}={\frac {h}{p}}\\&f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {E}{h}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \\&E=\hbar \omega ,\\\end{aligned}}}$$

Velocidad de grupo

En la hipótesis de De Broglie, la velocidad de una partícula es igual a la velocidad de grupo de la onda de materia. ^{[2] : 214} En medios isótropos o en el vacío, la velocidad de grupo de una onda se define por: La relación entre la frecuencia angular y el vector de onda se denomina relación de dispersión . Para el caso no relativista, es: donde es la masa en reposo. Al aplicar la derivada se obtiene la velocidad de grupo de la onda de materia (no relativista) : A modo de comparación, la velocidad de grupo de la luz, con una dispersión , es la velocidad de la luz . $${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\partial \omega (\mathbf {k} )}{\partial \mathbf {k} }}}$$ $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$ ${\displaystyle m_{0}}$ $${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m_{0}}}}$$ ${\displaystyle \omega (k)=ck}$ ${\displaystyle c}$

Como alternativa, utilizando la relación de dispersión relativista para ondas de materia , entonces Esta forma relativista se relaciona con la velocidad de fase como se analiza a continuación. $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.}$$ $${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\mathbf {k} c^{2}}{\omega }}}$$

Para medios no isotrópicos utilizamos en su lugar la forma energía-momento : $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (\mathbf {p} /\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}.\end{aligned}}}$$

Pero (ver abajo), dado que la velocidad de fase es , entonces donde es la velocidad del centro de masa de la partícula, idéntica a la velocidad del grupo. ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }=E/\mathbf {p} =c^{2}/\mathbf {v} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} _{\mathrm {p} }}}\\&=\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Velocidad de fase

La velocidad de fase en medios isótropos se define como: Utilizando la velocidad de grupo relativista anterior: ^{[2] : 215} Esto demuestra que, como informaron RW Ditchburn en 1948 y JL Synge en 1952. Las ondas electromagnéticas también obedecen a , ya que tanto y . Dado que para las ondas de materia, , se deduce que , pero solo la velocidad de grupo transporta información. Por lo tanto, la velocidad de fase superlumínica no viola la relatividad especial, ya que no transporta información. $${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}}$$ $${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {c^{2}}{\mathbf {v_{g}} }}}$$ ${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |=c}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |=c}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |<c}$ ${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |>c}$

Para medios no isotrópicos, entonces $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}={\frac {E/\hbar }{\mathbf {p} /\hbar }}={\frac {E}{\mathbf {p} }}.}$$

Usando las relaciones relativistas para la energía y el momento se obtiene La variable puede interpretarse como la velocidad de la partícula o la velocidad de grupo de la onda de materia correspondiente—las dos son lo mismo. Dado que la velocidad de la partícula para cualquier partícula que tiene masa distinta de cero (según la relatividad especial ), la velocidad de fase de las ondas de materia siempre excede c , es decir, que se acerca a c cuando la velocidad de la partícula es relativista. La velocidad de fase superlumínica no viola la relatividad especial, similar al caso anterior para medios no isotrópicos. Vea el artículo sobre Dispersión (óptica) para más detalles. $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {E}{\mathbf {p} }}={\frac {mc^{2}}{m\mathbf {v} }}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}\mathbf {v} }}={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} }}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle |\mathbf {v} |<c}$ $${\displaystyle |\mathbf {v} _{\mathrm {p} }|>c,}$$

Relatividad especial

Usando dos fórmulas de la relatividad especial , una para la energía de masa relativista y otra para el momento relativista, las ecuaciones para la longitud de onda y frecuencia de De Broglie se pueden escribir como donde es la velocidad , el factor de Lorentz y la velocidad de la luz en el vacío. ^{[55] [56]} Esto muestra que a medida que la velocidad de una partícula se acerca a cero (reposo), la longitud de onda de De Broglie se acerca al infinito. $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}\\[1ex]\mathbf {p} &=m\mathbf {v} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\[2.38ex]&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle v=|\mathbf {v} |}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$

Cuatro vectores

Usando cuatro vectores, las relaciones de De Broglie forman una única ecuación: que es independiente del marco de referencia. De la misma manera, la relación entre la velocidad del grupo/partícula y la velocidad de fase se da en forma independiente del marco de referencia por: donde $${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} ,}$$

• Cuatro momentos ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\mathbf {p} }\right)}$
• Vector de cuatro ondas ${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\mathbf {k} }\right)}$
• Cuatro velocidades ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\mathbf {u} })=\gamma (c,v_{\mathrm {g} }{\hat {\mathbf {u} }})}$

Ondas de materia general

Las secciones anteriores se refieren específicamente a partículas libres cuyas funciones de onda son ondas planas. Existe un número significativo de otras ondas de materia, que pueden dividirse en tres clases: ondas de materia de una sola partícula, ondas de materia colectivas y ondas estacionarias.

Ondas de materia de una sola partícula

La descripción más general de las ondas de materia correspondientes a un único tipo de partícula (por ejemplo, un único electrón o neutrón solamente) tendría una forma similar a donde ahora hay un término espacial adicional al frente, y la energía se ha escrito de manera más general como una función del vector de onda. Los diversos términos dados antes todavía se aplican, aunque la energía ya no es siempre proporcional al cuadrado del vector de onda. Un enfoque común es definir una masa efectiva que en general es un tensor dado por de modo que en el caso simple donde todas las direcciones son las mismas la forma es similar a la de una onda libre anterior. En general, la velocidad de grupo se reemplazaría por la corriente de probabilidad ^[57] donde es el operador del o gradiente . El momento se describiría entonces utilizando el operador de momento cinético , ^[57] La ​​longitud de onda todavía se describe como la inversa del módulo del vector de onda, aunque la medición es más compleja. Hay muchos casos en los que se utiliza este enfoque para describir ondas de materia de una sola partícula: $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -iE(\mathbf {k} )t/\hbar )}$$ ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle m_{ij}^{*}}$ $${\displaystyle {m_{ij}^{*}}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$$ $${\displaystyle E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} )={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}(\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )-\psi (\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi ^{*}(\mathbf {r} )\right)}$$ ${\displaystyle \nabla }$ $${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$$

• Ondas de Bloch , que forman la base de gran parte de la estructura de bandas descrita en Ashcroft y Mermin , y también se utilizan para describir la difracción de electrones de alta energía por sólidos. ^{[58] [33]}
• Ondas con momento angular como haces de vórtices de electrones . ^[59]
• Ondas evanescentes , en las que el componente del vector de onda en una dirección es complejo. Son comunes cuando se reflejan ondas de materia, en particular en la difracción de incidencia rasante .

Ondas de materia colectiva

Otras clases de ondas de materia involucran más de una partícula, por lo que se denominan ondas colectivas y, a menudo, son cuasipartículas . Muchas de ellas se producen en sólidos (consulte Ashcroft y Mermin) . Algunos ejemplos incluyen:

• En los sólidos, una cuasipartícula electrónica es un electrón en el que se han incluido interacciones con otros electrones en el sólido. Una cuasipartícula electrónica tiene la misma carga y espín que un electrón "normal" ( partícula elemental ) y, al igual que un electrón normal, es un fermión . Sin embargo, su masa efectiva puede diferir sustancialmente de la de un electrón normal. ^[60] Su campo eléctrico también se modifica, como resultado del apantallamiento del campo eléctrico .
• Un agujero es una cuasipartícula que puede considerarse como una vacante de un electrón en un estado; se utiliza más comúnmente en el contexto de estados vacíos en la banda de valencia de un semiconductor . ^[60] Un agujero tiene la carga opuesta de un electrón.
• Un polarón es una cuasipartícula donde un electrón interactúa con la polarización de los átomos cercanos.
• Un excitón es un par de electrones y huecos que están unidos.
• Un par de Cooper son dos electrones unidos entre sí, de modo que se comportan como una única onda de materia.

Ondas de materia estacionaria

Algunas trayectorias de una partícula en una caja según las leyes de Newton de la mecánica clásica (A) y ondas de materia (B–F). En (B–F), el eje horizontal es la posición y el eje vertical es la parte real (azul) y la parte imaginaria (roja) de la función de onda . Los estados (B, C, D) son estados propios de energía , pero (E, F) no lo son.

La tercera clase son las ondas de materia que tienen un vector de onda, una longitud de onda y varían con el tiempo, pero tienen una velocidad de grupo o flujo de probabilidad cero . La más simple de estas, similar a la notación anterior, sería Estas ocurren como parte de la partícula en una caja y otros casos como en un anillo . Esto puede, y podría decirse que debería, extenderse a muchos otros casos. Por ejemplo, en un trabajo temprano de Broglie utilizó el concepto de que una onda de materia de electrones debe ser continua en un anillo para conectarse con la condición de Bohr-Sommerfeld en los primeros enfoques de la mecánica cuántica. ^[61] En ese sentido, los orbitales atómicos alrededor de los átomos, y también los orbitales moleculares son ondas de materia de electrones. ^{[62] [63] [64]} $${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$$

Ondas de materia vs. ondas electromagnéticas (luz)

Schrödinger aplicó la analogía óptico-mecánica de Hamilton para desarrollar su mecánica ondulatoria para partículas subatómicas ^{[65] : xi} En consecuencia, las soluciones ondulatorias de la ecuación de Schrödinger comparten muchas propiedades con los resultados de la óptica de ondas de luz . En particular, la fórmula de difracción de Kirchhoff funciona bien para la óptica electrónica ^{[27] : 745} y para la óptica atómica . ^[66] La aproximación funciona bien siempre que los campos eléctricos cambien más lentamente que la longitud de onda de De Broglie. Los aparatos macroscópicos cumplen esta condición; los electrones lentos que se mueven en sólidos no.

Más allá de las ecuaciones de movimiento, otros aspectos de la óptica de ondas de materia difieren de los casos correspondientes de la óptica de la luz.

Sensibilidad de las ondas de materia a las condiciones ambientales. Muchos ejemplos de difracción electromagnética (de luz) ocurren en el aire bajo muchas condiciones ambientales. Obviamente , la luz visible interactúa débilmente con las moléculas del aire. Por el contrario, las partículas que interactúan fuertemente, como los electrones y las moléculas lentas, requieren vacío: las propiedades de las ondas de materia se desvanecen rápidamente cuando se exponen incluso a bajas presiones de gas. ^[67] Con aparatos especiales, los electrones de alta velocidad se pueden utilizar para estudiar líquidos y gases . Los neutrones, una excepción importante, interactúan principalmente mediante colisiones con núcleos y, por lo tanto, viajan varios cientos de pies en el aire. ^[68]

Dispersión. Las ondas de luz de todas las frecuencias viajan a la misma velocidad de la luz , mientras que la velocidad de las ondas de materia varía considerablemente con la frecuencia. La relación entre la frecuencia (proporcional a la energía) y el número de onda o la velocidad (proporcional al momento) se denomina relación de dispersión . Las ondas de luz en el vacío tienen una relación de dispersión lineal entre la frecuencia: . Para las ondas de materia, la relación no es lineal: Esta relación de dispersión de ondas de materia no relativista dice que la frecuencia en el vacío varía con el número de onda ( ) en dos partes: una parte constante debido a la frecuencia de De Broglie de la masa en reposo ( ) y una parte cuadrática debido a la energía cinética. El término cuadrático causa una rápida propagación de los paquetes de ondas de materia . ${\displaystyle \omega =ck}$ $${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$ ${\displaystyle k=1/\lambda }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$

Coherencia La visibilidad de las características de difracción utilizando un enfoque de teoría óptica depende de la coherencia del haz , ^[27] que a nivel cuántico es equivalente a un enfoque de matriz de densidad . ^{[69] [70]} Al igual que con la luz, la coherencia transversal (a través de la dirección de propagación) se puede aumentar mediante colimación . Los sistemas ópticos electrónicos utilizan alto voltaje estabilizado para dar una distribución de energía estrecha en combinación con lentes colimadoras (paralelizadoras) y fuentes de filamentos puntiagudos para lograr una buena coherencia. ^[71] Debido a que la luz en todas las frecuencias viaja a la misma velocidad, la coherencia longitudinal y temporal están vinculadas; en las ondas de materia, estas son independientes. Por ejemplo, para los átomos, la selección de velocidad (energía) controla la coherencia longitudinal y la pulsación o el corte controla la coherencia temporal. ^{[66] : 154}

Ondas de materia con forma óptica La manipulación óptica de la materia desempeña un papel fundamental en la óptica de ondas de materia: "Las ondas de luz pueden actuar como estructuras refractivas, reflectantes y absorbentes para las ondas de materia, de la misma manera que el vidrio interactúa con las ondas de luz". ^[72] La transferencia de momento de la luz láser puede enfriar partículas de materia y alterar el estado de excitación interna de los átomos. ^[73]

Experimentos con múltiples partículas Si bien las ecuaciones de ondas ópticas y de materia en espacio libre de partículas individuales son idénticas, los sistemas con múltiples partículas, como los experimentos de coincidencia , no lo son. ^[74]

Aplicaciones de las ondas de materia

Las siguientes subsecciones proporcionan enlaces a páginas que describen aplicaciones de ondas de materia como sondas de materiales o de propiedades cuánticas fundamentales . En la mayoría de los casos, se trata de algún método para producir ondas de materia que viajan y que inicialmente tienen la forma simple , y luego se utilizan para sondear materiales. ${\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t)}$

Como se muestra en la tabla siguiente, la masa de las ondas de materia varía en 6 órdenes de magnitud y la energía en 9 órdenes, pero las longitudes de onda están todas en el rango de los picómetros , comparables a los espaciamientos atómicos. ( Los diámetros atómicos varían de 62 a 520 pm, y la longitud típica de un enlace simple carbono-carbono es de 154 pm). Alcanzar longitudes de onda más largas requiere técnicas especiales como el enfriamiento por láser para alcanzar energías más bajas; las longitudes de onda más cortas hacen que los efectos de difracción sean más difíciles de discernir. ^[41] Por lo tanto, muchas aplicaciones se centran en las estructuras materiales , en paralelo con las aplicaciones de las ondas electromagnéticas, especialmente los rayos X. A diferencia de la luz, las partículas de ondas de materia pueden tener masa , carga eléctrica , momentos magnéticos y estructura interna, lo que presenta nuevos desafíos y oportunidades.

Electrones

Los patrones de difracción de electrones surgen cuando los electrones energéticos reflejan o penetran sólidos ordenados; el análisis de los patrones conduce a modelos de la disposición atómica en los sólidos.

Se utilizan para obtener imágenes desde la escala micrométrica hasta la atómica mediante microscopios electrónicos , en transmisión , mediante escaneo y para superficies a bajas energías .

Las mediciones de la energía que pierden en la espectroscopia de pérdida de energía de los electrones proporcionan información sobre la química y la estructura electrónica de los materiales. Los haces de electrones también dan lugar a rayos X característicos en la espectroscopia de dispersión de energía que pueden proporcionar información sobre el contenido químico a escala nanométrica.

El efecto túnel cuántico explica cómo los electrones escapan de los metales en un campo electrostático a energías menores que las que permiten las predicciones clásicas: la onda de materia penetra la barrera de la función de trabajo en el metal.

El microscopio de efecto túnel aprovecha la tunelización cuántica para obtener imágenes de la capa atómica superior de superficies sólidas.

La holografía electrónica , el análogo de la holografía óptica en materia de ondas electrónicas , investiga los campos eléctricos y magnéticos en películas delgadas.

Neutrones

La difracción de neutrones complementa la difracción de rayos X a través de las diferentes secciones transversales de dispersión y la sensibilidad al magnetismo.

La dispersión de neutrones de ángulo pequeño proporciona una manera de obtener la estructura de sistemas desordenados que son sensibles a elementos ligeros, isótopos y momentos magnéticos.

La reflectometría de neutrones es una técnica de difracción de neutrones para medir la estructura de películas delgadas.

Átomos neutros

Los interferómetros atómicos , similares a los interferómetros ópticos , miden la diferencia de fase entre las ondas de materia atómica a lo largo de diferentes trayectorias.

La óptica atómica imita muchos dispositivos ópticos, incluidos espejos y placas de zona de enfoque atómico.

La microscopía de helio de barrido utiliza ondas de átomos de He para obtener imágenes de estructuras sólidas de forma no destructiva.

La reflexión cuántica utiliza el comportamiento de las ondas de materia para explicar la reflexión atómica de ángulo rasante, la base de algunos espejos atómicos .

Las mediciones de decoherencia cuántica se basan en la interferencia de ondas del átomo Rb.

Moléculas

La superposición cuántica revelada por la interferencia de ondas de materia de moléculas grandes investiga los límites de la dualidad onda-partícula y la macroscopicidad cuántica. ^{[83] [84]}

Los interferómetros de ondas de materia generan nanoestructuras en haces moleculares que pueden leerse con precisión nanométrica y, por lo tanto, pueden usarse para mediciones de fuerza altamente sensibles, a partir de las cuales se puede deducir una gran cantidad de propiedades de moléculas complejas individualizadas. ^[85]

Véase también

• Dualidad onda-partícula
• Modelo de Bohr
• Longitud de onda Compton
• Onda de Faraday
• Efecto Kapitsa-Dirac
• Reloj de ondas de materia
• Ecuación de Schrödinger
• Longitud de onda térmica de Broglie
• Teoría de De Broglie-Bohm

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Lectura adicional

• L. de Broglie, Recherches sur la théorie des quanta (Investigaciones sobre la teoría cuántica), Tesis (París), 1924; L. de Broglie, Ann. Física. (París) 3 , 22 (1925). Traducción al inglés de AF Kracklauer.
• Broglie, Louis de, La naturaleza ondulatoria del electrón. Conferencia Nobel, 12 de diciembre de 1929
• Tipler, Paul A. y Ralph A. Llewellyn (2003). Física moderna . 4.ª ed. Nueva York; WH Freeman and Co. ISBN 0-7167-4345-0 . págs. 203–4, 222–3, 236. 
• Zumdahl, Steven S. (2005). Principios químicos (5.ª ed.). Boston: Houghton Mifflin. ISBN 978-0-618-37206-5.
• Cronin, Alexander D.; Schmiedmayer, Jörg; Pritchard, David E. (28 de julio de 2009). "Óptica e interferometría con átomos y moléculas" (PDF) . Reviews of Modern Physics . 81 (3): 1051–1129. arXiv : 0712.3703 . Bibcode :2009RvMP...81.1051C. doi :10.1103/RevModPhys.81.1051. Archivado desde el original (PDF) el 19 de julio de 2011 – vía Atomwave.
• "Artículos científicos presentados a Max Born con motivo de su jubilación de la Cátedra Tait de Filosofía Natural en la Universidad de Edimburgo", 1953 (Oliver y Boyd)

Enlaces externos

• Bowley, Roger. "Las ondas de De Broglie". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .