Fracción continua generalizada

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , una fracción continua generalizada es una generalización de fracciones continuas regulares en forma canónica, en la que los numeradores parciales y los denominadores parciales pueden asumir valores complejos arbitrarios.

Una fracción continua generalizada es una expresión de la forma

${\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

donde a _n ( n > 0 ) son los numeradores parciales, b _n son los denominadores parciales y el término principal b ₀ se llama parte entera de la fracción continua.

Los convergentes sucesivos de la fracción continua se forman aplicando las fórmulas fundamentales de recurrencia :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\frac {A_{0}}{B_{0}}}=b_{0},\\[4px]x_{1}&={\frac {A_{1}}{B_{1}}}={\frac {b_{1}b_{0}+a_{1}}{b_{1}}},\\[4px]x_{2}&={\frac {A_{2}}{B_{2}}}={\frac {b_{2}(b_{1}b_{0}+a_{1})+a_{2}b_{0}}{b_{2}b_{1}+a_{2}}},\ \dots \end{aligned}}}$

donde A _n es el numerador y B _n es el denominador , llamados continuos , ^{[1] [2]} del n º convergente. Vienen dados por la recursión ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=b_{n}A_{n-1}+a_{n}A_{n-2},\\B_{n}&=b_{n}B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$

con valores iniciales

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1,&A_{0}&=b_{0},\\B_{-1}&=0,&B_{0}&=1.\end{aligned}}}$

Si la secuencia de convergentes { x _n } se aproxima a un límite, la fracción continua es convergente y tiene un valor definido. Si la secuencia de convergentes nunca se aproxima a un límite, la fracción continua es divergente. Puede diverger por oscilación (por ejemplo, los convergentes pares e impares pueden aproximarse a dos límites diferentes), o puede producir un número infinito de denominadores cero B _n .

Historia

La historia de las fracciones continuas comienza con el algoritmo de Euclides ^[4], un procedimiento para hallar el máximo común divisor de dos números naturales m y n . Ese algoritmo introdujo la idea de dividir para extraer un nuevo resto y luego dividir por el nuevo resto repetidamente.

Pasaron casi dos mil años antes de que Bombelli (1579) ideara una técnica para aproximar las raíces de ecuaciones cuadráticas con fracciones continuas a mediados del siglo XVI. Ahora el ritmo de desarrollo se aceleró. Apenas 24 años después, en 1613, Pietro Cataldi introdujo la primera notación formal para la fracción continua generalizada. ^[5] Cataldi representó una fracción continua como

${\displaystyle {a_{0}\cdot }\,\&\,{\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}\,\&\,{\frac {n_{3}}{d_{3}}}}$

con los puntos indicando dónde va la siguiente fracción y cada & representando un signo más moderno.

A finales del siglo XVII, John Wallis introdujo el término "fracción continua" en la literatura matemática. ^[6] Recientemente habían aparecido en escena nuevas técnicas de análisis matemático ( el cálculo de Newton y Leibniz ) y una generación de contemporáneos de Wallis puso en práctica la nueva frase.

En 1748, Euler publicó un teorema que mostraba que un tipo particular de fracción continua es equivalente a una cierta serie infinita muy general . ^[7] La ​​fórmula de fracción continua de Euler sigue siendo la base de muchas pruebas modernas de convergencia de fracciones continuas .

En 1761, Johann Heinrich Lambert dio la primera prueba de que π es irracional , utilizando la siguiente fracción continua para tan x : ^[8]

${\displaystyle \tan(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {-x^{2}}{3+{\cfrac {-x^{2}}{5+{\cfrac {-x^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}}$

Las fracciones continuas también se pueden aplicar a problemas de teoría de números y son especialmente útiles en el estudio de ecuaciones diofánticas . A finales del siglo XVIII, Lagrange utilizó fracciones continuas para construir la solución general de la ecuación de Pell , respondiendo así a una pregunta que había fascinado a los matemáticos durante más de mil años. ^[9] El descubrimiento de Lagrange implica que la expansión en fracción continua canónica de la raíz cuadrada de cada entero no cuadrado es periódica y que, si el período es de longitud p > 1 , contiene una cadena palindrómica de longitud p − 1 .

En 1813, Gauss derivó a partir de funciones hipergeométricas de valores complejos lo que ahora se llama fracciones continuas de Gauss . ^[10] Se pueden utilizar para expresar muchas funciones elementales y algunas funciones más avanzadas (como las funciones de Bessel ), como fracciones continuas que convergen rápidamente en casi todas partes en el plano complejo.

Notación

La expresión de fracción continua larga que se muestra en la introducción es fácil de interpretar para un lector no familiarizado. Sin embargo, ocupa mucho espacio y puede ser difícil de componer. Por ello, los matemáticos han ideado varias notaciones alternativas. Una forma conveniente de expresar una fracción continua generalizada es colocar cada fracción anidada en la misma línea, indicando la anidación mediante signos más colgantes en los denominadores:

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}+}}\,{\frac {a_{2}}{b_{2}+}}\,{\frac {a_{3}}{b_{3}+}}\cdots }$

A veces, los signos más se componen para alinearse verticalmente con los denominadores, pero no debajo de las barras de fracción:

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}{{} \atop +}{\frac {a_{2}}{b_{2}}}{{} \atop +}{\frac {a_{3}}{b_{3}}}{{} \atop +\cdots }}$

Pringsheim escribió una fracción continua generalizada de esta manera:

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid b_{3}}}+\cdots .\,}$

Carl Friedrich Gauss evocó el producto infinito más familiar Π cuando ideó esta notación:

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,}$

Aquí la " K " significa Kettenbruch , la palabra alemana que significa "fracción continua". Esta es probablemente la forma más compacta y conveniente de expresar fracciones continuas; sin embargo, no es muy utilizada por los tipógrafos ingleses.

Algunas consideraciones elementales

A continuación se presentan algunos resultados elementales que son de importancia fundamental para el desarrollo posterior de la teoría analítica de fracciones continuas.

Numeradores y denominadores parciales

Si uno de los numeradores parciales a _{n + 1} es cero, la fracción continua infinita

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

es en realidad sólo una fracción continua finita con n términos fraccionarios y, por lo tanto, una función racional de a ₁ a a _n y b ₀ a b _{n + 1} . Un objeto de este tipo tiene poco interés desde el punto de vista adoptado en el análisis matemático, por lo que generalmente se supone que todos los a _i ≠ 0 . No hay necesidad de colocar esta restricción en los denominadores parciales b _i .

La fórmula determinante

Cuando el n -ésimo convergente de una fracción continua

${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

se expresa como una fracción simple x _n = ⁠Un_​/Bn_​Podemos usar la fórmula determinante

relacionar entre sí los numeradores y denominadores de convergentes sucesivos x _n y x _{n − 1. La demostración de esto se puede ver fácilmente por inducción.}

Caso base

El caso n = 1 resulta de un cálculo muy simple.

Paso inductivo

Supongamos que ( 1 ) se cumple para n − 1. Entonces, necesitamos ver que la misma relación se cumple para n . Sustituyendo el valor de A _n y B _n en ( 1 ), obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}&=b_{n}A_{n-1}B_{n-1}+a_{n}A_{n-1}B_{n-2}-b_{n}A_{n-1}B_{n-1}-a_{n}A_{n-2}B_{n-1}\\&=a_{n}(A_{n-1}B_{n-2}-A_{n-2}B_{n-1})\end{aligned}}}$

lo cual es cierto debido a nuestra hipótesis de inducción.

${\displaystyle A_{n-1}B_{n}-A_{n}B_{n-1}=\left(-1\right)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})\,}$

En concreto, si ni B _n ni B _{n − 1} son cero ( n > 0 ) podemos expresar la diferencia entre los ( n − 1) ésimo y n ésimo convergentes de esta manera:

${\displaystyle x_{n-1}-x_{n}={\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}-{\frac {A_{n}}{B_{n}}}=\left(-1\right)^{n}{\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{B_{n}B_{n-1}}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})}{B_{n}B_{n-1}}}.\,}$

La transformación de equivalencia

Si { c _i } = { c ₁ , c ₂ , c ₃ , ...} es cualquier secuencia infinita de números complejos distintos de cero podemos demostrar, por inducción , que

${\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}=b_{0}+{\cfrac {c_{1}a_{1}}{c_{1}b_{1}+{\cfrac {c_{1}c_{2}a_{2}}{c_{2}b_{2}+{\cfrac {c_{2}c_{3}a_{3}}{c_{3}b_{3}+{\cfrac {c_{3}c_{4}a_{4}}{c_{4}b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

donde la igualdad se entiende como equivalencia, es decir que los convergentes sucesivos de la fracción continua de la izquierda son exactamente los mismos que los convergentes de la fracción de la derecha.

La transformación de equivalencia es perfectamente general, pero dos casos particulares merecen una mención especial. En primer lugar, si ninguno de los a _i es cero, se puede elegir una secuencia { c _i } para que cada numerador parcial sea a 1:

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {1}{c_{i}b_{i}}}\,}$

donde c ₁ = ⁠1/un ₁⁠ , c ₂ = ⁠un ₁/un ₂⁠ , c ₃ = ⁠un ₂/un ₁ un ₃⁠ , y en general c _{n + 1} = ⁠1/un _{n + 1} c _n⁠ .

En segundo lugar, si ninguno de los denominadores parciales b _i es cero, podemos utilizar un procedimiento similar para elegir otra secuencia { d _i } para hacer que cada denominador parcial sea a 1:

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {d_{i}a_{i}}{1}}\,}$

donde d ₁ = ⁠1/el segundo ₁⁠ y en caso contrario d _{n + 1} = ⁠1/bnbn _{+ 1​}​⁠ .

Estos dos casos especiales de la transformación de equivalencia son enormemente útiles cuando se analiza el problema de convergencia general.

Nociones de convergencia

Como se mencionó en la introducción, la fracción continua

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

converge si la sucesión de convergentes { x _n } tiende a un límite finito. Esta noción de convergencia es muy natural, pero a veces es demasiado restrictiva. Por lo tanto, es útil introducir la noción de convergencia general de una fracción continua. Grosso modo, esto consiste en reemplazar la parte de la fracción por w _n , en lugar de por 0, para calcular los convergentes. Los convergentes así obtenidos se denominan convergentes modificados . Decimos que la fracción continua converge de manera general si existe una sucesión tal que la sucesión de convergentes modificados converge para todos los suficientemente distintos de . La sucesión se denomina entonces sucesión excepcional para la fracción continua. Véase el Capítulo 2 de Lorentzen & Waadeland (1992) para una definición rigurosa. ${\displaystyle \operatorname {K} _{i=n}^{\infty }{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}$ ${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$ ${\displaystyle \{w_{n}\}}$ ${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$ ${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$

También existe una noción de convergencia absoluta para fracciones continuas, que se basa en la noción de convergencia absoluta de una serie: se dice que una fracción continua es absolutamente convergente cuando la serie

${\displaystyle f=\sum _{n}\left(f_{n}-f_{n-1}\right),}$

donde son los convergentes de la fracción continua, converge absolutamente . ^[11] El teorema de Śleszyński-Pringsheim proporciona una condición suficiente para la convergencia absoluta. ${\displaystyle f_{n}=\operatorname {K} _{i=1}^{n}{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}$

Finalmente, una fracción continua de una o más variables complejas es uniformemente convergente en un entorno abierto Ω cuando sus convergentes convergen uniformemente en Ω ; es decir, cuando para cada ε > 0 existe M tal que para todo n > M , para todo , ${\displaystyle z\in \Omega }$

${\displaystyle |f(z)-f_{n}(z)|<\varepsilon .}$

Convergentes pares e impares

A veces es necesario separar una fracción continua en sus partes pares e impares. Por ejemplo, si la fracción continua diverge por oscilación entre dos puntos límites distintos p y q , entonces la secuencia { x ₀ , x ₂ , x ₄ , ...} debe converger a uno de ellos, y { x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...} debe converger al otro. En tal situación puede ser conveniente expresar la fracción continua original como dos fracciones continuas diferentes, una de ellas convergente a p y la otra convergente a q .

Las fórmulas para las partes pares e impares de una fracción continua se pueden escribir de forma más compacta si la fracción ya se ha transformado de modo que todos sus denominadores parciales sean la unidad. En concreto, si

${\displaystyle x={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{1}}\,}$

es una fracción continua, entonces la parte par x _par y la parte impar x _impar están dadas por

${\displaystyle x_{\text{even}}={\cfrac {a_{1}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{2}a_{3}}{1+a_{3}+a_{4}-{\cfrac {a_{4}a_{5}}{1+a_{5}+a_{6}-{\cfrac {a_{6}a_{7}}{1+a_{7}+a_{8}-\ddots }}}}}}}}\,}$

y

${\displaystyle x_{\text{odd}}=a_{1}-{\cfrac {a_{1}a_{2}}{1+a_{2}+a_{3}-{\cfrac {a_{3}a_{4}}{1+a_{4}+a_{5}-{\cfrac {a_{5}a_{6}}{1+a_{6}+a_{7}-{\cfrac {a_{7}a_{8}}{1+a_{8}+a_{9}-\ddots }}}}}}}}\,}$

respectivamente. Más precisamente, si los convergentes sucesivos de la fracción continua x son { x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...} , entonces los convergentes sucesivos de x _pares como se escribió anteriormente son { x ₂ , x ₄ , x ₆ , ...} , y los convergentes sucesivos de x _impares son { x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...} . ^[12]

Condiciones para la irracionalidad

Si a ₁ , a ₂ ,... y b ₁ , b ₂ ,... son números enteros positivos con a _k ≤ b _k para todos los k suficientemente grandes , entonces

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

converge a un límite irracional. ^[13]

Fórmulas de recurrencia fundamentales

Los numeradores y denominadores parciales de los convergentes sucesivos de la fracción están relacionados por las fórmulas de recurrencia fundamental :

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1&B_{-1}&=0\\A_{0}&=b_{0}&B_{0}&=1\\A_{n+1}&=b_{n+1}A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}&B_{n+1}&=b_{n+1}B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}\,\end{aligned}}}$

Los convergentes sucesivos de la fracción continua se dan entonces por

${\displaystyle x_{n}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}.\,}$

Estas relaciones de recurrencia se deben a John Wallis (1616-1703) y Leonhard Euler (1707-1783). ^[14] Estas relaciones de recurrencia son simplemente una notación diferente para las relaciones obtenidas por Pietro Antonio Cataldi (1548-1626).

A modo de ejemplo, considere la fracción continua regular en forma canónica que representa la proporción áurea φ :

${\displaystyle x=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots \,}}}}}}}}}$

Aplicando las fórmulas fundamentales de recurrencia encontramos que los numeradores sucesivos A _n son {1, 2, 3, 5, 8, 13, ...} y los denominadores sucesivos B _n son {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} , los números de Fibonacci . Como todos los numeradores parciales en este ejemplo son iguales a uno, la fórmula del determinante nos asegura que el valor absoluto de la diferencia entre convergentes sucesivos se acerca a cero con bastante rapidez.

Transformaciones fraccionarias lineales

Una transformación fraccionaria lineal (LFT) es una función compleja de la forma

${\displaystyle w=f(z)={\frac {a+bz}{c+dz}},\,}$

donde z es una variable compleja, y a , b , c , d son constantes complejas arbitrarias tales que c + dz ≠ 0 . Se impone habitualmente una restricción adicional de que ad ≠ bc , para descartar los casos en los que w = f ( z ) es una constante. La transformación fraccionaria lineal, también conocida como transformación de Möbius , tiene muchas propiedades fascinantes. Cuatro de ellas son de importancia primordial para el desarrollo de la teoría analítica de fracciones continuas.

• Si d ≠ 0 la LFT tiene uno o dos puntos fijos . Esto se puede ver considerando la ecuación

${\displaystyle f(z)=z\Rightarrow dz^{2}+cz=a+bz\,}$

que es claramente una ecuación cuadrática en z . Las raíces de esta ecuación son los puntos fijos de f ( z ) . Si el discriminante ( c − b ) ² + 4 ad es cero, la LFT fija un único punto; de lo contrario, tiene dos puntos fijos.

• Si ad ≠ bc, la LFT es una función conforme invertible del plano complejo extendido sobre sí mismo. En otras palabras, esta LFT tiene una función inversa

${\displaystyle z=g(w)={\frac {-a+cw}{b-dw}}\,}$

de modo que f ( g ( z )) = g ( f ( z )) = z para cada punto z en el plano complejo extendido, y tanto f como g conservan ángulos y formas en escalas extremadamente pequeñas. De la forma de z = g ( w ) vemos que g también es una LFT.

• La composición de dos LFT diferentes para las que ad ≠ bc es en sí misma una LFT para la que ad ≠ bc . En otras palabras, el conjunto de todas las LFT para las que ad ≠ bc está cerrado bajo la composición de funciones. La colección de todas esas LFT, junto con la composición de funciones de "operación de grupo", se conoce como el grupo de automorfismos del plano complejo extendido.
• Si b = 0 la LFT se reduce a

${\displaystyle w=f(z)={\frac {a}{c+dz}},\,}$

que es una función meromórfica muy simple de z con un polo simple (en − ⁠do/d⁠ ) ​​y un residuo igual a ⁠a/d⁠ . (Véase también la serie Laurent .)

La fracción continua como composición de las LFT

Considere una secuencia de transformaciones fraccionarias lineales simples

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{0}(z)&=b_{0}+z,\\[4px]\tau _{1}(z)&={\frac {a_{1}}{b_{1}+z}},\\[4px]\tau _{2}(z)&={\frac {a_{2}}{b_{2}+z}},\\[4px]\tau _{3}(z)&={\frac {a_{3}}{b_{3}+z}},\\&\;\vdots \end{aligned}}}$

Aquí usamos τ para representar cada LFT simple y adoptamos la notación circular convencional para la composición de funciones. También introducimos un nuevo símbolo Τ _n para representar la composición de n + 1 transformaciones τ _i ; es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)=\tau _{0}{\big (}\tau _{1}(z){\big )},\\{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)=\tau _{0}{\Big (}\tau _{1}{\big (}\tau _{2}(z){\big )}{\Big )},\,\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Mediante la sustitución directa del primer conjunto de expresiones en el segundo, vemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+z}}\\[4px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+z}}}}\,\end{aligned}}}$

y, en general,

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}\circ \cdots \circ \tau _{n}(z)=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

donde el último denominador parcial en la fracción continua finita K se entiende como b _n + z . Y, como b _n + 0 = b _n , la imagen del punto z = 0 bajo la LFT iterada Τ _n es de hecho el valor de la fracción continua finita con n numeradores parciales:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,}$

Una interpretación geométrica

Definir una fracción continua finita como la imagen de un punto bajo la transformación funcional lineal iterada Τ _n ( z ) conduce a una interpretación geométrica intuitivamente atractiva de las fracciones continuas infinitas.

La relación

${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )\,}$

puede entenderse reescribiendo Τ _n ( z ) y Τ _{n + 1} ( z ) en términos de las fórmulas de recurrencia fundamentales:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {(b_{n}+z)A_{n-1}+a_{n}A_{n-2}}{(b_{n}+z)B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}};\\[6px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {(b_{n+1}+z)A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}}{(b_{n+1}+z)B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {zA_{n}+A_{n+1}}{zB_{n}+B_{n+1}}}.\,\end{aligned}}}$

En la primera de estas ecuaciones la relación tiende hacia ⁠Un_​/Bn_​⁠ a medida que z tiende a cero. En el segundo, la relación tiende a ⁠Un_​/Bn_​⁠ cuando z tiende a infinito. Esto nos lleva a nuestra primera interpretación geométrica. Si la fracción continua converge, los convergentes sucesivos ⁠Un_​/Bn_​⁠ eventualmente están arbitrariamente cerca entre sí . Dado que la transformación fraccionaria lineal Τ _n ( z ) es una aplicación continua , debe haber un entorno de z = 0 que se asigne a un entorno arbitrariamente pequeño de Τ _n (0) = ⁠Un_​/Bn_​⁠ . De manera similar, debe haber un vecindario del punto en el infinito que se mapea en un vecindario arbitrariamente pequeño de Τ _n (∞) = ⁠Un _{n - 1}/B _{n − 1}⁠ . Entonces, si la fracción continua converge, la transformación Τ _n ( z ) asigna tanto z muy pequeño como z muy grande a un entorno arbitrariamente pequeño de x , el valor de la fracción continua, a medida que n se hace cada vez más grande.

Para valores intermedios de z , dado que los convergentes sucesivos se están acercando, debemos tener

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}\approx {\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}=k\,}$

donde k es una constante introducida por conveniencia. Pero luego, sustituyendo en la expresión Τ _n ( z ) obtenemos

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {z{\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}+1}{z{\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}+1}}\right)\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {zk+1}{zk+1}}\right)={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\,}$

de modo que incluso los valores intermedios de z (excepto cuando z ≈ − k ⁻¹ ) se mapean en un entorno arbitrariamente pequeño de x , el valor de la fracción continua, a medida que n se hace cada vez más grande. Intuitivamente, es casi como si la fracción continua convergente mapeara todo el plano complejo extendido en un único punto. ^[15]

Obsérvese que la sucesión { Τ _n } se encuentra dentro del grupo de automorfismos del plano complejo extendido, puesto que cada Τ _n es una transformación fraccionaria lineal para la que ab ≠ cd . Y cada miembro de ese grupo de automorfismos mapea el plano complejo extendido en sí mismo: ninguno de los Τ _n puede mapear el plano en un único punto. Sin embargo, en el límite, la sucesión { Τ _n } define una fracción continua infinita que (si converge) representa un único punto en el plano complejo.

Cuando una fracción continua infinita converge, la secuencia correspondiente { Τ _n } de LFT "enfoca" el plano en la dirección de x , el valor de la fracción continua. En cada etapa del proceso, una región cada vez más grande del plano se mapea en un entorno de x , y la región cada vez más pequeña del plano que queda se extiende cada vez más delgadamente para cubrir todo lo que está fuera de ese entorno. ^[16]

Para fracciones continuas divergentes, podemos distinguir tres casos:

1. Las dos sucesiones { Τ _{2 n − 1} } y { Τ _{2 n} } podrían definir por sí mismas dos fracciones continuas convergentes que tienen dos valores diferentes, x _impar y x _par . En este caso, la fracción continua definida por la sucesión { Τ _n } diverge por oscilación entre dos puntos límite distintos. Y, de hecho, esta idea se puede generalizar: se pueden construir sucesiones { Τ _n } que oscilen entre tres, cuatro o cualquier número de puntos límite. Ejemplos interesantes de este caso surgen cuando la sucesión { Τ _n } constituye un subgrupo de orden finito dentro del grupo de automorfismos sobre el plano complejo extendido.
2. La secuencia { Τ _​​n } puede producir un número infinito de denominadores cero B _i y, al mismo tiempo, producir una subsecuencia de convergentes finitos. Estos convergentes finitos pueden no repetirse ni caer en un patrón oscilante reconocible. O pueden converger a un límite finito, o incluso oscilar entre múltiples límites finitos. No importa cómo se comporten los convergentes finitos, la fracción continua definida por la secuencia { Τ _​​n } diverge por oscilación con el punto en el infinito en este caso. ^[17]
3. La secuencia { Τ _​​n } puede producir no más que un número finito de denominadores cero B _i , mientras que la subsecuencia de convergentes finitos baila desenfrenadamente alrededor del plano en un patrón que nunca se repite y tampoco se aproxima nunca a ningún límite finito.

Se pueden construir ejemplos interesantes de los casos 1 y 3 estudiando la fracción continua simple.

${\displaystyle x=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}}}\,}$

donde z es cualquier número real tal que z < − ⁠1/4⁠ . ^[18]

Fórmula de fracción continua de Euler

Euler demostró la siguiente identidad: ^[7]

${\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\frac {a_{0}}{1-}}{\frac {a_{1}}{1+a_{1}-}}{\frac {a_{2}}{1+a_{2}-}}\cdots {\frac {a_{n}}{1+a_{n}}}.\,}$

De aquí se pueden derivar muchos otros resultados, como por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {1}{u_{1}}}+{\frac {1}{u_{2}}}+{\frac {1}{u_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{u_{n}}}={\frac {1}{u_{1}-}}{\frac {u_{1}^{2}}{u_{1}+u_{2}-}}{\frac {u_{2}^{2}}{u_{2}+u_{3}-}}\cdots {\frac {u_{n-1}^{2}}{u_{n-1}+u_{n}}},\,}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {x}{a_{0}a_{1}}}+{\frac {x^{2}}{a_{0}a_{1}a_{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{a_{0}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}={\frac {1}{a_{0}-}}{\frac {a_{0}x}{a_{1}+x-}}{\frac {a_{1}x}{a_{2}+x-}}\cdots {\frac {a_{n-1}x}{a_{n}+x}}.\,}$

La fórmula de Euler que conecta fracciones continuas y series es la motivación de las desigualdades fundamentales ^{[ enlace o aclaración necesaria ]} , y también la base de los enfoques elementales del problema de convergencia .

Ejemplos

Funciones y números trascendentales

Aquí hay dos fracciones continuas que se pueden construir mediante la identidad de Euler .

${\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}$

A continuación se muestran fracciones continuas generalizadas adicionales:

${\displaystyle \arctan {\cfrac {x}{y}}={\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}\quad \Rightarrow \quad e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}}$

Este último se basa en un algoritmo derivado por Aleksei Nikolaevich Khovansky en la década de 1970. ^[19]

Ejemplo: el logaritmo natural de 2 (= [0; 1, 2, 3, 1, 5, ⁠2/37 , ⁠1/2⁠ , 9, ⁠2/5⁠ ,..., 2 k − 1, ⁠2/a⁠ ,...] ≈ 0.693147...): ^[20]

${\displaystyle \log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

π

A continuación se presentan tres de las fracciones continuas generalizadas más conocidas de π , la primera y la tercera de las cuales se derivan de sus respectivas fórmulas de arcotangente anteriores al establecer x = y = 1 y multiplicar por 4. La fórmula de Leibniz para π :

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+-\cdots }$

converge demasiado lentamente, requiriendo aproximadamente 3 × 10 ⁿ términos para alcanzar n decimales correctas. La serie derivada por Nilakantha Somayaji :

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots }}}}}}=3-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n+1)(2n+1)}}=3+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-+\cdots }$

es una expresión mucho más obvia pero que aún converge bastante lentamente, requiriendo casi 50 términos para cinco decimales y casi 120 para seis. Ambos convergen sublinealmente a π . Por otro lado:

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}=4-1+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{34}}+{\frac {16}{3145}}-{\frac {4}{4551}}+{\frac {1}{6601}}-{\frac {1}{38341}}+-\cdots }$

converge linealmente a π , agregando al menos tres dígitos de precisión por cada cuatro términos, un ritmo ligeramente más rápido que la fórmula del arcoseno para π :

${\displaystyle \pi =6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!}$

que suma al menos tres dígitos decimales por cada cinco términos. ^[21]

• Nota: la tasa de convergencia de esta fracción continua μ tiende a 3 − √ 8 ≈ 0,1715729 , por lo tanto ⁠1/micrastiende a 3 + √ 8 ≈ 5,828427 , cuyo logaritmo común es 0,7655... ≈ ⁠13/17⁠ > ⁠3/4⁠ . Lo mismo ⁠1/micras⁠ = 3 + √ 8 (la razón de plata al cuadrado) también se observa en las fracciones continuas generales desdobladas tanto del logaritmo natural de 2 como de la raíz n de 2 (que funciona para cualquier entero n > 1 ) si se calcula utilizando 2 = 1 + 1 . Para lasfracciones continuas generales plegadas de ambas expresiones, la tasa de convergencia μ = (3 − √ 8 ) ² = 17 − √ 288 ≈ 0.02943725 , por lo tanto ⁠1/micras⁠ = (3 + √ 8 ) ² = 17 + √ 288 ≈ 33.97056 , cuyo logaritmo común es 1.531... ≈ ⁠26/17⁠ > ⁠3/2⁠ , sumando así al menos tres dígitos por cada dos términos. Esto se debe a que el MCD plegado pliega cada par de fracciones del MCD desplegado en una fracción, duplicando así el ritmo de convergencia. La referencia de Manny Sardina explica con más detalle las fracciones continuas "plegado".
• Nota: Uso de la fracción continua para arctan ⁠incógnita/yLa fórmula citada anteriormente, junto con la fórmula de Machin más conocida, proporciona una expresión que converge aún más rápidamente, aunque todavía de manera lineal:

${\displaystyle \pi =16\tan ^{-1}{\cfrac {1}{5}}\,-\,4\tan ^{-1}{\cfrac {1}{239}}={\cfrac {16}{u+{\cfrac {1^{2}}{3u+{\cfrac {2^{2}}{5u+{\cfrac {3^{2}}{7u+\ddots }}}}}}}}\,-\,{\cfrac {4}{v+{\cfrac {1^{2}}{3v+{\cfrac {2^{2}}{5v+{\cfrac {3^{2}}{7v+\ddots }}}}}}}}.}$

con u = 5 y v = 239 .

Raíces de números positivos

La raíz n- ésima de cualquier número positivo z ^m se puede expresar reformulando z = x ⁿ + y , lo que da como resultado

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}={\sqrt[{n}]{\left(x^{n}+y\right)^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

que se puede simplificar, al doblar cada par de fracciones en una fracción, a

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2x^{n}+y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2x^{n}+y)-\ddots }}}}}}}}}}.}$

La raíz cuadrada de z es un caso especial con m = 1 y n = 2 :

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {3y}{6x+{\cfrac {3y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {1\cdot 3y^{2}}{6(2x^{2}+y)-{\cfrac {3\cdot 5y^{2}}{10(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}}$

Lo cual se puede simplificar señalando que5/10⁠ = ⁠3/6⁠ = ⁠1/2:​

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}.}$

La raíz cuadrada también se puede expresar mediante una fracción continua periódica , pero la forma anterior converge más rápidamente con las x e y adecuadas .

Ejemplo 1

La raíz cúbica de dos (2 ^1/3 o ³ √ 2 ≈ 1,259921...) se puede calcular de dos maneras:

En primer lugar, la "notación estándar" de x = 1 , y = 1 y 2 z − y = 3 :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {4}{9+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {7}{15+{\cfrac {8}{2+{\cfrac {10}{21+{\cfrac {11}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{9-1-{\cfrac {2\cdot 4}{27-{\cfrac {5\cdot 7}{45-{\cfrac {8\cdot 10}{63-{\cfrac {11\cdot 13}{81-\ddots }}}}}}}}}}.}$

En segundo lugar, una convergencia rápida con x = 5 , y = 3 y 2 z − y = 253 :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {0.5}{50+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {4}{150+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {7}{250+{\cfrac {8}{5+{\cfrac {10}{350+{\cfrac {11}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {2.5\cdot 1}{253-1-{\cfrac {2\cdot 4}{759-{\cfrac {5\cdot 7}{1265-{\cfrac {8\cdot 10}{1771-\ddots }}}}}}}}.}$

Ejemplo 2

Coeficiente de Pogson (100 ^1/5 o ⁵ √ 100 ≈ 2,511886...), con x = 5 , y = 75 y 2 z − y = 6325 :

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{100}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {3}{250+{\cfrac {12}{5+{\cfrac {18}{750+{\cfrac {27}{5+{\cfrac {33}{1250+{\cfrac {42}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {5\cdot 3}{1265-3-{\cfrac {12\cdot 18}{3795-{\cfrac {27\cdot 33}{6325-{\cfrac {42\cdot 48}{8855-\ddots }}}}}}}}.}$

Ejemplo 3

La raíz duodécima de dos (2 ^1/12 o ¹² √ 2 ≈ 1.059463...), usando "notación estándar":

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=1+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {11}{2+{\cfrac {13}{36+{\cfrac {23}{2+{\cfrac {25}{60+{\cfrac {35}{2+{\cfrac {37}{84+{\cfrac {47}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{36-1-{\cfrac {11\cdot 13}{108-{\cfrac {23\cdot 25}{180-{\cfrac {35\cdot 37}{252-{\cfrac {47\cdot 49}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}$

Ejemplo 4

Quinta perfecta del temperamento igual (2 ^7/12 o ¹² √ 2 ⁷ ≈ 1,498307...), con m = 7 :

Con "notación estándar":

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}=1+{\cfrac {7}{12+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {19}{36+{\cfrac {17}{2+{\cfrac {31}{60+{\cfrac {29}{2+{\cfrac {43}{84+{\cfrac {41}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 7}{36-7-{\cfrac {5\cdot 19}{108-{\cfrac {17\cdot 31}{180-{\cfrac {29\cdot 43}{252-{\cfrac {41\cdot 55}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}$

Una convergencia rápida con x = 3 , y = −7153 y 2 z − y = 2 ¹⁹ + 3 ¹² :

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {1}{2}}{\sqrt[{12}]{3^{12}-7153}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {0.5\cdot 7153}{4\cdot 3^{12}-{\cfrac {11\cdot 7153}{6-{\cfrac {13\cdot 7153}{12\cdot 3^{12}-{\cfrac {23\cdot 7153}{6-{\cfrac {25\cdot 7153}{20\cdot 3^{12}-{\cfrac {35\cdot 7153}{6-{\cfrac {37\cdot 7153}{28\cdot 3^{12}-{\cfrac {47\cdot 7153}{6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {3\cdot 7153}{12(2^{19}+3^{12})+7153-{\cfrac {11\cdot 13\cdot 7153^{2}}{36(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {23\cdot 25\cdot 7153^{2}}{60(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {35\cdot 37\cdot 7153^{2}}{84(2^{19}+3^{12})-\ddots }}}}}}}}.}$

Se pueden encontrar más detalles sobre esta técnica en Método general para extraer raíces utilizando fracciones continuas (plegadas) .

Dimensiones superiores

Otro significado de fracción continua generalizada es una generalización a dimensiones superiores. Por ejemplo, existe una estrecha relación entre la fracción continua simple en forma canónica para el número real irracional α y la forma en que los puntos reticulares en dos dimensiones se encuentran a ambos lados de la línea y = αx . Generalizando esta idea, uno podría preguntarse sobre algo relacionado con los puntos reticulares en tres o más dimensiones. Una razón para estudiar esta área es cuantificar la idea de coincidencia matemática ; por ejemplo, para monomios en varios números reales, tome la forma logarítmica y considere cuán pequeña puede ser. Otra razón es encontrar una posible solución al problema de Hermite .

Se han hecho numerosos intentos de construir una teoría generalizada. Los esfuerzos más notables en esta dirección fueron los de Felix Klein (el poliedro de Klein ), Georges Poitou y George Szekeres .

Véase también

• Fracción continua de Gauss
• Mesa de padé
• Resolver ecuaciones cuadráticas con fracciones continuas
• Problema de convergencia
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Algoritmo de Lentz

Notas

1. Cusick y Flahive 1989.
2. Cristal 1999.
3. Jones y Thron 1980, pág. 20.
4. Euclid (2008) - El algoritmo euclidiano genera una fracción continua como subproducto.
5. Cataldi 1613.
6. Vallejo 1699.
7. Euler 1748, Capítulo 18.
8. Havil 2012, págs. 104-105.
9. Brahmagupta (598–670) fue el primer matemático en realizar un estudio sistemático de la ecuación de Pell.
10. Gauss 1813.
11. Lorentzen y Waadeland 1992.
12. Oskar Perron deriva fórmulas de extensión y contracción aún más generales para fracciones continuas. Véase Perron (1977a), Perron (1977b).
13. Ángel 2021.
14. Porubsky 2008.
15. Esta interpretación intuitiva no es rigurosa porque una fracción continua infinita no es una aplicación: es el límite de una secuencia de aplicaciones. Esta construcción de una fracción continua infinita es aproximadamente análoga a la construcción de un número irracional como límite de una secuencia de Cauchy de números racionales.
16. Debido a analogías como ésta, la teoría del mapeo conforme a veces se describe como "geometría de lámina de goma".
17. Un enfoque al problema de convergencia es construir fracciones continuas definidas positivas , para las cuales los denominadores B _i nunca son cero.
18. Esta fracción periódica del período uno se analiza con más detalle en el artículo sobre el problema de convergencia .
19. Una forma alternativa de calcular log(x)
20. Borwein, Crandall y Fee 2004, pág. 278, 280.
21. Beckmann 1971.

Referencias

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• Perron, Oskar (1977a) [1954]. Die Lehre von den Kettenbrüchen . vol. Banda I: Elementare Kettenbrüche (3 ed.). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 9783519020219.

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• Wall, Hubert Stanley (1967). Teoría analítica de fracciones continuas (edición reimpresa). Chelsea Pub Co. ISBN 0-8284-0207-8.(Esta reimpresión de la edición de D. Van Nostrand de 1948 cubre tanto la historia como la teoría analítica.)

• Wallis, John (1699). Opera mathematica [ Obras matemáticas ].

Enlaces externos

• Las primeras veinte páginas de Steven R. Finch, Mathematical Constants , Cambridge University Press , 2003, ISBN 0-521-81805-2 , contienen fracciones continuas generalizadas para √ 2 y la media áurea. 
• Secuencia OEIS A133593 (fracción continua "exacta" para Pi)