Fórmula similar a la de Machin

Fórmulas para pi

En matemáticas , las fórmulas de tipo Machin son una técnica popular para calcular π (la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo ) con una gran cantidad de dígitos . Son generalizaciones de la fórmula de John Machin de 1706:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

que utilizó para calcular π hasta 100 decimales. ^{[1] [2]}

Las fórmulas de tipo Machin tienen la forma

donde es un entero positivo, son enteros con signo distintos de cero , y y son enteros positivos tales que . ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$

Estas fórmulas se utilizan junto con la serie de Gregory , la expansión de la serie de Taylor para el arcotangente :

Derivación

La fórmula de adición de ángulos para el arcotangente afirma que

Si todas las fórmulas de tipo Machin se pueden derivar mediante la aplicación repetida de la ecuación 3. Como ejemplo, mostramos la derivación de la fórmula original de Machin, se tiene: y en consecuencia Por lo tanto también y por lo tanto finalmente $${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\arctan {\frac {a_{1}}{b_{1}}}+\arctan {\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {\pi }{2}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}2\arctan {\frac {1}{5}}&=\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{5}}\\&=\arctan {\frac {1\cdot 5+1\cdot 5}{5\cdot 5-1\cdot 1}}\\&=\arctan {\frac {10}{24}}\\&=\arctan {\frac {5}{12}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}4\arctan {\frac {1}{5}}&=2\arctan {\frac {1}{5}}+2\arctan {\frac {1}{5}}\\&=\arctan {\frac {5}{12}}+\arctan {\frac {5}{12}}\\&=\arctan {\frac {5\cdot 12+5\cdot 12}{12\cdot 12-5\cdot 5}}\\&=\arctan {\frac {120}{119}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}&=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{1}}\\&=4\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {-1}{1}}\\&=\arctan {\frac {120}{119}}+\arctan {\frac {-1}{1}}\\&=\arctan {\frac {120\cdot 1+(-1)\cdot 119}{119\cdot 1-120\cdot (-1)}}\\&=\arctan {\frac {1}{239}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$

Una forma esclarecedora de visualizar la ecuación 3 es imaginar lo que sucede cuando se multiplican dos números complejos:

${\displaystyle (b_{1}+a_{1}\mathrm {i} )\cdot (b_{2}+a_{2}\mathrm {i} )}$

${\displaystyle =b_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\mathrm {i} +a_{1}b_{2}\mathrm {i} -a_{1}a_{2}}$

El ángulo asociado a un número complejo viene dado por: ${\displaystyle (b_{n}+a_{n}\mathrm {i} )}$

${\displaystyle \arctan {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

Así, en la ecuación 4 , el ángulo asociado al producto es:

${\displaystyle \arctan {\frac {a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}}}}$

Nótese que esta es la misma expresión que aparece en la ecuación 3. Por lo tanto, la ecuación 3 puede interpretarse como que multiplicar dos números complejos significa sumar sus ángulos asociados (ver multiplicación de números complejos ).

La expresión:

${\displaystyle c_{n}\arctan {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

es el ángulo asociado con:

${\displaystyle (b_{n}+a_{n}\mathrm {i} )^{c_{n}}}$

La ecuación 1 se puede reescribir como:

${\displaystyle k\cdot (1+\mathrm {i} )^{c_{0}}=\prod _{n=1}^{N}(b_{n}+a_{n}\mathrm {i} )^{c_{n}}}$

Aquí hay una constante arbitraria que representa la diferencia de magnitud entre los vectores de los dos lados de la ecuación. Las magnitudes se pueden ignorar, solo los ángulos son significativos. ${\displaystyle k}$

Usando números complejos

Se pueden generar otras fórmulas usando números complejos. ^[3] Por ejemplo, el ángulo de un número complejo está dado por y, cuando uno multiplica números complejos, suma sus ángulos. Si entonces es 45 grados o radianes. Esto significa que si la parte real y la parte compleja son iguales, entonces la arcotangente será igual a . Dado que la arcotangente de uno tiene una tasa de convergencia muy lenta, si encontramos dos números complejos que al multiplicarlos darán como resultado la misma parte real e imaginaria, tendremos una fórmula similar a la de Machin. Un ejemplo es y . Si los multiplicamos, obtendremos . Por lo tanto, . ${\textstyle (a+b\mathrm {i} )}$ ${\textstyle \arctan {\frac {b}{a}}}$ ${\textstyle a=b}$ ${\textstyle \arctan {\frac {b}{a}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ ${\textstyle (2+\mathrm {i} )}$ ${\textstyle (3+\mathrm {i} )}$ ${\textstyle (5+5\mathrm {i} )}$ ${\textstyle \arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}={\frac {\pi }{4}}}$

Si se quiere demostrar con números complejos que , primero hay que saber que elevar un número complejo a una potencia real implica multiplicar su anomalía (ángulo) por , y que la anomalía del producto de dos números complejos es igual a la suma de sus anomalías. Como se puede demostrar, haciendo el cálculo, que , es decir, que las partes real e imaginaria de ambos lados son iguales, y como esa igualdad es equivalente a: , también se demuestra esta última igualdad. ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle (5+\mathrm {i} )^{4}(239-\mathrm {i} )=(1+\mathrm {i} )\cdot 2^{2}\cdot 13^{4}}$ ${\textstyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}}$

Medida de Lehmer

Uno de los parámetros más importantes que caracterizan la eficiencia computacional de una fórmula tipo Machin es la medida de Lehmer, definida como ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\it {\lambda }}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{\log _{10}(b_{n}/a_{n})}}}$.

Para obtener la medida de Lehmer lo más pequeña posible, es necesario disminuir la proporción de números enteros positivos en los argumentos de la arcotangente y minimizar el número de términos en la fórmula de Machin. Actualmente, la medida de Lehmer más pequeña conocida se debe a H. Chien-Lih (1997), ^[6] cuya fórmula de Machin se muestra a continuación. Es muy común en las fórmulas de Machin cuando todos los numeradores ${\displaystyle a_{n}/b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}=1}$ ${\displaystyle \lambda \approx 1.51244}$ ${\displaystyle a_{n}=1~.}$

Fórmulas de dos términos

En el caso especial en el que el numerador es , hay exactamente cuatro soluciones que tienen solo dos términos. ^{[7] [8]} Las cuatro fueron encontradas por John Machin en 1705-1706, pero solo una de ellas se hizo ampliamente conocida cuando se publicó en el libro de William Jones Synopsis Palmariorum Matheseos , por lo que las otras tres a menudo se atribuyen a otros matemáticos. Estos son ${\displaystyle a_{n}=1}$

Euler de 1737 (conocido por Machin de 1706): ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

Hermann 's 1706 (conocido por Machin 1706): ^{[11] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}$

De Hutton o de Vega (conocido por Machin en 1706): ^{[8] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}$

y Machin's 1706: ^{[1] [10]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$.

En el caso general, en el que el valor de un numerador no está restringido, existen infinitas otras soluciones. Por ejemplo: ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=22\arctan {\frac {1}{28}}+\arctan {\frac {1744507482180328366854565127}{98646395734210062276153190241239}}}$

o

Ejemplo

El diagrama adyacente muestra la relación entre las arcotangentes y sus áreas. Del diagrama se desprende lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\rm {area}}(PON)&={\rm {area}}(MOF)=\pi \times {\frac {\angle MOF}{2\pi }}=\angle MEF=\arctan {1 \over 2}\\{\rm {area}}(POM)&={\rm {area}}(NOF)=\arctan {1 \over 3}\\{\rm {area}}(POF)&={\pi \over 4}={\rm {area}}(PON)+{\rm {area}}(NOF)=\arctan {1 \over 2}+\arctan {1 \over 3}\\{\rm {area}}(MON)&=\arctan {1 \over 7}\\{\rm {area}}(PON)=\arctan {1 \over 2}&={\rm {area}}(POM)+{\rm {area}}(MON)=\arctan {1 \over 3}+\arctan {1 \over 7},\end{array}}}$

una relación que también se puede encontrar mediante
el siguiente cálculo dentro de los números complejos

${\displaystyle (3+\mathrm {i} )(7+\mathrm {i} )=21-1+(3+7)\mathrm {i} =10\cdot (2+\mathrm {i} ).}$

Más términos

El récord de dígitos de π en 2002 , 1.241.100.000.000, lo obtuvo Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio . El cálculo se realizó en una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que realizaba 2 billones de operaciones por segundo. Se utilizaron las dos ecuaciones siguientes:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

Takano Kikuo (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

FCM Stormer (1896).

Se utilizan dos ecuaciones para poder comprobar que ambas dan el mismo resultado; es útil que las ecuaciones utilizadas para comprobar el resultado reutilicen algunos de los argumentos arcotangentes (nótese la reutilización de 57 y 239 arriba), de modo que el proceso se pueda simplificar calculándolos solo una vez, pero no todos, para preservar su independencia.

Se pueden construir fórmulas similares a las de Machin para π encontrando un conjunto de números enteros , donde todas las factorizaciones primas de ⁠ ⁠ , tomadas en conjunto, utilizan un número de primos distintos , y luego usando álgebra lineal o el algoritmo de reducción de base LLL para construir combinaciones lineales de arcotangentes de . Por ejemplo, en la fórmula de Størmer anterior, tenemos ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle b_{n},n=1..m}$ ${\displaystyle b_{n}^{2}+1}$ ${\displaystyle \leq m}$ ${\displaystyle {\frac {1}{b_{n}}}}$

${\displaystyle 57^{2}+1=2\cdot 5^{3}\cdot 13}$

${\displaystyle 239^{2}+1=2\cdot 13^{4}}$

${\displaystyle 682^{2}+1=5^{3}\cdot 61^{2}}$

${\displaystyle 12943^{2}+1=2\cdot 5^{4}\cdot 13^{3}\cdot 61}$

Así que cuatro expresiones cuyos factores son potencias de sólo los cuatro primos 2, 5, 13 y 61.

En 1993, Jörg Uwe Arndt ^[12] encontró la fórmula de 11 términos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;36462\arctan {\frac {1}{390112}}+135908\arctan {\frac {1}{485298}}+274509\arctan {\frac {1}{683982}}\\&-39581\arctan {\frac {1}{1984933}}+178477\arctan {\frac {1}{2478328}}-114569\arctan {\frac {1}{3449051}}\\&-146571\arctan {\frac {1}{18975991}}+61914\arctan {\frac {1}{22709274}}-69044\arctan {\frac {1}{24208144}}\\&-89431\arctan {\frac {1}{201229582}}-43938\arctan {\frac {1}{2189376182}}\\\end{aligned}}}$

utilizando el conjunto de 11 primos ${\displaystyle \{2,5,13,17,29,37,53,61,89,97,101\}.}$

Hwang Chien-Lih (黃見利) (2004) descubrió otra fórmula donde 10 de los argumentos son iguales a los anteriores, por lo que es más fácil comprobar que ambos dan el mismo resultado: ${\displaystyle \arctan }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;36462\arctan {\frac {1}{51387}}+26522\arctan {\frac {1}{485298}}+19275\arctan {\frac {1}{683982}}\\&-3119\arctan {\frac {1}{1984933}}-3833\arctan {\frac {1}{2478328}}-5183\arctan {\frac {1}{3449051}}\\&-37185\arctan {\frac {1}{18975991}}-11010\arctan {\frac {1}{22709274}}+3880\arctan {\frac {1}{24208144}}\\&-16507\arctan {\frac {1}{201229582}}-7476\arctan {\frac {1}{2189376182}}\\\end{aligned}}}$

Notarás que estas fórmulas reutilizan todas las mismas arcotangentes después de la primera. Se construyen buscando números donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle b^{2}+1}$ sea divisible solo por primos menores que 102.

La fórmula de Machin más eficiente conocida actualmente para calcular π es:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}\\&+12\arctan {\frac {1}{110443}}-12\arctan {\frac {1}{4841182}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}\\\end{aligned}}}$

(Hwang Chien-Lih, 1997)

donde el conjunto de primos es ${\displaystyle \{2,5,13,229,457,1201\}.}$

Un refinamiento adicional es utilizar el "Proceso de Todd", como se describe en ^[5], esto conduce a resultados como:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}\\&+12\arctan {\frac {1}{113021}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}\\&-12\arctan {\frac {1}{33366019650}}+12\arctan {\frac {1}{43599522992503626068}}\\\end{aligned}}}$

(Hwang Chien-Lih, 2003)

donde el primo grande 834312889110521 divide el ⁠ ⁠ ${\displaystyle b_{n}^{2}+1}$ de los dos últimos índices.
M. Wetherfield encontró 2004

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;83\arctan {\frac {1}{107}}+17\arctan {\frac {1}{1710}}-22\arctan {\frac {1}{103697}}\\&-24\arctan {\frac {1}{2513489}}-44\arctan {\frac {1}{18280007883}}\\&+12\arctan {\frac {1}{7939642926390344818}}\\&+22\arctan {\frac {1}{3054211727257704725384731479018}}.\\\end{aligned}}}$

En el Día Pi de 2024, Matt Parker junto con 400 voluntarios utilizaron la siguiente fórmula para calcular manualmente : ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;1587\arctan {\frac {1}{2852}}+295\arctan {\frac {1}{4193}}+593\arctan {\frac {1}{4246}}\\&+359\arctan {\frac {1}{39307}}+481\arctan {\frac {1}{55603}}+625\arctan {\frac {1}{211050}}\\&-708\arctan {\frac {1}{390112}}\end{aligned}}}$

Fue el cálculo manual más grande del siglo. ^[13] ${\displaystyle \pi }$

Más métodos

Existen otros métodos para derivar fórmulas similares a las de Machin para los recíprocos de números enteros. Uno de ellos se obtiene con la siguiente fórmula: ^[14] ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2^{k-1}\cdot \arctan {\frac {1}{A_{k}}}+\sum \limits _{m=1}^{M}\arctan {\frac {1}{\left\lfloor B_{k,m}\right\rfloor }}+\arctan {\frac {1}{B_{k,M+1}}},}$

dónde

${\displaystyle a_{0}:=0}$

y recursivamente

${\displaystyle a_{k}:={\sqrt {2+a_{k-1}}},\;A_{k}:=\left\lfloor {\frac {a_{k}}{\sqrt {2-a_{k-1}}}}\right\rfloor }$

y

${\displaystyle B_{k,1}:={\frac {2}{\left({\dfrac {A_{k}+\mathrm {i} }{A_{k}-\mathrm {i} }}\right)^{2^{k-1}}-\mathrm {i} }}-\mathrm {i} }$

y recursivamente

${\displaystyle B_{k,m}:={\frac {1+\left\lfloor B_{k,m-1}\right\rfloor B_{k,m-1}}{\left\lfloor B_{k,m-1}\right\rfloor -B_{k,m-1}}}~.}$

Por ejemplo, para y obtenemos: ${\displaystyle k=4}$ ${\displaystyle M=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&\;8\arctan {\frac {1}{10}}-\arctan {\frac {1}{84}}-\arctan {\frac {1}{21342}}\\&-\arctan {\frac {1}{991268848}}-\arctan {\frac {1}{193018008592515208050}}\\&-\arctan {\frac {1}{197967899896401851763240424238758988350338}}\\&-\arctan {\frac {1}{117573868168175352930277752844194126767991915008537018836932014293678271636885792397}}\end{aligned}}}$

Esto se verifica mediante el siguiente código MuPAD:

z := ( 10 + I ) ^ 8 * ( 84 - I ) * ( 21342 - I ) * ( 991268848 - I ) * ( 193018008592515208050 - I ) \ * ( 197967899896401851763240424238758988350338 - I ) \ * ( 117573868168175352930277752844194126767991915008537018836932014293678271636885792397 - I ) : Re ( z ) - Im ( z ) 0  

significado

${\displaystyle {\begin{aligned}z:=&\,(10+\mathrm {i} )^{8}\cdot (84-\mathrm {i} )\cdot (21342-\mathrm {i} )\cdot (991268848-\mathrm {i} )\cdot (193018008592515208050-\mathrm {i} )\\&\cdot (197967899896401851763240424238758988350338-\mathrm {i} )\\&\cdot (117573868168175352930277752844194126767991915008537018836932014293678271636885792397-\mathrm {i} )\\\;=&\,(1+\mathrm {i} )\cdot \Re (z)~.\end{aligned}}}$

Eficiencia

Para cálculos grandes de , el algoritmo de división binaria se puede utilizar para calcular las arcotangentes mucho, mucho más rápido que sumando los términos de la serie de Taylor de manera ingenua, uno a la vez. En implementaciones prácticas como y-cruncher, hay una sobrecarga constante relativamente grande por término más un tiempo proporcional a , y aparece un punto de rendimientos decrecientes más allá de tres o cuatro términos de arcotangente en la suma; es por eso que el cálculo de supercomputadora anterior utilizó solo una versión de cuatro términos. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 1/\log b_{n}}$

El objetivo de esta sección no es estimar el tiempo de ejecución real de ningún algoritmo determinado, sino simplemente idear una métrica relativa mediante la cual se puedan comparar dos algoritmos entre sí.

Sea el número de dígitos a calcular. ${\displaystyle N_{d}}$ ${\displaystyle \pi }$

Sea el número de términos en la serie de Taylor (ver ecuación 2 ). ${\displaystyle N_{t}}$

Sea la cantidad de tiempo empleado en cada dígito (para cada término de la serie de Taylor). ${\displaystyle u_{n}}$

La serie de Taylor convergerá cuando:

${\displaystyle \left(\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)^{2}\right)^{N_{t}}=10^{N_{d}}}$

De este modo:

${\displaystyle N_{t}=N_{d}\quad {\frac {\ln 10}{2\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}}$

Para el primer término de la serie de Taylor, se deben procesar todos los dígitos. Sin embargo, en el último término de la serie de Taylor, solo queda un dígito por procesar. En todos los términos intermedios, el número de dígitos que se deben procesar se puede aproximar mediante interpolación lineal. Por lo tanto, el total viene dado por: ${\displaystyle N_{d}}$

${\displaystyle {\frac {N_{d}N_{t}}{2}}}$

El tiempo de ejecución viene dado por:

${\displaystyle {\mathit {time}}={\frac {u_{n}N_{d}N_{t}}{2}}}$

Combinando ecuaciones, el tiempo de ejecución viene dado por:

${\displaystyle {\mathit {time}}={\frac {u_{n}{N_{d}}^{2}\ln 10}{4\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}={\frac {k\,u_{n}}{\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}}$

Donde es una constante que combina todas las demás constantes. Como se trata de una métrica relativa, el valor de se puede ignorar. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

El tiempo total, en todos los términos de la ecuación 1 , viene dado por:

${\displaystyle {\mathit {time}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {u_{n}}{\ln {\frac {b_{n}}{a_{n}}}}}}$

${\displaystyle u_{n}}$No se puede modelar con precisión sin un conocimiento detallado del software específico. De todos modos, presentamos un modelo posible.

El software dedica la mayor parte de su tiempo a evaluar la serie de Taylor a partir de la ecuación 2. El ciclo primario se puede resumir en el siguiente pseudocódigo:

${\displaystyle 1:\quad {\mathit {term}}\quad *=\quad {a_{n}}^{2}}$

${\displaystyle 2:\quad {\mathit {term}}\quad /=\quad -{b_{n}}^{2}}$

${\displaystyle 3:\quad {\mathit {tmp}}\quad =\quad {\mathit {term}}\quad /\quad (2*n+1)}$

${\displaystyle 4:\quad {\mathit {sum}}\quad +=\quad {\mathit {tmp}}}$

En este modelo en particular, se supone que cada uno de estos pasos lleva aproximadamente la misma cantidad de tiempo. Según el software utilizado, esta puede ser una aproximación muy buena o puede ser deficiente.

La unidad de tiempo se define de tal manera que un paso del pseudocódigo corresponde a una unidad. Para ejecutar el bucle, en su totalidad, se requieren cuatro unidades de tiempo. se define como cuatro. ${\displaystyle u_{n}}$

Sin embargo, tenga en cuenta que si es igual a uno, se puede omitir el paso uno. El bucle solo toma tres unidades de tiempo. se define como tres. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle u_{n}}$

A modo de ejemplo, consideremos la ecuación:

La siguiente tabla muestra el tiempo estimado para cada uno de los términos:

El tiempo total es 0,75467 + 0,54780 + 0,60274 = 1,9052

Compare esto con la ecuación 5. La siguiente tabla muestra el tiempo estimado para cada uno de los términos:

El tiempo total es 1,1191 + 0,8672 = 1,9863

La conclusión, basada en este modelo en particular, es que la ecuación 6 es ligeramente más rápida que la ecuación 5 , independientemente del hecho de que la ecuación 6 tiene más términos. Este resultado es típico de la tendencia general. El factor dominante es la relación entre y . Para lograr una relación alta, es necesario agregar términos adicionales. A menudo, hay un ahorro neto de tiempo. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

Referencias

1. Jones, William (1706). Sinopsis Palmariorum Matheseos. Londres: J. Wale. pp. 243, 263. Hay otras formas de hallar las longitudes o áreas de líneas curvas o planos particulares , que pueden facilitar mucho la práctica; como por ejemplo, en el círculo , el diámetro es a la circunferencia como 1 a 3,14159, etc. = π . Esta serie (entre otras con el mismo propósito y extraídas del mismo principio) la recibí del excelente analista y mi muy estimado amigo, el Sr. John Machin ; y por medio de ella, el número de Van Ceulen , o el del artículo 64.38, puede examinarse con toda la facilidad y rapidez deseables.
   ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
   

   Reimpreso en Smith, David Eugene (1929). "William Jones: El primer uso de π para la razón del círculo". Un libro de consulta sobre matemáticas . McGraw-Hill. págs. 346-347.

2. Beckmann, Petr (1971). Una historia de Pi . Estados Unidos: The Golem Press. pág. 102. ISBN 0-88029-418-3.
3. Stormer, Carl (1897). "Sur l'application de la théorie des nombres entiers complexes a la solución en nombres rationnels x 1 x 2 … x n {\textstyle x_{1}\ x_{2}\ldots x_{n}} c 1 c 2 … c n {\textstyle c_{1}\ c_{2}\ldots c_{n}} k {\textstyle k} de la ecuación: c 1 a r c t g ⁡ 1 + {\textstyle c_{1}\operatorname {arc\ tg} x_{1}+{}} c 2 a r c t g ⁡ x 2 + ⋯ + {\textstyle c_{2}\operatorname {arc\ tg} x_{2}+\cdots +} c n a r c t g ⁡ x n = {\textstyle c_{n}\operatorname {arc\ tg} x_{n}={}} k π 4 {\textstyle k{\tfrac {\pi }{4}}} ". Archiv for Mathematik og Naturvidenskab . 19 (3): 1–95.
4. Lehmer, Derrick Henry (1938). "Sobre las relaciones arco-tangentes para π". American Mathematical Monthly . 45 (10): 657–664. doi :10.2307/2302434. JSTOR  2302434.
5. Wetherfield, Michael (2016). "La mejora de la fórmula de Machin mediante el proceso de Todd". The Mathematical Gazette . 80 (488): 333–344. doi :10.2307/3619567. JSTOR  3619567. S2CID  126173230.
6. Chien-Lih, Hwang. "Más identidades de tipo Machin". The Mathematical Gazette . 81 (490). JSTOR  3618793.
7. Størmer, Carl (1896). "Solución completa en nombres entiers m, n, x, y et k de l'équation m a r c t g ⁡ 1 x + n a r c t g ⁡ 1 y = k π 4 . {\textstyle m\operatorname {arc\ tg} {\tfrac {1} {x}}+n\operatorname {arc\ tg} {\tfrac {1}{y}}=k{\tfrac {\pi }{4}}.} ". Mathematisk-naturvidenskabelig Klasse. Skrifter udgivne af Videnskabsselskabet i Christiania . 1895 (11): 1–21.
8. Størmer, Carl (1899). "Solución completa en nombres entiers de l'équation m a r c t a n g ⁡ 1 x + n a r c t a n g ⁡ 1 y = k π 4 {\textstyle m\operatorname {arc\,tang} {\frac {1}{x}}+n\operatorname { arc\,tang} {\frac {1}{y}}=k{\frac {\pi }{4}}} " [Solución completa en números enteros de la ecuación...]. Bulletin de la Société Mathématique de France (en francés). 27 : 160-170. doi : 10.24033/bsmf.603 .
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10. Tweddle, Ian (1991). "John Machin y Robert Simson sobre series tangentes inversas para π ". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 42 (1): 1–14. doi :10.1007/BF00384331. JSTOR  41133896.
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13. El cálculo manual más grande del siglo! [Día Pi 2024] . Consultado el 2 de abril de 2024 en www.youtube.com.
14. https://arxiv.org/pdf/2108.07718.pdf (2021)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Fórmulas tipo máquina". MundoMatemático .
• La constante π
• El mérito de Machin en MathPages