Álgebra de Jordania

Not-necessarily-associative commutative algebra satisfying (𝑥𝑦)𝑥²=𝑥(𝑦𝑥²)

En álgebra abstracta , un álgebra de Jordan es un álgebra no asociativa sobre un campo cuya multiplicación satisface los siguientes axiomas:

1. ${\displaystyle xy=yx}$( ley conmutativa )
2. ${\displaystyle (xy)(xx)=x(y(xx))}$(Identidad jordana ).

El producto de dos elementos xey en un álgebra de Jordan también se denota x ∘ y , particularmente para evitar confusión con el producto de un álgebra asociativa relacionada .

Los axiomas implican ^[1] que un álgebra de Jordan es asociativa de potencias , lo que significa que es independiente de cómo ponemos entre paréntesis esta expresión. También implican ^[1] que para todos los números enteros positivos m y n . Por lo tanto, podemos definir de manera equivalente un álgebra de Jordan como un álgebra conmutativa y asociativa de potencias tal que, para cualquier elemento , todas las operaciones de multiplicación por potencias conmutan. ${\displaystyle x^{n}=x\cdots x}$ ${\displaystyle x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}}$

Las álgebras de Jordan fueron introducidas por Pascual Jordan  (1933) en un esfuerzo por formalizar la noción de un álgebra de observables en electrodinámica cuántica . Pronto se demostró que las álgebras no eran útiles en este contexto; sin embargo, desde entonces han encontrado muchas aplicaciones en matemáticas. ^{[2] Las álgebras se denominaron originalmente "sistemas de números r", pero} Abraham Adrian Albert  (1946), quien comenzó el estudio sistemático de las álgebras de Jordan generales, las rebautizó como "álgebras de Jordan" .

Álgebras especiales de Jordan

Observe primero que un álgebra asociativa es un álgebra de Jordan si y sólo si es conmutativa.

Dada cualquier álgebra asociativa A (que no tenga la característica 2), se puede construir un álgebra de Jordan A ⁺ usando la misma suma subyacente y una nueva multiplicación, el producto de Jordan definido por:

${\displaystyle x\circ y={\frac {xy+yx}{2}}.}$

Estas álgebras de Jordan y sus subálgebras se denominan álgebras de Jordan especiales , mientras que todas las demás son álgebras de Jordan excepcionales . Esta construcción es análoga al álgebra de Lie asociada a A , cuyo producto (corchete de Lie) está definido por el conmutador . ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

El teorema de Shirshov -Cohn establece que cualquier álgebra de Jordan con dos generadores es especial. ^[3] Relacionado con esto, el teorema de Macdonald establece que cualquier polinomio en tres variables, que tenga grado uno en una de las variables, y que desaparezca en cada álgebra especial de Jordan, desaparece en cada álgebra de Jordan. ^[4]

Álgebras de Hermitian Jordan

Si ( A , σ ) es un álgebra asociativa con una involución σ , entonces si σ ( x ) = x y σ ( y ) = y se deduce que, por tanto, el conjunto de todos los elementos fijados por la involución (a veces llamados elementos hermitianos ) forman una subálgebra de A ⁺ , que a veces se denota H( A , σ ). ${\textstyle \sigma (xy+yx)=xy+yx.}$

Ejemplos

1. El conjunto de matrices reales , complejas o cuaterniónicas autoadjuntas con multiplicación

${\displaystyle (xy+yx)/2}$

formar un álgebra especial de Jordan.

2. El conjunto de matrices autoadjuntas de 3×3 sobre los octoniones , nuevamente con multiplicación

${\displaystyle (xy+yx)/2,}$

es un álgebra de Jordan excepcional de 27 dimensiones (es excepcional porque los octoniones no son asociativos). Este fue el primer ejemplo de álgebra de Albert . Su grupo de automorfismo es el excepcional grupo de Lie F 4 . Dado que sobre los números complejos esta es la única álgebra de Jordan excepcional simple hasta el isomorfismo, ^[5] a menudo se la denomina "la" álgebra de Jordan excepcional. Sobre los números reales hay tres clases de isomorfismos de álgebras de Jordan excepcionales simples. ^[5]

Derivaciones y álgebra de estructuras.

Una derivación de un álgebra A de Jordan es un endomorfismo D de A tal que D ( xy ) = D ( x ) y + xD ( y ). Las derivaciones forman un álgebra de Lie der ( A ). La identidad de Jordan implica que si x e y son elementos de A , entonces el endomorfismo que envía z a x ( yz ) − y ( xz ) es una derivación. Por lo tanto, la suma directa de A y der ( A ) se puede convertir en un álgebra de Lie, llamada álgebra de estructura de A , str ( A ).

Un ejemplo sencillo lo proporcionan las álgebras de Hermitian Jordan H ( A , σ ). En este caso, cualquier elemento x de A con σ ( x )=− x define una derivación. En muchos ejemplos importantes, el álgebra estructural de H( A , σ ) es A .

Las álgebras de derivación y estructura también forman parte de la construcción que hace Tit del cuadrado mágico freudental .

Álgebras de Jordan formalmente reales

Se dice que un álgebra (posiblemente no asociativa) sobre números reales es formalmente real si satisface la propiedad de que una suma de n cuadrados sólo puede desaparecer si cada uno de ellos desaparece individualmente. En 1932, Jordan intentó axiomatizar la teoría cuántica diciendo que el álgebra de observables de cualquier sistema cuántico debería ser un álgebra formalmente real que sea conmutativa ( xy = yx ) y asociativa de potencias (la ley asociativa se cumple para productos que involucran sólo x , por lo que que las potencias de cualquier elemento x están definidas inequívocamente). Demostró que cualquier álgebra de este tipo es un álgebra de Jordan.

No todas las álgebras de Jordan son formalmente reales, pero Jordan, von Neumann y Wigner (1934) clasificaron las álgebras de Jordan formalmente reales de dimensión finita, también llamadas álgebras de Jordan euclidianas . Todo álgebra de Jordan formalmente real puede escribirse como una suma directa de las llamadas simples , que no son en sí mismas sumas directas de una manera no trivial. En dimensiones finitas, las álgebras de Jordan simples y formalmente reales se dividen en cuatro familias infinitas, junto con un caso excepcional:

• El álgebra de Jordan de n × n matrices reales autoadjuntas, como se indicó anteriormente.
• El álgebra de Jordan de matrices complejas autoadjuntas n × n , como se indicó anteriormente.
• El álgebra de Jordan de matrices cuaterniónicas autoadjuntas de n × n . como anteriormente.
• El álgebra de Jordan generada libremente por R ⁿ con las relaciones

  ${\displaystyle x^{2}=\langle x,x\rangle }$

donde el lado derecho se define utilizando el producto interno habitual en R ⁿ . A esto a veces se le llama factor de espín o álgebra de Jordan de tipo Clifford .

• El álgebra de Jordan de matrices octoniónicas autoadjuntas de 3 × 3, como se indicó anteriormente (un álgebra de Jordan excepcional llamada álgebra de Albert ).

De estas posibilidades, hasta ahora parece que la naturaleza sólo utiliza matrices complejas de n × n como álgebras de observables. Sin embargo, los factores de espín desempeñan un papel en la relatividad especial , y todas las álgebras de Jordan formalmente reales están relacionadas con la geometría proyectiva .

Descomposición de Peirce

Si e es un idempotente en el álgebra de Jordan A ( e ²  =  e ) y R es la operación de multiplicación por e , entonces

• R (2 R  - 1)( R  - 1) = 0

entonces los únicos valores propios de R son 0, 1/2, 1. Si el álgebra de Jordan A es de dimensión finita sobre un campo de característica no 2, esto implica que es una suma directa de subespacios A  =  A ₀ ( e ) ⊕  A _1/2 ( e ) ⊕  A ₁ ( e ) de los tres espacios propios. Esta descomposición fue considerada por primera vez por Jordan, von Neumann y Wigner (1934) para álgebras de Jordan totalmente reales. Posteriormente fue estudiado con total generalidad por Albert (1947) y lo llamó descomposición de Peirce de A relativa al idempotente  e . ^[6]

Tipos especiales y generalizaciones.

Álgebras de Jordan de dimensión infinita

En 1979, Efim Zelmanov clasificó las álgebras de Jordan simples (y primas no degeneradas) de dimensión infinita. Son de tipo Hermitiano o Clifford. En particular, las únicas álgebras de Jordan simples excepcionales son las álgebras de Albert de dimensión finita , que tienen dimensión 27.

Álgebras del operador de Jordan

La teoría de las álgebras de operadores se ha ampliado para cubrir las álgebras de operadores de Jordan .

Las contrapartes de las álgebras C* son las álgebras JB, que en dimensiones finitas se denominan álgebras euclidianas de Jordan . La norma del álgebra real de Jordan debe ser completa y satisfacer los axiomas:

${\displaystyle \displaystyle {\|a\circ b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\,\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}}$

Estos axiomas garantizan que el álgebra de Jordan es formalmente real, de modo que, si una suma de cuadrados de términos es cero, esos términos deben ser cero. Las complejizaciones de las álgebras JB se denominan álgebras Jordan C* o álgebras JB*. Se han utilizado ampliamente en geometría compleja para extender el tratamiento algebraico de Jordan de Koecher de dominios simétricos acotados a dimensiones infinitas. No todas las álgebras de JB pueden realizarse como álgebras de Jordan de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert, exactamente como en dimensiones finitas. El álgebra de Albert excepcional es la obstrucción común.

El análogo del álgebra de Jordan de las álgebras de von Neumann es interpretado por las álgebras de JBW. Éstas resultan ser álgebras de JB que, como espacios de Banach, son los espacios duales de los espacios de Banach. Gran parte de la teoría estructural de las álgebras de von Neumann se puede trasladar a las álgebras de JBW. En particular, los factores JBW (aquellos con centro reducido a R ) se entienden completamente en términos de álgebras de von Neumann. Aparte del excepcional álgebra de Albert , todos los factores JWB se pueden realizar como álgebras de Jordan de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert cerrado en la topología de operador débil . A partir de estos, los factores de espín se pueden construir de forma muy sencilla a partir de espacios reales de Hilbert. Todos los demás factores JWB son la parte autoadjunta de un factor de von Neumann o su subálgebra de punto fijo bajo un antiautomorfismo del período 2 * del factor de von Neumann. ^[7]

anillos de jordania

Un anillo de Jordan es una generalización de las álgebras de Jordan, que sólo requiere que el anillo de Jordan esté sobre un anillo general en lugar de un campo. Alternativamente, se puede definir un anillo de Jordan como un anillo conmutativo no asociativo que respeta la identidad de Jordan.

superálgebras de jordania

Las superálgebras de Jordan fueron introducidas por Kac, Kantor y Kaplansky; estas son álgebras graduadas donde es un álgebra de Jordan y tiene un producto "tipo mentira" con valores en . ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle J_{0}\oplus J_{1}}$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{0}}$

Cualquier álgebra asociativa graduada se convierte en una superálgebra de Jordan con respecto a la llave de Jordan graduada. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle A_{0}\oplus A_{1}}$

${\displaystyle \{x_{i},y_{j}\}=x_{i}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}x_{i}\ .}$

Kac (1977) clasificó las superálgebras simples de Jordan sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0. Incluyen varias familias y algunas álgebras excepcionales, en particular y . ${\displaystyle K_{3}}$ ${\displaystyle K_{10}}$

estructuras en J

El concepto de estructura J fue introducido por Springer (1998) para desarrollar una teoría de las álgebras de Jordan utilizando axiomas y grupos algebraicos lineales tomando la inversión de Jordan como operación básica y la identidad de Hua como relación básica. En características no iguales a 2, la teoría de las estructuras J es esencialmente la misma que la de las álgebras de Jordan.

Álgebras cuadráticas de Jordan

Las álgebras cuadráticas de Jordan son una generalización de las álgebras de Jordan (lineales) introducidas por Kevin McCrimmon (1966). Las identidades fundamentales de la representación cuadrática de un álgebra de Jordan lineal se utilizan como axiomas para definir un álgebra de Jordan cuadrática sobre un campo de característica arbitraria. Existe una descripción uniforme de las álgebras de Jordan cuadráticas simples de dimensión finita, independiente de la característica: en características distintas a 2, la teoría de las álgebras de Jordan cuadráticas se reduce a la de las álgebras de Jordan lineales.

Ver también

• álgebra freudental
• sistema triple jordano
• par jordano
• Kantor–Koecher–Construcción de tetas
• Variedad Scorza

Notas

1. Jacobson 1968, págs. 35–36, comentario específico antes de (56) y teorema 8
2. Dahn, Ryan (1 de enero de 2023). "Nazis, emigrados y matemáticas abstractas". Física hoy . 76 (1): 44–50. doi : 10.1063/PT.3.5158 .
3. McCrimmon 2004, pag. 100
4. McCrimmon 2004, pag. 99
5. Springer y Veldkamp 2000, §5.8, pág. 153
6. McCrimmon 2004, págs. 99 y siguientes , 235 y siguientes
7. Ver:
   • Hanche-Olsen y Størmer 1984
   • Upmeier 1985
   • Upmeier 1987
   • Faraut y Koranyi 1994
8. McCrimmon 2004, págs. 9-10

Referencias

• Albert, A. Adrian (1946), "Sobre las álgebras de transformaciones lineales de Jordan", Transactions of the American Mathematical Society , 59 (3): 524–555, doi : 10.1090/S0002-9947-1946-0016759-3 , ISSN  0002 -9947, JSTOR  1990270, SEÑOR  0016759
• Albert, A. Adrian (1947), "Una teoría de la estructura para las álgebras de Jordan", Annals of Mathematics , Second Series, 48 ​​(3): 546–567, doi :10.2307/1969128, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969128, MR  0021546
• Báez, John C. (2002). "Los Octonions, 3: Geometría Octoniónica Proyectiva". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Toro. América. Matemáticas. Soc. 39 (2): 145–205. doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . SEÑOR  1886087. S2CID  586512.. Versión HTML en línea.
• Faraut, J.; Koranyi, A. (1994), Análisis de conos simétricos , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 0198534779
• Hanche-Olsen, H.; Størmer, E. (1984), Álgebras del operador de Jordan, Monografías y estudios de matemáticas, vol. 21, Pitman, ISBN 0273086197
• Jacobson, Nathan (2008) [1968], Estructura y representaciones de las álgebras de Jordan , Publicaciones del Coloquio de la Sociedad Matemática Estadounidense, vol. 39, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 9780821831793, SEÑOR  0251099
• Jordan, Pascual (1933), "Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik", Nachr. Akád. Wiss. Gotinga. Matemáticas. Física. kl. 1 , 41 : 209-217
• Jordán, P.; Von Neumann, J .; Wigner, E. (1934), "Sobre una generalización algebraica del formalismo mecánico cuántico", Annals of Mathematics , 35 (1): 29–64, doi :10.2307/1968117, JSTOR  1968117
• Kac, Victor G (1977), "Clasificación de superálgebras de Lie simples con calificación Z y superálgebras simples de Jordan", Communications in Algebra , 5 (13): 1375–1400, doi :10.1080/00927877708822224, ISSN  0092-7872, SEÑOR  0498755
• McCrimmon, Kevin (1966), "Una teoría general de los anillos de Jordan", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE. UU. , 56 (4): 1072–1079, Bibcode : 1966PNAS...56.1072M, doi : 10.1073/pnas.56.4.1072 , JSTOR  57792, MR  0202783, PMC  220000 , PMID  16591377, Zbl  0139.25502
• McCrimmon, Kevin (2004), Una muestra de las álgebras de Jordan, Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/b97489, ISBN 978-0-387-95447-9, SEÑOR  2014924, Zbl  1044.17001, Erratas
• Ichiro Satake (1980), Estructuras algebraicas de dominios simétricos , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08271-4. Revisar
• Schafer, Richard D. (1996), Introducción a las álgebras no asociativas , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-68813-8, Zbl  0145.25601
• Zhevlakov, KA; Slin'ko, AM; Shestakov, IP; Shirshov, AI (1982) [1978]. Anillos que son casi asociativos . Prensa académica . ISBN 0-12-779850-1. SEÑOR  0518614. Zbl  0487.17001.
• Slin'ko, AM (2001) [1994], "Álgebra de Jordania", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Springer, Tonny A. (1998) [1973], Álgebras de Jordan y grupos algebraicos , Clásicos de las matemáticas, Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-61970-0, ISBN 978-3-540-63632-8, SEÑOR  1490836, Zbl  1024.17018
• Springer, Tony A.; Veldkamp, ​​Ferdinand D. (2000) [1963], Octonions, álgebras de Jordan y grupos excepcionales, Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-12622-6, ISBN 978-3-540-66337-9, señor  1763974
• Upmeier, H. (1985), variedades simétricas de Banach y álgebras C∗ de Jordan , Estudios de Matemáticas de Holanda Septentrional, vol. 104, ISBN 0444876510
• Upmeier, H. (1987), Álgebras de Jordan en análisis, teoría de operadores y mecánica cuántica , Serie de conferencias regionales de matemáticas del CBMS, vol. 67, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 082180717X

Otras lecturas

• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alejandro ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998), El libro de las involuciones , Publicaciones Coloquio, vol. 44, con prefacio de J. Boobs, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0904-0, Zbl  0955.16001

enlaces externos

• Álgebra de Jordania en PlanetMath
• Álgebras de Jordan-Banach y Jordan-Lie en PlanetMath