En matemáticas, una estructura J es una estructura algebraica sobre un campo relacionado con el álgebra de Jordan . El concepto fue introducido por Springer (1973) para desarrollar una teoría de las álgebras de Jordan utilizando axiomas y grupos algebraicos lineales tomando la inversión de Jordan como operación básica y la identidad de Hua como relación básica. Existe una clasificación de estructuras simples derivada de la clasificación de grupos algebraicos semisimples . En campos de características no iguales a 2, la teoría de las estructuras J es esencialmente la misma que la de las álgebras de Jordan.
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo K y j una aplicación racional de V a sí mismo, expresable en la forma n / N con n una aplicación polinómica de V a sí mismo y N un polinomio en K [ V ]. Sea H el subconjunto de GL( V ) × GL( V ) que contiene los pares ( g , h ) tales que g ∘ j = j ∘ h : es un subgrupo cerrado del producto y la proyección sobre el primer factor, el El conjunto de g que ocurre es el grupo estructural de j , denotado G' ( j ).
Una estructura J es una triple ( V , j , e ) donde V es un espacio vectorial sobre K , j es un mapa birracional de V a sí mismo y e es un elemento distinto de cero de V que satisface las siguientes condiciones. [1]
La norma asociada a una estructura J ( V , j , e ) es el numerador N de j , normalizado para que N ( e ) = 1. El grado de la estructura J es el grado de N como un mapa polinomial homogéneo. [2]
El mapa cuadrático de la estructura es un mapa P desde V hasta el extremo ( V ) definido en términos del diferencial d j en un x invertible . [3] Ponemos
La aplicación cuadrática resulta ser una aplicación polinómica cuadrática en V.
El subgrupo del grupo de estructura G generado por los mapas cuadráticos invertibles es el grupo de estructura interno de la estructura J. Es un subgrupo normal cerrado y conectado. [4]
Sea K una característica distinta de 2. Sea Q una forma cuadrática en el espacio vectorial V sobre K con la forma bilineal asociada Q ( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y ) y elemento distinguido e tal que Q ( e ,.) no es trivial. Definimos un mapa de reflexión x * por
y un mapa de inversión j por
Entonces ( V , j , e ) es una estructura J.
Sea Q la función cuadrática habitual de suma de cuadrados en K r para un entero fijo r , equipado con la base estándar e 1 ,..., e r . Entonces ( K r , Q , e r ) es una estructura J de grado 2. Se denota O 2 . [5]
En la característica no igual a 2, que asumimos en esta sección, la teoría de las estructuras J es esencialmente la misma que la de las álgebras de Jordan.
Sea A un álgebra conmutativa no asociativa de dimensión finita sobre K con identidad e . Sea L ( x ) la multiplicación de la izquierda por x . Hay un mapa biracional único i en A tal que i ( x ). x = e si i es regular sobre x : es homogénea de grado −1 y una involución con i ( e ) = e . Puede definirse como i ( x ) = L ( x ) −1 . mi . A i la llamamos inversión en A. [6]
Un álgebra de Jordan se define por la identidad [7] [8]
Una caracterización alternativa es que para todo x invertible tenemos
Si A es un álgebra de Jordan, entonces ( A , i , e ) es una estructura J. Si ( V , j , e ) es una estructura J, entonces existe una estructura de álgebra de Jordan única en V con identidad e con inversión j .
En la característica general, que asumimos en esta sección, las estructuras J están relacionadas con las álgebras de Jordan cuadráticas . Tomamos un álgebra cuadrática de Jordan como un espacio vectorial de dimensión finita V con un mapa cuadrático Q desde V hasta End( V ) y un elemento distinguido e . Dejamos que Q también denote el mapa bilineal Q ( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y ). Las propiedades de un álgebra de Jordan cuadrática serán [9] [10]
Llamamos a Q ( x ) e el cuadrado de x . Si la elevación al cuadrado es dominante (tiene imagen densa de Zariski ), entonces el álgebra se denomina separable . [11]
Existe una involución biracional única i tal que Q ( x ) i x = x si Q es regular en x . Como antes, i es la inversión , definible por i ( x ) = Q ( x ) −1 x .
Si ( V , j , e ) es una estructura J, con mapa cuadrático Q entonces ( V , Q , e ) es un álgebra de Jordan cuadrática. En la dirección opuesta, si ( V , Q , e ) es un álgebra de Jordan cuadrática separable con inversión i , entonces ( V , i , e ) es una estructura J. [12]
McCrimmon propuso una noción de estructura H eliminando el axioma de densidad y fortaleciendo el tercero (una forma de la identidad de Hua) para que se mantenga en todos los isótopos . La estructura resultante es categóricamente equivalente a un álgebra de Jordan cuadrática. [13] [14]
Una estructura J tiene una descomposición de Peirce en subespacios determinados por elementos idempotentes. [15] Sea a un idempotente de la estructura J ( V , j , e ), es decir, a 2 = a . Sea Q el mapa cuadrático. Definir
Esto es invertible para t distinto de cero , u en K , por lo que φ define un morfismo del toro algebraico GL 1 × GL 1 al grupo de estructura interna G 1 . Hay subespacios
y estos forman una descomposición suma directa de V . Esta es la descomposición de Peirce para el idempotente a . [dieciséis]
Si eliminamos la condición en el elemento distinguido e , obtenemos "estructuras J sin identidad". [17] Estos están relacionados con isótopos de las álgebras de Jordan. [18]
