Mutación (álgebra)

En la teoría de álgebras sobre un cuerpo , la mutación es una construcción de una nueva operación binaria relacionada con la multiplicación del álgebra. En casos específicos, el álgebra resultante puede denominarse homotopo o isótopo del original.

Definiciones

Sea A un álgebra sobre un campo F con la multiplicación (no se supone que sea asociativa ) denotada por yuxtaposición. Para un elemento a de A , defina el homotopo a izquierdo como el álgebra con multiplicación ${\displaystyle A(a)}$

${\displaystyle x*y=(xa)y.\,}$

Defina de manera similar la mutación izquierda ( a , b ) ${\displaystyle A(a,b)}$

${\displaystyle x*y=(xa)y-(yb)x.\,}$

El homotopo derecho y la mutación se definen de manera análoga. Dado que la mutación derecha ( p , q ) de A es la mutación izquierda (− q , − p ) del álgebra opuesta a A , basta con estudiar las mutaciones izquierdas. ^[1]

Si A es un álgebra unital y a es invertible, nos referimos al isótopo mediante a .

Propiedades

• Si A es asociativo, entonces también lo es cualquier homotopo de A , y cualquier mutación de A es Lie-admisible .
• Si A es alternativa, entonces también lo es cualquier homotopo de A , y cualquier mutación de A es admisible según Malcev . ^[1]
• Cualquier isótopo de un álgebra de Hurwitz es isomorfo al original. ^[1]
• Un homotopo de un álgebra de Bernstein por un elemento de peso distinto de cero es nuevamente un álgebra de Bernstein. ^[2]

Álgebras de Jordania

Un álgebra de Jordan es un álgebra conmutativa que satisface la identidad de Jordan . El triple producto de Jordan se define por ${\displaystyle (xy)(xx)=x(y(xx))}$

${\displaystyle \{a,b,c\}=(ab)c+(cb)a-(ac)b.\,}$

Para y en A la mutación ^[3] u homotopo ^[4] A ^y se define como el espacio vectorial A con multiplicación

${\displaystyle a\circ b=\{a,y,b\}.\,}$

y si y es invertible, esto se denomina isótopo . Un homotopo de un álgebra de Jordan es nuevamente un álgebra de Jordan: la isotopía define una relación de equivalencia. ^[5] Si y es nuclear, entonces el isótopo de y es isomorfo al original. ^[6]

Referencias

1. Elduque y Myung (1994) p. 34
2. González, S. (1992). "Álgebra homotópica de un álgebra de Bernstein". En Myung, Hyo Chul (ed.). Actas de la quinta conferencia internacional sobre mecánica hadrónica e interacciones no potenciales, celebrada en la Universidad del Norte de Iowa, Cedar Falls, Iowa, EE. UU., Del 13 al 17 de agosto de 1990. Parte 1: Matemáticas . Nueva York: Nova Science Publishers. págs. 149-159. Zbl  0787.17029.
3. Koecher (1999) pág. 76
4. McCrimmon (2004) pág. 86
5. McCrimmon (2004) pág. 71
6. McCrimmon (2004) pág. 72

• Elduque, Alberto; Myung, Hyo Chyl (1994). Mutaciones de álgebras alternativas . Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 278. Springer-Verlag . ISBN 0792327357.
• Jacobson, Nathan (1996). Álgebras de división de dimensiones finitas sobre campos . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2. Zbl  0874.16002.
• Koecher, Max (1999) [1962]. Krieg, Aloys; Walcher, Sebastián (eds.). Las notas de Minnesota sobre las álgebras de Jordan y sus aplicaciones . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1710 (reimpresión ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-66360-6. Zbl  1072.17513.
• McCrimmon, Kevin (2004). Una muestra de las álgebras de Jordan . Texto universitario. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/b97489. ISBN 0-387-95447-3. SEÑOR  2014924.
• Okubo, Susumo (1995). Introducción al Octonion y otras álgebras no asociativas en Física. Serie de conferencias Montroll Memorial sobre física matemática. Berlín, Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-47215-6. SEÑOR  1356224. Archivado desde el original el 16 de noviembre de 2012 . Consultado el 4 de febrero de 2014 .