En álgebra , un sistema triple (o ternar ) es un espacio vectorial V sobre un campo F junto con un mapa F -trilineal.
Los ejemplos más importantes son los sistemas triples de Lie y los sistemas triples de Jordan . Fueron introducidos por Nathan Jacobson en 1949 para estudiar subespacios de álgebras asociativas cerradas bajo conmutadores triples [[ u , v ], w ] y anticonmutadores triples { u , { v , w }}. En particular, cualquier álgebra de Lie define un sistema triple de Lie y cualquier álgebra de Jordan define un sistema triple de Jordan. Son importantes en las teorías de los espacios simétricos , particularmente en los espacios simétricos hermitianos y sus generalizaciones ( espacios R simétricos y sus duales no compactos).
Mentir sistemas triples
Se dice que un sistema triple es un sistema triple de Lie si el mapa trilineal, denotado por , satisface las siguientes identidades:
Las dos primeras identidades abstraen la simetría sesgada y la identidad de Jacobi para el conmutador triple, mientras que la tercera identidad significa que el mapa lineal L u , v : V → V , definido por L u , v ( w ) = [ u , v , w ], es una derivación del triple producto. La identidad también muestra que el espacio k = span {L u , v : u , v ∈ V } está cerrado bajo el corchete del conmutador, de ahí un álgebra de Lie.
Escribiendo m en lugar de V , se deduce que
se puede convertir en un álgebra de Lie graduada, la incorporación estándar de m , con corchetes
La descomposición de g es claramente una descomposición simétrica para este grupo de Lie y, por lo tanto, si G es un grupo de Lie conectado con álgebra de Lie g y K es un subgrupo con álgebra de Lie k , entonces G / K es un espacio simétrico .
Por el contrario, dada un álgebra de Lie g con tal descomposición simétrica (es decir, es el álgebra de Lie de un espacio simétrico), el triple corchete [[ u , v ], w ] convierte a m en un sistema triple de Lie.
Sistemas triples jordanos
Se dice que un sistema triple es un sistema triple de Jordan si el mapa trilineal, denotado {.,.,.}, satisface las siguientes identidades:
La primera identidad abstrae la simetría del triple anticonmutador, mientras que la segunda identidad significa que si L u , v : V → V está definido por L u , v ( y ) = { u , v , y } entonces
de modo que el espacio de los mapas lineales abarca {L u , v : u , v ∈ V } está cerrado bajo el soporte del conmutador y, por lo tanto, es un álgebra de Lie g 0 .
Cualquier sistema triple Jordan es un sistema triple Lie respecto al producto
Se dice que un sistema triple de Jordan es definido positivo (resp. no degenerado ) si la forma bilineal en V definida por la traza de L u , v es definida positiva (resp. no degenerado). En cualquier caso, hay una identificación de V con su espacio dual y una involución correspondiente en g 0 . Inducen una involución de
que en el caso definido positivo es una involución de Cartan. El espacio simétrico correspondiente es un espacio R simétrico . Tiene un dual no compacto dado al reemplazar la involución de Cartan por su compuesta con la involución igual a +1 en g 0 y −1 en V y V * . Un caso especial de esta construcción surge cuando g 0 conserva una estructura compleja en V . En este caso obtenemos espacios simétricos hermitianos duales de tipo compacto y no compacto (siendo estos últimos dominios simétricos acotados ).
par jordano
Un par de Jordan es una generalización de un sistema triple de Jordan que involucra dos espacios vectoriales V + y V − . Luego, el mapa trilineal se reemplaza por un par de mapas trilineales.
que a menudo se ven como aplicaciones cuadráticas V + → Hom( V − , V + ) y V − → Hom( V + , V − ). El otro axioma de Jordan (aparte de la simetría) también se reemplaza por dos axiomas, uno de los cuales es
y el otro es el análogo con los subíndices + y − intercambiados.
Como en el caso de los sistemas triples de Jordan, se puede definir, para u en V − y v en V + , una aplicación lineal
y de manera similar L − . Los axiomas de Jordan (aparte de la simetría) pueden entonces escribirse
lo que implica que las imágenes de L + y L − están cerradas bajo corchetes del conmutador en End( V + ) y End( V − ). Juntos determinan un mapa lineal.
cuya imagen es una subálgebra de Lie , y las identidades de Jordan se convierten en identidades de Jacobi para un grupo de Lie graduado en
de modo que a la inversa, si
es un álgebra de Lie graduada, entonces el par es un par de Jordan, con corchetes
Los sistemas triples de Jordan son pares de Jordan con V + = V − y mapas trilineales iguales. Otro caso importante ocurre cuando V + y V − son duales entre sí, con aplicaciones trilineales duales determinadas por un elemento de
Estos surgen en particular cuando lo anterior es semisimple, cuando la forma Killing proporciona una dualidad entre y .
Ver también
Referencias
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