Álgebra del operador de Jordan

En matemáticas , las álgebras de operadores de Jordan son álgebras de Jordan reales o complejas con la estructura compatible de un espacio de Banach. Cuando los coeficientes son números reales , las álgebras se llaman álgebras de Jordan Banach . La teoría se ha desarrollado extensamente sólo para la subclase de álgebras JB . Los axiomas de estas álgebras fueron ideados por Alfsen, Shultz y Størmer (1978). Aquellas que pueden realizarse concretamente como subálgebras de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert real o complejo con el operador producto de Jordan y la norma del operador se denominan álgebras JC . Los axiomas para álgebras complejas de operadores de Jordan, sugeridos por primera vez por Irving Kaplansky en 1976, requieren una involución y se denominan álgebras JB* o álgebras de Jordan C* . Por analogía con la caracterización abstracta de las álgebras de von Neumann como álgebras C* para las cuales el espacio de Banach subyacente es el dual de otro, existe una definición correspondiente de álgebras JBW . Aquellas que se pueden realizar utilizando álgebras de Jordan ultradébilmente cerradas de operadores autoadjuntos con el operador producto de Jordan se denominan álgebras JW . Las álgebras JBW con centro trivial, los llamados factores JBW , se clasifican en términos de factores de von Neumann: aparte del excepcional álgebra de Albert de 27 dimensiones y los factores de espín , todos los demás factores JBW son isomórficos o bien a la parte autoadjunta de un Factor de von Neumann o su álgebra de punto fijo bajo un período dos * -antiautomorfismo. Las álgebras del operador de Jordan se han aplicado en mecánica cuántica y en geometría compleja , donde la descripción de Koecher de dominios simétricos acotados utilizando álgebras de Jordan se ha extendido a dimensiones infinitas.

Definiciones

álgebra JC

Un álgebra JC es un subespacio real del espacio de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert real o complejo, cerrado bajo el operador Jordan producto a ∘ b =1/2( ab + ba ) y cerrado en la norma del operador.

álgebra JC

Un álgebra JC es un subespacio autoadjunto cerrado con normas del espacio de operadores en un espacio de Hilbert complejo, cerrado bajo el operador Jordan producto a ∘ b =1/2( ab + ba ) y cerrado en la norma del operador.

Álgebra del operador de Jordan

Un álgebra de operadores de Jordan es un subespacio cerrado por normas del espacio de operadores en un espacio de Hilbert complejo, cerrado bajo el producto de Jordan a ∘ b =1/2( ab + ba ) y cerrado en la norma del operador. ^[1]

Álgebra de Jordan Banach

Un álgebra de Jordan Banach es un álgebra de Jordan real con una norma que la convierte en un espacio de Banach y es satisfactoria || un ∘ b || ≤ || un ||⋅|| segundo ||.

álgebra JB

Un álgebra de JB es satisfactorio para un álgebra de Jordan Banach

${\displaystyle \displaystyle {\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}}$

Álgebras JB*

Un álgebra JB* o álgebra de Jordan C* es un álgebra de Jordan compleja con una involución a ↦ a * y una norma que la convierte en un espacio de Banach y satisface

• || un ∘ b || ≤ || un ||⋅|| segundo ||
• || un *|| = || un ||
• ||{ a , a *, a }|| = || un || ³ donde el triple producto de Jordan se define por { a , b , c } = ( a ∘ b ) ∘ c + ( c ∘ b ) ∘ a − ( a ∘ c ) ∘ b .

Álgebras JW

Un álgebra JW es una subálgebra de Jordan del álgebra de Jordan de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert complejo que está cerrado en la topología de operador débil .

Álgebras JBW

Un álgebra JBW es un álgebra JB que, como espacio real de Banach, es el dual de un espacio de Banach llamado predual . ^[2] Existe una definición equivalente más técnica en términos de las propiedades de continuidad de los funcionales lineales en el predual, llamados funcionales normales . Esto suele tomarse como la definición y la caracterización abstracta como resultado de un espacio dual de Banach. ^[3]

• Para la estructura de orden en un álgebra JB (definida a continuación), cualquier red creciente de operadores acotados en norma debe tener un límite superior mínimo.
• Los funcionales normales son aquellos que son continuos en redes crecientes y acotadas de operadores. Los funcionales normales positivos son aquellos que no son negativos en operadores positivos.
• Para cada operador distinto de cero, existe una función normal positiva que no desaparece en ese operador.

Propiedades de las álgebras de JB

• Si un álgebra JB unital es asociativa , entonces su complejización con su involución natural es un álgebra C* conmutativa. Por tanto, es isomorfo a C( X ) para un espacio compacto de Hausdorff X , el espacio de caracteres del álgebra.
• Teorema espectral. Si a es un operador único en un álgebra de JB, la subálgebra cerrada generada por 1 y a es asociativa. Se puede identificar con las funciones continuas de valores reales en el espectro de a , el conjunto de λ reales para las cuales a − λ1 no es invertible.
• Los elementos positivos en un álgebra JB unital son aquellos cuyo espectro está contenido en [0,∞). Según el teorema espectral, coinciden con el espacio de los cuadrados y forman un cono convexo cerrado. Si b ≥ 0, entonces { a , b , a } ≥ 0.
• Un álgebra de JB es un álgebra de Jordan formalmente real : si la suma de los cuadrados de los términos es cero, entonces cada término es cero. En dimensiones finitas, un álgebra de JB es isomorfa a un álgebra euclidiana de Jordan . ^[4]
• El radio espectral en un álgebra de JB define una norma equivalente que también satisface los axiomas de un álgebra de JB.
• Un estado en un álgebra JB unital es un funcional lineal acotado f tal que f (1) = 1 y f no es negativo en el cono positivo. El espacio de estados es un conjunto convexo cerrado en la topología débil*. Los puntos extremos se llaman estados puros. Dado a existe un estado puro f tal que | f ( a )| = || un ||.
• Construcción de Gelfand-Naimark-Segal : si un álgebra JB es isomorfa a las matrices autoadjuntas n por n con coeficientes en alguna *-álgebra unital asociativa, entonces es isométricamente isométrica a un álgebra JC. El álgebra JC satisface la condición adicional de que ( T + T *)/2 se encuentra en el álgebra siempre que T sea un producto de operadores del álgebra. ^[5]
• Un álgebra JB es puramente excepcional si no tiene homomorfismo de Jordan distinto de cero en un álgebra JC. La única álgebra simple que puede surgir como imagen homomórfica de un álgebra JB puramente excepcional es el álgebra de Albert , las matrices autoadjuntas de 3 por 3 sobre los octoniones .
• Cada álgebra JB tiene un ideal cerrado determinado de forma única que es puramente excepcional, y tal que el cociente entre el ideal es un álgebra JC.
• Teorema de Shirshov-Cohn. Un álgebra JB generada por 2 elementos es un álgebra JC. ^[6]

Propiedades de las álgebras JB*

La definición de álgebras JB* fue sugerida en 1976 por Irving Kaplansky en una conferencia en Edimburgo. La parte real de un álgebra JB* es siempre un álgebra JB. Wright (1977) demostró que, a la inversa, la complejización de cada álgebra JB es un álgebra JB*. Las álgebras JB* se han utilizado ampliamente como marco para estudiar dominios simétricos acotados en infinitas dimensiones. Esta generaliza la teoría en dimensiones finitas desarrollada por Max Koecher utilizando la complejización de un álgebra euclidiana de Jordan . ^[7]

Propiedades de las álgebras JBW

Propiedades elementales

• El teorema de densidad de Kaplansky es válido para álgebras de Jordan unitarias reales de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert con el producto del operador Jordan. En particular, un álgebra de Jordan está cerrada en la topología de operador débil si y sólo si está cerrada en la topología de operador ultradébil . Las dos topologías coinciden en el álgebra de Jordan. ^[8]
• Para un álgebra JBW, el espacio de funcionales normales positivas es invariante bajo la representación cuadrática Q ( a ) b = { a , b , a }. Si f es positiva también lo es f ∘ Q ( a ).
• La topología débil en un álgebra JW M está definida por las seminormas | f ( a )| donde f es un estado normal; la topología fuerte está definida por las seminormas | f ( a ² )| ^1/2 . La representación cuadrática y los operadores del producto de Jordan L ( a ) b = a ∘ b son operadores continuos en M tanto para la topología débil como para la fuerte.
• Una p idempotente en un álgebra M de JBW se llama proyección . Si p es una proyección, entonces Q ( p ) M es un álgebra JBW con identidad p .
• Si a es cualquier elemento de un álgebra JBW, la subálgebra unital débilmente cerrada más pequeña que genera es asociativa y, por tanto, la parte autoadjunta de un álgebra abeliana de von Neumann. En particular, a puede aproximarse normalmente mediante combinaciones lineales de proyecciones ortogonales.
• Las proyecciones en un álgebra JBW están cerradas bajo operaciones de red. Así, para una familia p _α hay una proyección más pequeña p tal que p ≥ p _α y una proyección más grande q tal que q ≤ p _α .
• El centro de un álgebra JBW M consta de todos los z tales que L ( z ) conmuta con L ( a ) para a en M . Es un álgebra asociativa y la parte real de un álgebra abeliana de von Neumann. Un álgebra JBW se denomina factor si su centro está formado por operadores escalares.
• Si A es un álgebra JB, su segundo dual A ** es un álgebra JBW. Los estados normales son estados en A * y pueden identificarse con estados en A . Además, A ** es el álgebra JBW generada por A.
• Un álgebra JB es un álgebra JBW si y sólo si, como espacio real de Banach, es el dual de un espacio de Banach. Este espacio de Banach, su predual , es el espacio de funcionales normales, definido como diferencias de funcionales normales positivos. Estos son los funcionales continuos para las topologías débiles o fuertes. Como consecuencia, las topologías débil y fuerte coinciden en un álgebra JBW.
• En un álgebra JBW, el álgebra JBW generada por una subálgebra de Jordan coincide con su cierre débil. Además, se cumple una extensión del teorema de densidad de Kaplansky: la bola unitaria de la subálgebra es débilmente densa en la bola unitaria del álgebra JBW que genera.
• Haagerup y Hanche-Olsen (1984) han ampliado la teoría de Tomita-Takesaki a estados normales de un álgebra JBW que son fieles, es decir, que no desaparecen con ningún operador positivo distinto de cero. La teoría se puede deducir de la teoría original de las álgebras de von Neumann. ^[9]

Comparación de proyecciones

Sea M un factor JBW. Los automorfismos internos de M son los generados por el período dos automorfismos Q (1 – 2 p ) donde p es una proyección. Dos proyecciones son equivalentes si hay un automorfismo interno que transmite una a la otra. Dadas dos proyecciones en un factor, una de ellas siempre es equivalente a una subproyección de la otra. Si cada uno es equivalente a una subproyección del otro, son equivalentes.

Un factor JBW se puede clasificar en tres tipos mutuamente excluyentes de la siguiente manera:

• Es tipo I si hay una proyección mínima. Es de tipo I _n si 1 puede escribirse como una suma de n proyecciones mínimas ortogonales para 1 ≤ n ≤ ∞.
• Es Tipo II si no hay proyecciones mínimas pero las subproyecciones de algunas proyecciones fijas e forman una red modular , es decir, p ≤ q implica ( p ∨ r ) ∧ q = p ∨ ( r ∧ q ) para cualquier proyección r ≤ e . Si se puede tomar e como 1, es Tipo II ₁ . En caso contrario es tipo II _≈ .
• Es Tipo III si los salientes no forman una red modular. Todas las proyecciones distintas de cero son entonces equivalentes. ^[10]

La teoría de Tomita-Takesaki permite una clasificación adicional del caso tipo III en tipos III _λ (0 ≤ λ ≤ 1) con la invariante adicional de un flujo ergódico en un espacio de Lebesgue (el "flujo de pesos") cuando λ = 0. ^{[ 11]}

Clasificación de factores JBW de tipo I.

• El factor JBW del Tipo I ₁ son los números reales .
• Los factores JBW del Tipo I ₂ son los factores de espín . Sea H un espacio real de Hilbert de dimensión mayor que 1. Conjunto M = H ⊕ R con producto interno ( u ⊕λ, v ⊕μ) =( u , v ) + λμ y producto (u⊕λ)∘(v⊕ μ)=( μ u + λ v ) ⊕ [( u , v ) + λμ]. Con la norma del operador || L ( a )||, M es un factor JBW y también un factor JW.
• Los factores JBW de Tipo I ₃ son las matrices autoadjuntas de 3 por 3 con entradas en los números reales, los números complejos o los cuaterniones o los octoniones .
• Los factores JBW de tipo I _n con 4 ≤ n < ∞ son las matrices autoadjuntas n por n con entradas en los números reales, los números complejos o los cuaterniones.
• Los factores JBW de Tipo I _∞ son los operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert real, complejo o cuaterniónico de dimensión infinita. El espacio cuaterniónico se define como todas las secuencias x = ( x _i ) con x _i en H y Σ | xyo |_​ ² < ∞. El producto interno con valor H viene dado por ( x , y ) = Σ ( y _i )* x _i . Hay un producto interno real subyacente dado por ( x , y ) _R = Re ( x , y ). El factor JBW cuaterniónico de Tipo I _∞ es, por tanto , el álgebra de Jordan de todos los operadores autoadjuntos en este espacio producto interno real que conmutan con la acción de la multiplicación correcta por H. ^[12]

Clasificación de factores JBW de tipos II y III.

Los factores JBW que no son de Tipo I ₂ y I ₃ son todos factores JW, es decir, pueden realizarse como álgebras de Jordan de operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert cerrado en la topología de operador débil. Todo factor JBW que no sea de Tipo I ₂ o Tipo I ₃ es isomorfo a la parte autoadjunta del álgebra de punto fijo de un antiautomorfismo de período 2 * de un álgebra de von Neumann. En particular, cada factor JBW es isomorfo a la parte autoadjunta de un factor de von Neumann del mismo tipo o a la parte autoadjunta del álgebra de punto fijo de un período 2 *-antiautomorfismo de un factor de von Neumann de el mismo tipo. ^[13] Para los factores hiperfinitos , la clase de factores de von Neumann completamente clasificados por Connes y Haagerup, los antiautomorfismos del período 2 * se han clasificado hasta la conjugación en el grupo de automorfismos del factor. ^[14]

Ver también

• Álgebra de Jordania
• Álgebra euclidiana de Jordan

Notas

1. Blecher y Wang 2018, pag. 1629
2. Hanche-Olsen y Størmer 1984, pág. 111
3. Hanche-Olsen y Størmer 1984, pág. 94
4. Faraut y Korányi 1994
5. Hanche-Olsen y Størmer 1984, págs. 75–90
6. Hanche-Olsen y Størmer 1984, págs. 155-156
7. Ver:
   • Hanche-Olsen y Størmer 1984, págs. 90–92
   • Upmeier 1985
8. Ver:
   • Effros y Størmer 1967
   • Dixmier 1957
   • Dixmier 1981
   • Hanche-Olsen y Størmer 1984, pág. 112
9. Hanche-Olsen y Størmer 1984, págs. 94-119
10. Hanche-Olsen y Størmer 1984, págs. 120-134
11. Haagerup y Hanche-Olsen 1984
12. Hanche-Olsen y Størmer 1984
13. Ver:
    • Hanche-Olsen y Størmer 1984, págs. 122-123
    • Hanche-Olsen 1983
    • Haagerup y Hanche-Olsen 1984, pág. 347
14. Ver:
    • Størmer 1980
    • Giordano y Jones 1980
    • Giordano 1983a
    • Giordano 1983b

Referencias

• Alfsen, EM; Shultz, FW; Størmer, E. (1978), "Un teorema de Gelfand-Neumark para álgebras de Jordan", Avances en Matemáticas , 28 : 11–56, doi : 10.1016/0001-8708(78)90044-0 , hdl : 10852/43986
• Blecher, David P.; Wang, Zhenhua (2018), "Álgebras de operadores de Jordan: teoría básica", Mathematische Nachrichten , 291 (11–12): 1629–1654, arXiv : 1705.00245 , doi :10.1002/mana.201700178, S2CID  119166047
• Dixmier, J. (1981), Álgebras de Von Neumann , ISBN 0-444-86308-7(Una traducción de Dixmier, J. (1957), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann , Gauthier-Villars, el primer libro sobre álgebras de von Neumann.)
• Effros, EG; Størmer, E. (1967), "Álgebras de Jordania de operadores autoadjuntos", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 127 (2): 313–316, doi : 10.1090/s0002-9947-1967-0206733-x , hdl : 10852/44991
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