Topología de operador débil

Topología débil en espacios funcionales.

En análisis funcional , la topología de operador débil , a menudo abreviada WOT , ^[1] es la topología más débil en el conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert , de modo que el funcional que envía un operador al número complejo es continuo para cualquier vector y en el Espacio de Hilbert. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \langle Tx,y\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Explícitamente, para un operador existe una base de vecindades del siguiente tipo: elegir un número finito de vectores , funcionales continuos y constantes reales positivas indexadas por un mismo conjunto finito . Un operador se encuentra en la vecindad si y sólo si para todos . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |y_{i}(T(x_{i})-S(x_{i}))|<\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

De manera equivalente, una red de operadores acotados converge a en WOT si para todos y , la red converge a . ${\displaystyle T_{i}\subseteq B(H)}$ ${\displaystyle T\in B(H)}$ ${\displaystyle y\in H^{*}}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle y(T_{i}x)}$ ${\displaystyle y(Tx)}$

Relación con otras topologías en B ( H )

El WOT es el más débil entre todas las topologías comunes en ${\displaystyle B(H)}$ los operadores acotados en un espacio de Hilbert . ${\displaystyle H}$

Topología de operador fuerte

La topología de operador fuerte , o SOT, es la topología de convergencia puntual. Debido a que el producto interno es una función continua, el SOT es más fuerte que el WOT. El siguiente ejemplo muestra que esta inclusión es estricta. Consideremos la secuencia de desplazamientos a la derecha. Una aplicación de Cauchy-Schwarz muestra esto en WOT. Pero claramente no converge en SOT. ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \{T^{n}\}}$ ${\displaystyle T^{n}\to 0}$ ${\displaystyle T^{n}}$ ${\displaystyle 0}$

Los funcionales lineales en el conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert que son continuos en la topología de operador fuerte son precisamente aquellos que son continuos en el WOT (de hecho, el WOT es la topología de operador más débil que deja continuos a todos los funcionales lineales fuertemente continuos en el espacio de Hilbert). conjunto de operadores acotados en el espacio de Hilbert H ). Por este hecho, el cierre de un conjunto convexo de operadores en el WOT es el mismo que el cierre de ese conjunto en el SOT. ${\displaystyle B(H)}$

De la identidad de polarización se deduce que una red converge en SOT si y solo si en WOT. ${\displaystyle \{T_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle T_{\alpha }^{*}T_{\alpha }\to 0}$

Topología del operador de estrella débil

El predual de B ( H ) son los operadores de clase de traza C ₁ ( H ), y genera la topología w* en  B ( H ), llamada topología de operador de estrella débil o topología σ-débil. Las topologías de operador débil y σ-débil coinciden en conjuntos acotados por normas en  B ( H ).

Una red { T _α } ⊂ B ( H ) converge a T en WOT si y solo Tr( T _α F ) converge a Tr( TF ) para todo operador de rango finito F . Dado que cada operador de rango finito es de clase traza, esto implica que WOT es más débil que la topología σ-débil. Para ver por qué la afirmación es cierta, recuerde que todo operador de rango finito F es una suma finita

${\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*}.}$

Entonces { T _α } converge a T en WOT significa

${\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }F\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TF).}$

Ampliando ligeramente, se puede decir que las topologías de operador débil y σ-débil concuerdan en conjuntos acotados por normas en B ( H ): Cada operador de clase de traza es de la forma

${\displaystyle S=\sum _{i}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*},}$

donde converge la serie . Supongamos y en WOT. Para cada clase de traza S , ${\displaystyle \sum \nolimits _{i}\lambda _{i}}$ ${\displaystyle \sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,}$ ${\displaystyle T_{\alpha }\to T}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }S\right)=\sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TS),}$

invocando, por ejemplo, el teorema de convergencia dominada .

Por lo tanto, todo conjunto acotado por normas es compacto en WOT, según el teorema de Banach-Alaoglu .

Otras propiedades

La operación adjunta T → T* , como consecuencia inmediata de su definición, es continua en WOT.

La multiplicación no es conjuntamente continua en WOT: nuevamente, sea el cambio unilateral. Apelando a Cauchy-Schwarz, se tiene que tanto T ⁿ como T* ⁿ convergen a 0 en WOT. Pero T* ⁿ T ⁿ es el operador de identidad para todos . (Debido a que WOT coincide con la topología σ-débil en conjuntos acotados, la multiplicación no es conjuntamente continua en la topología σ-débil). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

Sin embargo, se puede hacer una afirmación más débil: la multiplicación es continua por separado en WOT. Si una red T _i → T en WOT, entonces ST _i → ST y T _i S → TS en WOT.

SOT y WOT en B(X,Y) cuando X e Y son espacios normados

Podemos extender las definiciones de SOT y WOT al escenario más general donde X e Y son espacios normados y es el espacio de operadores lineales acotados de la forma . En este caso, cada par y define una seminorma mediante la regla . La familia resultante de seminormas genera la topología de operador débil en . De manera equivalente, el WOT on se forma tomando como vecindarios abiertos básicos aquellos conjuntos de la forma ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y^{*}\in Y^{*}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{x,y^{*}}}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle \|T\|_{x,y^{*}}=|y^{*}(Tx)|}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

${\displaystyle N(T,F,\Lambda ,\epsilon ):=\left\{S\in B(X,Y):\left|y^{*}((S-T)x)\right|<\epsilon ,x\in F,y^{*}\in \Lambda \right\},}$

donde es un conjunto finito, también es un conjunto finito y . El espacio es un espacio vectorial topológico localmente convexo cuando está dotado de WOT. ${\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}$ ${\displaystyle \Lambda \subseteq Y^{*}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

La topología de operador fuerte es generada por la familia de seminormas a través de las reglas . Por tanto, una base topológica para el SOT está dada por vecindades abiertas de la forma ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{x},x\in X,}$ ${\displaystyle \|T\|_{x}=\|Tx\|}$

${\displaystyle N(T,F,\epsilon ):=\{S\in B(X,Y):\|(S-T)x\|<\epsilon ,x\in F\},}$

donde como antes es un conjunto finito, y ${\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}$ ${\displaystyle \epsilon >0.}$

Relaciones entre diferentes topologías en B(X,Y)

La diferente terminología para las distintas topologías a veces puede resultar confusa. Por ejemplo, "fuerte convergencia" para vectores en un espacio normado a veces se refiere a la convergencia de normas, que muy a menudo es distinta (y más fuerte que) que la convergencia SOT cuando el espacio normado en cuestión es . La topología débil en un espacio normado es la topología más burda que hace que los funcionales lineales sean continuos; cuando reemplazamos , la topología débil puede ser muy diferente a la topología del operador débil. Y si bien el WOT es formalmente más débil que el SOT, el SOT es más débil que la topología de norma del operador. ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$

En general, se mantienen las siguientes inclusiones:

${\displaystyle \{{\text{WOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{SOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{operator-norm-open sets in }}B(X,Y)\},}$

y estas inclusiones pueden ser estrictas o no dependiendo de las elecciones de y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

El WOT es una topología formalmente más débil que el SOT, pero, sin embargo, comparten algunas propiedades importantes. Por ejemplo, ${\displaystyle B(X,Y)}$

${\displaystyle (B(X,Y),{\text{SOT}})^{*}=(B(X,Y),{\text{WOT}})^{*}.}$

En consecuencia, si es convexo entonces ${\displaystyle S\subseteq B(X,Y)}$

${\displaystyle {\overline {S}}^{\text{SOT}}={\overline {S}}^{\text{WOT}},}$

en otras palabras, el cierre SOT y el cierre WOT coinciden para conjuntos convexos.

Referencias

1. Ilijas Farah, Teoría combinatoria de conjuntos de álgebras C * (2019), p. 80.

Ver también

• Topologías sobre el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
• Topología débil  - Término matemático
• Topología del operador de estrella débil