En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , la topología ultradébil , también llamada topología débil-* , o topología de operador débil-* o topología σ-débil , es una topología en B ( H ), el espacio de operadores acotados en un Hilbert. espacio H. B ( H ) admite un predual B * ( H ), los operadores de clase de seguimiento en H . La topología ultradébil es la topología débil* así inducida; en palabras, la topología ultradébil es la topología más débil tal que los elementos preduales permanecen continuos en B ( H ). [1]
La topología ultradébil es similar a la topología de operador débil. Por ejemplo, en cualquier conjunto acotado por normas, las topologías de operador débil y ultradébil son las mismas y, en particular, la bola unitaria es compacta en ambas topologías. La topología ultradébil es más fuerte que la topología de operador débil.
Un problema con la topología de operador débil es que el dual de B ( H ) con la topología de operador débil es "demasiado pequeño". La topología ultradébil soluciona este problema: el dual es el predual B * ( H ) completo de todos los operadores de clase de seguimiento. En general, la topología ultradébil es más útil que la topología de operador débil, pero es más complicada de definir y la topología de operador débil suele ser aparentemente más conveniente.
La topología ultradébil se puede obtener a partir de la topología de operador débil de la siguiente manera. Si H 1 es un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable, entonces B ( H ) puede incrustarse en B ( H ⊗ H 1 ) tensorizando con el mapa de identidad en H 1 . Entonces la restricción de la topología del operador débil en B ( H ⊗ H 1 ) es la topología ultradébil de B ( H ).
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