En matemáticas, una variedad k - Scorza es una variedad proyectiva suave, de dimensión máxima entre aquellas cuyas k –1 variedades secantes no son la totalidad del espacio proyectivo. Las variedades Scorza fueron introducidas y clasificadas por Zak (1993), quien las nombró en honor a Gaetano Scorza . El caso especial de las variedades 2-Scorza a veces se denominan variedades Severi , en honor a Francesco Severi .
Clasificación
Zak demostró que las variedades k -Scorza son las variedades proyectivas de las matrices de rango 1 de álgebras de Jordan simples de rango k .
Variedades severas
Las variedades de Severi son las variedades no singulares de dimensión n (par) en P N que pueden proyectarse isomórficamente a un hiperplano y satisfacer N =3 n /2+2.
- Severi demostró en 1901 que la única variedad de Severi con n = 2 es la superficie Veronese en P 5 .
- La única variedad de Severi con n = 4 es la incrustación de Segre de P 2 × P 2 en P 8 , encontrada por Scorza en 1908.
- La única variedad de Segre con n = 8 es la Grassmannian G (1,5) de 8 dimensiones de líneas en P 5 incrustadas en P 14 , encontrada por John Greenlees Semple en 1931.
- La única variedad de Severi con n = 16 es una variedad de 16 dimensiones E 6 / Spin (10) U (1) en P 26 encontrada por Robert Lazarsfeld en 1981.
Estas 4 variedades de Severi se pueden construir de manera uniforme, como órbitas de grupos que actúan sobre las complejizaciones de las matrices hermitianas de 3 por 3 sobre las cuatro álgebras de división reales (posiblemente no asociativas) de dimensiones 2 k = 1, 2, 4, 8. Estas representaciones tienen dimensiones complejas 3(2 k +1) = 6, 9, 15 y 27, dando variedades de dimensión 2 k +1 = 2, 4, 8, 16 en espacios proyectivos de dimensiones 3(2 k ) +2 = 5, 8, 14 y 26.
Zak demostró que las únicas variedades de Severi son las 4 enumeradas anteriormente, de dimensiones 2, 4, 8, 16.
Referencias
- Hartshorne, Robin (1974), "Variedades de codimensión pequeña en el espacio proyectivo" (PDF) , Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 80 (6): 1017–1032, doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13612-8 , ISSN 0002-9904, SEÑOR 0384816
- Zak, FL (1981), "Proyecciones de variedades algebraicas", Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 116(158) (4): 593–602, 608, ISSN 0368-8666, MR 0665860
- Lazarsfeld, Robert; Van de Ven, Antonius (1984), Temas de geometría del espacio proyectivo, Seminario DMV, vol. 4, Birkhäuser Verlag, doi :10.1007/978-3-0348-9348-0, ISBN 978-3-7643-1660-0, SEÑOR 0808175
- Zak, FL (1985), "Variedades Severi", Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 126(168) (1): 115–132, 144, ISSN 0368-8666, SEÑOR 0773432
- Zak, FL (1993), Tangentes y secantes de variedades algebraicas, Traducciones de monografías matemáticas, vol. 127, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-4585-1, señor 1234494
