superficie veronesa

En matemáticas , la superficie de Veronese es una superficie algebraica en un espacio proyectivo de cinco dimensiones , y se realiza mediante la incrustación de Veronese , la incrustación del plano proyectivo dado por el sistema lineal completo de cónicas . Lleva el nombre de Giuseppe Veronese (1854-1917). Su generalización a una dimensión superior se conoce como variedad veronesa .

La superficie admite una incrustación en el espacio proyectivo de cuatro dimensiones definido por la proyección desde un punto general en el espacio de cinco dimensiones. Su proyección general al espacio proyectivo tridimensional se denomina superficie de Steiner .

Definición

La superficie veronesa es la imagen del mapeo.

${\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}$

dada por

${\displaystyle \nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]}$

donde denota coordenadas homogéneas . El mapa se conoce como la incrustación veronesa. ${\displaystyle [x:\cdots ]}$ ${\displaystyle \nu }$

Motivación

La superficie veronesa surge de forma natural en el estudio de las cónicas . Una cónica es una curva plana de grado 2, definida así por una ecuación:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

El emparejamiento entre coeficientes y variables es lineal en los coeficientes y cuadrático en las variables; el mapa de Veronese lo hace lineal en los coeficientes y lineal en los monomios. Así, para un punto fijo, la condición de que una cónica contenga el punto es una ecuación lineal en los coeficientes, lo que formaliza la afirmación de que "pasar por un punto impone una condición lineal a las cónicas". ${\displaystyle (A,B,C,D,E,F)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle [x:y:z],}$

mapa de Veronés

El mapa de Veronese o variedad Veronese generaliza esta idea a mapeos de grado general d en n +1 variables. Es decir, el mapa de Veronese de grado d es el mapa

${\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}}$

con m dado por el coeficiente multiconjunto , o más familiarmente el coeficiente binomial , como:

${\displaystyle m=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1.}$

El mapa envía todos los monomios posibles de grado total d (de los que hay ); tenemos ya que hay variables para elegir; y restamos ya que el espacio proyectivo tiene coordenadas. La segunda igualdad muestra que para la dimensión de origen fija n, la dimensión de destino es un polinomio en d de grado n y coeficiente principal ${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle 1/n!.}$

Para grados bajos, es la aplicación constante trivial de y es la aplicación de identidad, por lo que generalmente se considera que d es 2 o más. ${\displaystyle d=0}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{0},}$ ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n},}$

Se puede definir el mapa de Veronese sin coordenadas, como

${\displaystyle \nu _{d}:\mathbb {P} (V)\ni [v]\mapsto [v^{d}]\in \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}}$

donde V es cualquier espacio vectorial de dimensión finita y son sus potencias simétricas de grado d . Esto es homogéneo de grado d bajo multiplicación escalar en V y, por lo tanto, pasa a un mapeo en los espacios proyectivos subyacentes . ${\displaystyle {\rm {{Sym}^{d}V}}}$

Si el espacio vectorial V se define sobre un campo K que no tiene característica cero , entonces la definición debe modificarse para que se entienda como una aplicación al espacio dual de polinomios en V. Esto se debe a que para campos con característica finita p , las p -ésimas potencias de los elementos de V no son curvas normales racionales , sino que, por supuesto, son una línea. (Ver, por ejemplo, polinomio aditivo para un tratamiento de polinomios en un campo de característica finita).

Curva normal racional

Porque la variedad veronesa se conoce como curva normal racional , de la cual los ejemplos de grado inferior son familiares. ${\displaystyle n=1,}$

• Porque el mapa de Veronese es simplemente el mapa de identidad en la línea proyectiva. ${\displaystyle n=1,d=1}$
• Para la variedad veronesa la parábola estándar está en coordenadas afines. ${\displaystyle n=1,d=2,}$ ${\displaystyle [x^{2}:xy:y^{2}],}$ ${\displaystyle (x,x^{2}).}$
• Para la variedad veronesa es la cúbica torcida , en coordenadas afines ${\displaystyle n=1,d=3,}$ ${\displaystyle [x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],}$ ${\displaystyle (x,x^{2},x^{3}).}$

biregular

La imagen de una variedad bajo el mapa veronés es nuevamente una variedad, más que simplemente un conjunto construible ; además, son isomórficos en el sentido de que el mapa inverso existe y es regular : el mapa de Veronese es biregular . Más precisamente, las imágenes de conjuntos abiertos en la topología de Zariski vuelven a ser abiertas.

Ver también

• La superficie Veronese es la única variedad Severi de dimensión 2.

Referencias

• Joe Harris, Geometría algebraica, un primer curso , (1992) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN  0-387-97716-3