Multiplicación

La multiplicación (que se suele representar con el símbolo de cruz × , con el operador de punto en la línea media ⋅ , por yuxtaposición o, en las computadoras , con un asterisco * ) es una de las cuatro operaciones matemáticas elementales de la aritmética , junto con la suma , la resta y la división . El resultado de una operación de multiplicación se denomina producto .

La multiplicación de números enteros puede considerarse como una adición repetida ; es decir, la multiplicación de dos números equivale a sumar tantas copias de uno de ellos, el multiplicando , como la cantidad del otro, el multiplicador ; ambos números pueden considerarse factores .

a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}.

Por ejemplo, 4 multiplicado por 3, que a menudo se escribe y se pronuncia como "3 por 4", se puede calcular sumando 3 copias de 4: $3\times 4$

3\times 4=4+4+4=12.

Aquí, 3 (el multiplicador ) y 4 (el multiplicando ) son los factores , y 12 es el producto .

Una de las principales propiedades de la multiplicación es la propiedad conmutativa , que establece en este caso que sumar 3 copias de 4 da el mismo resultado que sumar 4 copias de 3:

4\times 3=3+3+3+3=12.

Por tanto, la designación de multiplicador y multiplicando no afecta al resultado de la multiplicación. ^[1]

Las generalizaciones sistemáticas de esta definición básica definen la multiplicación de números enteros (incluidos los números negativos), números racionales (fracciones) y números reales.

La multiplicación también se puede visualizar como el conteo de objetos dispuestos en un rectángulo (para números enteros) o como la búsqueda del área de un rectángulo cuyos lados tienen ciertas longitudes dadas . El área de un rectángulo no depende de qué lado se mida primero, una consecuencia de la propiedad conmutativa.

El producto de dos medidas (o magnitudes físicas ) es un nuevo tipo de medida, que suele tener una unidad derivada . Por ejemplo, al multiplicar las longitudes (en metros o pies) de los dos lados de un rectángulo se obtiene su área (en metros cuadrados o pies cuadrados). Este producto es objeto de análisis dimensional .

La operación inversa de la multiplicación es la división . Por ejemplo, como 4 multiplicado por 3 es igual a 12, 12 dividido por 3 es igual a 4. En efecto, la multiplicación por 3, seguida de la división por 3, da como resultado el número original. La división de un número distinto de 0 por sí mismo es igual a 1.

Varios conceptos matemáticos amplían la idea fundamental de la multiplicación. El producto de una secuencia, la multiplicación de vectores , los números complejos y las matrices son ejemplos en los que esto se puede ver. Estas construcciones más avanzadas tienden a afectar las propiedades básicas a su manera, como volverse no conmutativas en matrices y algunas formas de multiplicación de vectores o cambiar el signo de los números complejos.

Notación

En aritmética , la multiplicación a menudo se escribe utilizando el signo de multiplicación (ya sea × o ) entre los términos (es decir, en notación infija ). ^[2] Por ejemplo, $\times$

2\times 3=6,

("dos por tres es igual a seis")

3\times 4=12,

2\times 3\times 5=6\times 5=30,

2\times 2\times 2\times 2\times 2=32.

Existen otras notaciones matemáticas para la multiplicación:

Para reducir la confusión entre el signo de multiplicación × y la variable común $x$ , la multiplicación también se denota con signos de punto, ^[3] generalmente un punto en posición intermedia (raramente un punto ): . $5\cdot 2$

La notación de punto medio u operador de punto , codificada en Unicode como U+22C5 ⋅ OPERADOR DE PUNTO , es ahora estándar en los Estados Unidos y otros países donde se utiliza el punto como punto decimal . Cuando no se puede acceder al carácter del operador de punto, se utiliza el punto intermedio (·). En otros países que utilizan una coma como signo decimal, se utiliza el punto o un punto medio para la multiplicación. ^[^{cita requerida}^]

Históricamente, en el Reino Unido e Irlanda, el punto central se utilizaba a veces para el decimal a fin de evitar que desapareciera en la línea de la regla, y el punto se utilizaba para la multiplicación. Sin embargo, desde que el Ministerio de Tecnología decretó el uso del punto como punto decimal en 1968 ^[4] , y desde entonces se ha adoptado ampliamente el estándar del Sistema Internacional de Unidades (SI), este uso ahora se encuentra solo en las revistas más tradicionales, como The Lancet^[5] .

En álgebra , la multiplicación que involucra variables se escribe a menudo como una yuxtaposición (por ejemplo, para veces o para cinco veces ), también llamada multiplicación implícita . ^[6] La notación también se puede utilizar para cantidades que están rodeadas por paréntesis (por ejemplo, o para cinco por dos). Este uso implícito de la multiplicación puede causar ambigüedad cuando las variables concatenadas coinciden con el nombre de otra variable, cuando un nombre de variable delante de un paréntesis puede confundirse con un nombre de función o en la determinación correcta del orden de las operaciones . ^[7]^[8] $xy$ $x$ $y$ $5x$ $x$ $5(2)$ $(5)2$ $(5)(2)$
En la multiplicación de vectores , existe una distinción entre los símbolos de cruz y punto. El símbolo de cruz generalmente denota la realización de un producto vectorial de dos vectores , lo que da como resultado un vector, mientras que el símbolo de punto denota la realización del producto escalar de dos vectores, lo que da como resultado un escalar .

En programación informática , el asterisco (como en 5*2) sigue siendo la notación más común. Esto se debe al hecho de que la mayoría de las computadoras históricamente estaban limitadas a pequeños conjuntos de caracteres (como ASCII y EBCDIC ) que carecían de un signo de multiplicación (como ⋅o ×), mientras que el asterisco aparecía en todos los teclados. ^{[ cita requerida ]} Este uso se originó en el lenguaje de programación FORTRAN . ^[9]

Los números que se van a multiplicar se denominan generalmente "factores" (como en la factorización ). El número que se va a multiplicar es el "multiplicando", y el número por el que se multiplica es el "multiplicador". Por lo general, el multiplicador se coloca primero y el multiplicando se coloca segundo; ^[1] sin embargo, a veces el primer factor es el multiplicando y el segundo el multiplicador. ^[10] Además, como el resultado de la multiplicación no depende del orden de los factores, la distinción entre "multiplicando" y "multiplicador" es útil solo a un nivel muy elemental y en algunos algoritmos de multiplicación , como la multiplicación larga . Por lo tanto, en algunas fuentes, el término "multiplicando" se considera un sinónimo de "factor". ^[11] En álgebra, un número que es el multiplicador de una variable o expresión (por ejemplo, el 3 en ) se llama coeficiente . $3xy^{2}$

El resultado de una multiplicación se llama producto . Cuando un factor es un número entero, el producto es un múltiplo del otro o del producto de los otros. Por lo tanto, es un múltiplo de , como lo es . Un producto de números enteros es un múltiplo de cada factor; por ejemplo, 15 es el producto de 3 y 5 y es tanto un múltiplo de 3 como de 5. $2\times \pi$ $\pi$ $5133\times 486\times \pi$

Definiciones

El producto de dos números o la multiplicación entre dos números se puede definir para casos especiales comunes: números naturales, enteros, números racionales, números reales, números complejos y cuaterniones.

Producto de dos números naturales

El producto de dos números naturales se define como: $r,s\in \mathbb {N}$

$r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}.$

Producto de dos números enteros

Un número entero puede ser cero, un número natural distinto de cero o menos un número natural distinto de cero. El producto de cero por otro número entero siempre es cero. El producto de dos números enteros distintos de cero se determina mediante el producto de sus cantidades positivas , combinado con el signo derivado de la siguiente regla:

${\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &+&-\\\hline +&+&-\\-&-&+\\\hline \end{array}}$ (Esta regla es una consecuencia de la distributividad de la multiplicación sobre la suma, y no es una regla adicional ).

En palabras:

Un número positivo multiplicado por un número positivo es positivo (producto de números naturales),
Un número positivo multiplicado por un número negativo es negativo,
Un número negativo multiplicado por un número positivo es negativo,
Un número negativo multiplicado por un número negativo es positivo.

Producto de dos fracciones

Dos fracciones se pueden multiplicar multiplicando sus numeradores y denominadores:

{\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}},

que se define cuando .

n,n'\neq 0

Producto de dos números reales

Existen varias formas equivalentes de definir formalmente los números reales; véase Construcción de los números reales . La definición de multiplicación forma parte de todas estas definiciones.

Un aspecto fundamental de estas definiciones es que todo número real puede aproximarse con cualquier precisión mediante números racionales . Una forma estándar de expresar esto es que todo número real es el límite superior mínimo de un conjunto de números racionales. En particular, todo número real positivo es el límite superior mínimo de los truncamientos de su representación decimal infinita ; por ejemplo, es el límite superior mínimo de $\pi$ $\{3,\;3.1,\;3.14,\;3.141,\ldots \}.$

Una propiedad fundamental de los números reales es que las aproximaciones racionales son compatibles con las operaciones aritméticas y, en particular, con la multiplicación. Esto significa que, si $a$ y $b$ son números reales positivos tales que y entonces En particular, el producto de dos números reales positivos es el límite superior mínimo de los productos término a término de las secuencias de sus representaciones decimales. $a=\sup _{x\in A}x$ $b=\sup _{y\in B}y,$ $a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.$

Como el cambio de signos transforma los límites superiores mínimos en límites inferiores máximos, la forma más sencilla de resolver una multiplicación que involucra uno o dos números negativos es utilizar la regla de los signos descrita anteriormente en el § Producto de dos números enteros. La construcción de los números reales mediante sucesiones de Cauchy suele preferirse para evitar la consideración de las cuatro posibles configuraciones de signos.

Producto de dos números complejos

Dos números complejos se pueden multiplicar por la ley distributiva y el hecho de que , de la siguiente manera: $i^{2}=-1$

{\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}

El significado geométrico de la multiplicación compleja se puede entender reescribiendo números complejos en coordenadas polares :

a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }

Además,

c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },

de donde se obtiene

(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.

El significado geométrico es que se multiplican las magnitudes y se suman los argumentos.

Producto de dos cuaterniones

El producto de dos cuaterniones se puede encontrar en el artículo sobre cuaterniones . Nótese, en este caso, que y son, en general, diferentes. $a\cdot b$ $b\cdot a$

Cálculo

Muchos métodos comunes para multiplicar números con lápiz y papel requieren una tabla de multiplicación de productos de números pequeños memorizados o consultados (normalmente dos números cualesquiera del 0 al 9). Sin embargo, un método, el algoritmo de multiplicación campesino , no lo requiere. El ejemplo siguiente ilustra la "multiplicación larga" (el "algoritmo estándar", la "multiplicación de la escuela primaria"):

 23958233× 5830——————————————— 00000000 ( = 23.958.233 × 0) 71874699 ( = 23.958.233 × 30) 191665864 ( = 23.958.233 × 800)+ 119791165 ( = 23.958.233 × 5.000)——————————————— 139676498390 ( = 139.676.498.390 )

En algunos países como Alemania , la multiplicación anterior se representa de manera similar, pero con el producto original mantenido horizontal y el cálculo comenzando con el primer dígito del multiplicador: ^[12]

23958233 · 5830——————————————— 119791165 191665864 71874699 00000000——————————————— 139676498390

Multiplicar números a más de un par de decimales a mano es tedioso y propenso a errores. Los logaritmos comunes se inventaron para simplificar estos cálculos, ya que sumar logaritmos es equivalente a multiplicar. La regla de cálculo permitió multiplicar números rápidamente con una precisión de aproximadamente tres cifras. A principios del siglo XX, las calculadoras mecánicas , como la Marchant , automatizaron la multiplicación de números de hasta 10 dígitos. Las computadoras y calculadoras electrónicas modernas han reducido en gran medida la necesidad de realizar la multiplicación a mano.

Algoritmos históricos

Los métodos de multiplicación fueron documentados en los escritos de las antiguas civilizaciones egipcia , griega, india, ^{[ cita requerida ]} y china .

El hueso de Ishango , que data de entre 18.000 y 20.000 a. C., puede indicar un conocimiento de la multiplicación en el Paleolítico superior en África central , pero esto es especulativo. ^[13]^{[ verificación necesaria ]}

Egipcios

El método egipcio de multiplicación de números enteros y fracciones, documentado en el Papiro matemático de Rhind , se basaba en adiciones y duplicaciones sucesivas. Por ejemplo, para hallar el producto de 13 y 21 había que duplicar 21 tres veces, obteniendo 2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168 . El producto completo se podía hallar sumando los términos apropiados que se encontraban en la secuencia de duplicación: ^[14]

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Babilonios

Los babilonios utilizaban un sistema de numeración posicional sexagesimal , análogo al sistema decimal moderno. Por lo tanto, la multiplicación babilónica era muy similar a la multiplicación decimal moderna. Debido a la relativa dificultad de recordar 60 × 60 productos diferentes, los matemáticos babilónicos emplearon tablas de multiplicar . Estas tablas consistían en una lista de los primeros veinte múltiplos de un cierto número principal n : n , 2 n , ..., 20 n ; seguido de los múltiplos de 10 n : 30 n , 40 n y 50 n . Luego, para calcular cualquier producto sexagesimal, digamos 53 n , solo se necesitaba sumar 50 n y 3 n calculados a partir de la tabla. ^[^{cita requerida}^]

Chino

38 × 76 = 2888

En el texto matemático Zhoubi Suanjing , fechado antes del 300 a. C., y en los Nueve capítulos sobre el arte matemático , los cálculos de multiplicación se escribían en palabras, aunque los primeros matemáticos chinos empleaban el cálculo de Rod, que implicaba la suma, la resta, la multiplicación y la división del valor posicional. Los chinos ya utilizaban una tabla de multiplicación decimal al final del período de los Reinos Combatientes . ^[15]

Métodos modernos

El método moderno de multiplicación basado en el sistema de numeración hindú-arábigo fue descrito por primera vez por Brahmagupta . Brahmagupta dio reglas para la suma, la resta, la multiplicación y la división. Henry Burchard Fine , entonces profesor de matemáticas en la Universidad de Princeton , escribió lo siguiente:

Los indios no sólo inventaron el sistema decimal posicional, sino también la mayoría de los procesos que intervienen en el cálculo elemental con este sistema. Realizaban la suma y la resta exactamente como se hacen hoy en día; la multiplicación la realizaban de muchas maneras, la nuestra entre ellas, pero la división la hacían con mucha dificultad. ^[16]

Estos algoritmos aritméticos decimales de valor posicional fueron introducidos en los países árabes por Al Khwarizmi a principios del siglo IX y popularizados en el mundo occidental por Fibonacci en el siglo XIII. ^[17]

Método de cuadrícula

El método de multiplicación por cuadrícula , o método de la caja, se utiliza en las escuelas primarias de Inglaterra y Gales y en algunas áreas ^{de los Estados Unidos para ayudar a enseñar a comprender cómo funciona la multiplicación de varios} dígitos. Un ejemplo de multiplicación de 34 por 13 sería disponer los números en una cuadrícula de la siguiente manera:

y luego agregue las entradas.

Algoritmos informáticos

El método clásico de multiplicar dos números $de n dígitos requiere$ $n multiplicaciones de 2$ dígitos. Se han diseñado algoritmos de multiplicación que reducen considerablemente el tiempo de cálculo al multiplicar números grandes. Los métodos basados en la transformada de Fourier discreta reducen la complejidad computacional a $O (n log n log log n)$ . En 2016, el factor $log log n$ fue reemplazado por una función que aumenta mucho más lento, aunque todavía no es constante. ^[18] En marzo de 2019, David Harvey y Joris van der Hoeven presentaron un artículo que presentaba un algoritmo de multiplicación de números enteros con una complejidad de ^[19] Se conjetura que el algoritmo, también basado en la transformada rápida de Fourier, es asintóticamente óptimo. ^[20] El algoritmo no es útil en la práctica, ya que solo se vuelve más rápido para multiplicar números extremadamente grandes (que tienen más de $2$ $1729$ $12$ bits). ^[21] $O(n\log n).$

Productos de medidas

Sólo se pueden sumar o restar cantidades del mismo tipo de manera significativa, pero se pueden multiplicar o dividir cantidades de tipos diferentes sin problemas. Por ejemplo, cuatro bolsas con tres canicas cada una se pueden considerar como: ^[1]

[4 bolsas] × [3 canicas por bolsa] = 12 canicas.

Cuando se multiplican dos medidas, el producto es de un tipo dependiendo del tipo de medida. La teoría general viene dada por el análisis dimensional . Este análisis se aplica de forma rutinaria en física, pero también tiene aplicaciones en finanzas y otros campos aplicados.

Un ejemplo común en física es el hecho de que al multiplicar la velocidad por el tiempo se obtiene la distancia . Por ejemplo:

50 kilómetros por hora × 3 horas = 150 kilómetros.

En este caso, las unidades de hora se cancelan, dejando el producto solo con unidades de kilómetros.

Otros ejemplos de multiplicación que involucran unidades incluyen:

2,5 metros × 4,5 metros = 11,25 metros cuadrados

11 metros/segundos × 9 segundos = 99 metros

4,5 habitantes por casa × 20 casas = 90 habitantes

Producto de una secuencia

Notación pi mayúscula

El producto de una secuencia de factores se puede escribir con el símbolo de producto , que deriva de la letra mayúscula Π (pi) en el alfabeto griego (de manera muy similar a como el símbolo de suma se deriva de la letra griega Σ (sigma)). ^[22]^[23] El significado de esta notación viene dado por $\textstyle \prod$ $\textstyle \sum$

\prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),

Lo que resulta en

\prod _{i=1}^{4}(i+1)=120.

En esta notación, la variable $i$ representa un entero variable , llamado índice de multiplicación, que va desde el valor inferior $1$ indicado en el subíndice hasta el valor superior $4$ dado por el superíndice. El producto se obtiene multiplicando entre sí todos los factores obtenidos al sustituir el índice de multiplicación por un entero entre los valores inferior y superior (los límites incluidos) en la expresión que sigue al operador de producto.

De manera más general, la notación se define como

\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},

donde m y n son números enteros o expresiones que evalúan números enteros. En el caso en que m = n , el valor del producto es el mismo que el del factor único x _m ; si m > n , el producto es un producto vacío cuyo valor es 1, independientemente de la expresión de los factores.

Propiedades de la notación pi mayúscula

Por definición,

\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.

Si todos los factores son idénticos, un producto de $n$ factores es equivalente a la exponenciación :

\prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.

La asociatividad y conmutatividad de la multiplicación implican

\prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)

\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}

si $a$ es un entero no negativo, o si todos son números reales positivos , y $x_{i}$

\prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}

si todos son números enteros no negativos, o si $x$ es un número real positivo. $a_{i}$

Productos infinitos

También se pueden considerar productos de una cantidad infinita de términos; estos se denominan productos infinitos . Notacionalmente, esto consiste en reemplazar n por el símbolo de infinito ∞. El producto de una secuencia infinita de este tipo se define como el límite del producto de los primeros n términos, a medida que n crece sin límite. Es decir,

\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.

De manera similar, se puede reemplazar m por infinito negativo y definir:

\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),

siempre que existan ambos límites. ^{[ cita requerida ]}

Exponenciación

Cuando se repite la multiplicación, la operación resultante se conoce como exponenciación . Por ejemplo, el producto de tres factores de dos (2×2×2) es "dos elevado a la tercera potencia", y se denota por 2 ³ , un dos con un superíndice tres. En este ejemplo, el número dos es la base y tres es el exponente . ^[24] En general, el exponente (o superíndice) indica cuántas veces aparece la base en la expresión, de modo que la expresión

a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}=\prod _{i=1}^{n}a

indica que se deben multiplicar entre sí n copias de la base a . Esta notación se puede utilizar siempre que se sepa que la multiplicación es asociativa de potencias .

Propiedades

Para los números reales y complejos , que incluyen, por ejemplo, los números naturales , los enteros y las fracciones , la multiplicación tiene ciertas propiedades:

Propiedad conmutativa

El orden en que se multiplican dos números no importa: ^[25]^[26]

x\cdot y=y\cdot x.

Propiedad asociativa

Las expresiones que implican únicamente multiplicación o suma son invariantes con respecto al orden de las operaciones : ^[25]^[26]

(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z).

Propiedad distributiva

Se cumple con respecto a la multiplicación respecto de la suma. Esta identidad es de suma importancia para simplificar expresiones algebraicas: ^[25]^[26]

x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z.

Elemento de identidad

La identidad multiplicativa es 1; cualquier cosa multiplicada por 1 es el mismo número. Esta característica de 1 se conoce como propiedad de identidad : ^[25]^[26]

x\cdot 1=x.

Propiedad de 0

Cualquier número multiplicado por 0 es 0. Esto se conoce como la propiedad cero de la multiplicación: ^[25]

x\cdot 0=0.

Negación

-1 por cualquier número es igual al inverso aditivo de ese número:

(-1)\cdot x=(-x)

, dónde

(-x)+x=0.

-1 por -1 es 1:

(-1)\cdot (-1)=1.

Elemento inverso: Todo número x , excepto 0 , tiene un inverso multiplicativo , , tal que . ^[27] ${\frac {1}{x}}$ $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$

Conservación del orden

La multiplicación por un número positivo conserva el orden :

Para a > 0 , si b > c , entonces ab > ac .

La multiplicación por un número negativo invierte el orden:

Para a < 0 , si b > c , entonces ab < ac .

Los números complejos no tienen un orden que sea compatible tanto con la suma como con la multiplicación. ^[28]

Otros sistemas matemáticos que incluyen una operación de multiplicación pueden no tener todas estas propiedades. Por ejemplo, la multiplicación no es, en general, conmutativa para matrices y cuaterniones . ^[25]

Axiomas

En el libro Arithmetices principia, nova methodo exposita , Giuseppe Peano propuso axiomas para la aritmética basándose en sus axiomas para los números naturales. La aritmética de Peano tiene dos axiomas para la multiplicación:

x\times 0=0

x\times S(y)=(x\times y)+x

Aquí S ( y ) representa el sucesor de y ; es decir, el número natural que sigue a y . Las diversas propiedades como la asociatividad se pueden demostrar a partir de estos y otros axiomas de la aritmética de Peano, incluida la inducción . Por ejemplo, S (0), denotado por 1, es una identidad multiplicativa porque

x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.

Los axiomas para números enteros los definen típicamente como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales. El modelo se basa en tratar ( x , y ) como equivalente a x − y cuando x e y se tratan como números enteros. Por lo tanto, tanto (0,1) como (1,2) son equivalentes a −1. El axioma de multiplicación para números enteros definido de esta manera es

(x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).

La regla de que −1 × −1 = 1 se puede deducir de

(0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).

La multiplicación se extiende de manera similar a los números racionales y luego a los números reales . ^{[ cita requerida ]}

Multiplicación con teoría de conjuntos

El producto de números enteros no negativos se puede definir con la teoría de conjuntos utilizando números cardinales o los axiomas de Peano . Vea a continuación cómo extender esto a la multiplicación de números enteros arbitrarios y luego números racionales arbitrarios. El producto de números reales se define en términos de productos de números racionales; vea la construcción de los números reales . ^[29]

La multiplicación en la teoría de grupos

Existen muchos conjuntos que, bajo la operación de multiplicación, satisfacen los axiomas que definen la estructura de grupo . Estos axiomas son el cierre, la asociatividad y la inclusión de un elemento identidad y de inversos.

Un ejemplo sencillo es el conjunto de números racionales distintos de cero . Aquí se tiene identidad 1, a diferencia de los grupos en la adición, donde la identidad es típicamente 0. Nótese que con los racionales, el cero debe excluirse porque, en la multiplicación, no tiene un inverso: no hay ningún número racional que pueda ser multiplicado por cero para dar como resultado 1. En este ejemplo, se tiene un grupo abeliano , pero ese no siempre es el caso.

Para comprobarlo, considere el conjunto de matrices cuadradas invertibles de una dimensión dada sobre un cuerpo dado . Aquí, es sencillo verificar el cierre, la asociatividad y la inclusión de la identidad (la matriz identidad ) y las inversas. Sin embargo, la multiplicación de matrices no es conmutativa, lo que demuestra que este grupo no es abeliano.

Otro hecho que vale la pena destacar es que los números enteros que se multiplican no forman un grupo, incluso si se excluye el cero. Esto se ve fácilmente por la inexistencia de una inversa para todos los elementos que no sean 1 y −1.

En teoría de grupos, la multiplicación se suele indicar con un punto o por yuxtaposición (la omisión de un símbolo de operación entre elementos). Por lo tanto, multiplicar el elemento a por el elemento b se puede indicar como a b o ab . Cuando se hace referencia a un grupo mediante la indicación del conjunto y la operación, se utiliza el punto. Por ejemplo, nuestro primer ejemplo se puede indicar con . ^[30] $\cdot$ $\left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)$

Multiplicación de diferentes tipos de números.

Los números pueden contar (3 manzanas), ordenar (la tercera manzana) o medir (3,5 pies de altura); a medida que la historia de las matemáticas ha progresado desde contar con los dedos hasta modelar la mecánica cuántica, la multiplicación se ha generalizado a tipos de números más complicados y abstractos, y a cosas que no son números (como matrices ) o que no se parecen mucho a números (como cuaterniones ).

Números enteros: $N\times M$ es la suma de N copias de M cuando N y M son números enteros positivos. Esto da la cantidad de elementos en una matriz de ancho N y alto M. La generalización a números negativos se puede hacer mediante; $N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)$ y; $(-N)\times (-M)=N\times M$; Las mismas reglas de signos se aplican a los números racionales y reales.

Números racionales: La generalización a fracciones se realiza multiplicando los numeradores y denominadores, respectivamente: . Esto da el área de un rectángulo de alto y ancho, y es lo mismo que la cantidad de elementos en una matriz cuando los números racionales son números enteros. ^[25] ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}$ ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}$ ${\frac {A}{B}}$ ${\frac {C}{D}}$

Números reales: Los números reales y sus productos pueden definirse en términos de secuencias de números racionales .

Números complejos: Considerando los números complejos y como pares ordenados de números reales y , el producto es . Esto es lo mismo que para los números reales cuando las partes imaginarias y son cero. $z_{1}$ $z_{2}$ $(a_{1},b_{1})$ $(a_{2},b_{2})$ $z_{1}\times z_{2}$ $(a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})$ $a_{1}\times a_{2}$ $b_{1}$ $b_{2}$

De manera equivalente, denotando como , ^[25]

{\sqrt {-1}}

i

z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.

Alternativamente, en forma trigonométrica, si , entonces ^[25]

z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})

{\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}

Generalizaciones adicionales: Véase Multiplicación en teoría de grupos, más arriba, y grupo multiplicativo , que por ejemplo incluye la multiplicación de matrices. Un concepto muy general y abstracto de multiplicación es el de la operación binaria "denotada multiplicativamente" (segunda) en un anillo . Un ejemplo de un anillo que no es ninguno de los sistemas numéricos anteriores es un anillo polinómico (los polinomios se pueden sumar y multiplicar, pero los polinomios no son números en ningún sentido habitual).

División: A menudo, la división, , es lo mismo que la multiplicación por un inverso, . La multiplicación de algunos tipos de "números" puede tener una división correspondiente, sin inversos; en un dominio integral, x puede no tener inverso " " pero puede estar definido. En un anillo de división hay inversos, pero pueden ser ambiguos en anillos no conmutativos, ya que no necesitan ser iguales a . ^[^{cita requerida}^] ${\frac {x}{y}}$ $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ ${\frac {1}{x}}$ ${\frac {x}{y}}$ ${\frac {x}{y}}$ $x\left({\frac {1}{y}}\right)$ $\left({\frac {1}{y}}\right)x$

Véase también

Análisis dimensional
Algoritmo de multiplicación
- Algoritmo Karatsuba , para números grandes
- Multiplicación de Toom-Cook para números muy grandes
- Algoritmo de Schönhage-Strassen , para números enormes
Tabla de multiplicación
Multiplicador binario , cómo multiplican las computadoras
Inverso multiplicativo , recíproco
Factorial
Gobernantes Genaille-Lucas
Aritmética lunar
Los huesos de Napier
Multiplicación campesina
Producto (matemáticas) , para generalizaciones
Regla de cálculo

Referencias

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Lectura adicional

Boyer, Carl B. (revisado por Merzbach, Uta C. ) (1991). Historia de las matemáticas . John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Enlaces externos

Multiplicación y operaciones aritméticas en varios sistemas numéricos en cut-the-knot
Técnicas modernas de multiplicación china en el ábaco