En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , la asociatividad de potencia es una propiedad de una operación binaria que es una forma débil de asociatividad .
Se dice que un álgebra (o, más generalmente, un magma ) es asociativa por potencias si la subálgebra generada por cualquier elemento es asociativa. En concreto, esto significa que si un elemento realiza una operación por sí mismo varias veces, no importa en qué orden se realicen las operaciones, por ejemplo .
Toda álgebra asociativa es asociativa por potencias, pero también lo son todas las demás álgebras alternativas (como los octoniones , que no son asociativas) e incluso las álgebras flexibles no alternativas, como los sedeniones y las álgebras de Okubo . Cualquier álgebra cuyos elementos sean idempotentes también es asociativa por potencias.
La exponenciación a la potencia de cualquier entero positivo se puede definir de manera consistente siempre que la multiplicación sea asociativa a potencias. Por ejemplo, no hay necesidad de distinguir si x 3 debe definirse como ( xx ) x o como x ( xx ), ya que son iguales. La exponenciación a la potencia de cero también se puede definir si la operación tiene un elemento identidad , por lo que la existencia de elementos identidad es útil en contextos asociativos a potencias.
Sobre un cuerpo de característica 0, un álgebra es asociativa de potencia si y sólo si satisface y , donde es el asociador (Albert 1948).
Sobre un cuerpo infinito de característica prima no existe un conjunto finito de identidades que caracterice la asociatividad de potencia, pero sí hay conjuntos independientes infinitos, como lo describe Gainov (1970):
Para las álgebras asociativas de potencias reales con unidad se cumple una ley de sustitución que básicamente afirma que la multiplicación de polinomios funciona como se espera. Para f, un polinomio real en x , y para cualquier a en una álgebra de este tipo, definamos f ( a ) como el elemento del álgebra resultante de la sustitución obvia de a en f . Entonces, para dos polinomios cualesquiera de estos f y g , tenemos que ( fg )( a ) = f ( a ) g ( a ) .
![{\displaystyle [x,x,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02199a10c424652179f6065ef18b44824421efc7)
![{\displaystyle [x^{2},x,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab9dafbb050f122cd8c615fb2e55fe52790fab2)
![{\displaystyle [x,y,z]:=(xy)zx(yz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd5b14e110f57e4723f23be0adca6d1e827f6f4)
![{\displaystyle [x,x^{2},x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a35bd1ab74706f51dc2ba3d1b5fd6fe41d4b84)
![{\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a57ee80312c742dd228f682e0230b66fc83bdf7)
